高中数学函数概念与基本初等函数知识点总结

DBFQ DFDF ZHUOYUE
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。

一、命题热点
分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点 和思想方法贯穿整个高中数学的
全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填 空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基
本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数 的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.
其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考 考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，
而且常考常新.以基本函数为模型 的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、 值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与
方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对 实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试
的热点.③考查运用函数的思想来观 察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
二、知识点总结
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
a?ba
2
?b
2
⑥利用均值不等式
ab?
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；
?
22
⑧利用函数有界 性（
a、sin
?
、cos
?
等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为基本函数：内函数
u?g(x)< br>与外函数
y?f(u)


②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
． ．．．
⑵
f(x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
；
f (x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义，则
f(0)?0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑴单调性的定义：
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x< br>1
)?f(x
2
)
；
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?
1

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⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子
f(x
1)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
②导 数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有
f
?< br>x?T
?
?f
?
x
?
（其中
T
为 非零常数），则称函数
f(x)
为
周期函数，
T
为它的一个周期。所 有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都
指最小正周期。
（2）三角函数的周期：
①
y?sinx:T?2
?
；②
y?cosx:T?2
?
；③
y?tanx:T?
?
；
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?cos(
?
x?
?
):T?
2
?
?
；⑤
y?tan
?x:T?
?

?
(3)与周期有关的结论：
f(x?a)?f( x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)的周期为2a

8．基本初等函数的图像与性质：
⑴指数函数：
y?a
x
(a?0 ,a?1)
；⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
；
?
⑶幂函数：
y?x
（
?
?R)
；⑷正弦函数:
y?sinx
；⑸余弦函数：
y?cosx
；
2
（6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0（a≠0）；
⑻其它常用函数：正比例函数：
y?kx(k?0)
；反比例函数 ：
y?

㈡.
⑴分数指数幂：
a
m
n
k a
(k?0)
；③函数
y?x?(a?0)
xx

?a；
a
n
m
?
m
n
?
1
am
n
（以上
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
⑵.①
a
b
?N?log
a
N?b
； ②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo g
a
N
；
Mn
?log
a
M?log
a
N
； ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log< br>a
N?
.对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
9．二次函数：
⑴解析式：①一般式：
f(x)?ax?bx?c
；②顶点式：
f(x)?a(x?h )?k
，
(h,k)
为顶点；
③零点式：
f(x)?a(x?x< br>1
)(x?x
2
)
（a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
22
?
b4ac?b
2
b
二次函数
y?ax?bx?c
的图象的 对称轴方程是
x??
，顶点坐标是
?
?，
?
2a
4 a
?
2a
2
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?
?
。
?
2

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10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
，(a?0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)

———上“+”下“－”； < br>??
y??f(?x)
；ⅱ)
y?f(x)
???
y??f( x)
； ② 对称变换：ⅰ)
y?f(x)
??
?
x?f(y)
； ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ)
y?f(x)
???
③ 翻折变换：
ⅰ)
y?f(x)?y? f(|x|)
———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（
f(x)
在
y左侧图象去掉）；
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|
f(x)
|在
x
下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函数
y?f(x)
图像 的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数
y?f(x)
与
y?g(x)
图象的对称性，即证明
y?f(x)
图象上任意点关于对称中心（对称轴）
的对称点在
y?g(x)
的图象上，反之亦然。
注：①曲线C
1
:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C
2方程为：f(－x,－y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0 的对称曲线C
2
方程为：f(－x, y)=0;
曲线C
1
:f (x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C
2
方程为：f(x, －y)=0;
曲 线C
1
:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线 x=
x?0y?x
(0,0)y?0
a?b
对称；
2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
y?f(x)的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
特别地：
y? f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f
?
a? x
?
??f
?
a?x
?
.
④函数
y?f (x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象 关于直线
x?0
对称。
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

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