高中数学函数图像考点解析和例题梳理

函数的图像
高考要求
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

知识点归纳
1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定 函数的定
义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
4．平移变换：（1）水平平移 ：函数
y?f(x?a)
的图像可以把函数
y?f(x)
的图像沿
x
轴
方向向左
(a?0)
或向右
(a?0)
平移
|a |
个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数
y?f(x)?a
的图像可以把 函数
y?f(x)
的图像沿
x
轴方向向上
(a?0)
或向下
(a?0)
平移
|a|
个单位即可得到．
左移h右移h
① y=f(x)
?
y=f(x+h); ② y=f(x)
?
y=f(x?h);
③y=f(x)
?
y=f(x)+h; ④y=f(x)
?
y=f(x)?h.
5．对称变换：（1）函数
y?f (?x)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像关于
y
轴对称即可得
到；
（2）函数
y??f(x)
的图像可以将函数
y?f(x)< br>的图像关于
x
轴对称即可得到；
上移h下移h
（3）函数
y ??f(?x)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像关于原点对称即可得到；
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：

（4）函数
y?f
?1
(x)
的图像可以将函数
y?f(x )
的图像关于直线
y?x
对称得到．
x轴
y轴
①y=f(x)
?
y= ?f(x); ②y=f(x)
?
y=f(?x);
直线x?a
③y=f(x)
?
y=f(2a?x); ④y=f(x)
?
y=f
?1
(x);
直线y?x
⑤y=f(x)
?
y= ?f(?x).
6．翻折变换：（1）函数
y?|f(x)|的图像可以将函数
y?f(x)
的图像的
x
轴下方部分沿
x轴翻折到
x
轴上方，去掉原
x
轴下方部分，并保留
y?f(x)
的
x
轴上方部分即可得到；
原点
（2）函数
y?f(|x |)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像右边沿
y
轴翻折到
y
轴左边替代
原
y
轴左边部分并保留
y?f(x)
在y
轴右边部分即可得到．
y
y
y=f(x)
y=|f(x)|
y
y=f(|x|)
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x
a
o

b
c
x

7．伸缩变换：（1）函数
y?af(x)(a? 0)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像中的每一点横
坐标不变纵坐标伸长
(a?1)
或压缩（
0?a?1
）为原来的
a
倍得到； < br>（2）函数
y?f(ax)(a?0)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像中的每一点纵坐标不变横
坐标伸长
(a?1)
或压缩（
0?a?1）为原来的
1
倍得到．
a
①y=f(x)
?
y=f(
x?
?
x
?
);② y=f(x)
?
y=ωf(x).

y?
?
以解析式表示的 函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方
法是本节的重点．
运用 描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关
键处，要把线连在恰当处 ．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一
个大概的研究．而这个研究要借助于函 数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用
图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象 为基础进行变换，以及确定怎样的变
换．这也是个难点．
题型讲解
1．作函数图象的一个基本方法
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：

例1函数
y?f(x)
与
y?g(x)
的图像如下图：则函数
y?f(x)?g(x)
的图像可能是
（
A
）
y
y=f(x)
ox
o
y
y=g(x)
x

y
y
y
x
y
x
o
ox
o
ox

A

B

C

D

解：∵函数
y?f(x) ?g(x)
的定义域是函数
y?f(x)
与
y?g(x)
的定义域的 交集
(??,0)?(0,??)
，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。
由于 当x为很小的正数时
f(x)?0
且
g(x)?0
，故
f(x)?g (x)?0
。
∴选A.
例2 说明由函数
y?2
的图像经过怎样的图像变换得到函数
y?2
解：方法一：
（1）将函数
y?2
的图像向右平移3个单位，得到函数
y?2
（2 ）作出函数
y?2
（3）把函数
y?2
方法二：
x?3
xx?3
x?x?3
?1
的图像．
的图像； ?x?3
的图像关于
y
轴对称的图像，得到函数
y?2
?x?3
的图像；
?x?3
的图像向上平移1个单位，得到函数
y?2?1
的图像．
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：

（1）作出函数
y?2
x
的图像关于
y
轴的对称图像，得到
y?2
?x
的图像；
（2）把函数
y?2
?x
的 图像向左平移3个单位，得到
y?2
?x?3
的图像；
（3）把函数
y?2
?x?3
的图像向上平移1个单位，得到函数
y?2
?x?3
?1
的图像．
例3设曲线
C
的方程是
y?x
3
?x
，将
C
沿
x
轴、
y
轴正方向分别平移
t
、
s
(t?0)
个
单位长度后得到曲线
C
1，
（1）写出曲线
C
1
的方程；
（2）证明曲线
C
与
C
1
关于点
A(,)
对称；
ts
22
t
2
（3）如果曲线
C
与
C
1
有且仅有一 个公共点，证明：
s??t
．
4
解：（1）曲线
C
1的方程为
y?(x?t)
3
?(x?t)?s
；
（2）证明： 在曲线
C
上任意取一点
B
1
(x
1
,y
1
)
，设
B
2
(x
2
,y
2
)是
B
1
关于点
A
的对称点，则
有
x
1
?x
2
ty
1
?y
2
s
?,?
， ∴
x
1
?t?x
2
y,
1
?s?y
222 2
2
代入曲线
C
的方程，得
x
2
,y
2< br>的方程：
s?y
2
?(t?x
2
)
3
?(t ?x
2
)

即
y
2
?(x
2
?t )?(x
2
?t)?s
可知点
B
2
(x
2
,y
2
)
在曲线
C
1
上．
反过来，同样证明，在 曲线
C
1
上的点
A
的对称点在曲线
C
上．
因此，曲线
C
与
C
1
关于点
A
对称．
（3）证明：因为曲线
C
与
C
1
有且仅有一个公共点， < br>3
?
y?x
3
?x
?
∴方程组
?
有 且仅有一组解，
3
?
?
y?(x?t)?(x?t)?s
地址中山 北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：

消去
y
，整理得
3tx
2
?3t
2
x?( t
3
?t?s)?0
，这个关于
x
的一元二次方程有且仅有一个根，
∴
??9t
4
?12t(t
3
?t?s)?0
，即 得
t(t
3
?4t?4s)?0
，
t
3
因为
t?0
，所以
s??t
．
4
例4（1）试作出函数
y?x?
1
的图像；
x
（2）对每一个实数
x
，三个数
?x,x,1?x
2
中最大者记为< br>y
，试判断
y
是否是
x
的函
数？若是，作出其图像， 讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明
为什么？
解：（1）∵
f(x)?x?
时，
f(x)?2
，
1，∴
f(x)
为奇函数，从而可以作出
x?0
时
f(x)
的图像，又∵
x?0
x
∴
x?1
时，
f(x)
的 最小值为2，图像最低点为
(1,2)
，
又∵
f(x)
在
(0,1)
上为减函数，在
(1,??)
上是增函数，
同时
f(x )?x?
1
?x(x?0)
即以
y?x
为渐近线，
x
于是
x?0
时，







函数的图像应
y

y

y

为下图①，
O

①
x

O

②
x

O

③
x

f(x)
图象为图
②：

（2）
y
是
x
的函数,作出
g
1
(x)?x,g
2
(x)??x,g3
(x)?1?x
的图像可知，
f(x)
的图像是
图③中实线部 分．定义域为
R
；值域为
[1,??)
；单调增区间为
[?1,0) ,[1,??)
；单调减区间
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：
2

为
(??,?1),[0,1)
；当
x??1
时，函数有最小值1； 函数无最大值．
练习
1．下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）
yy=ax+1
y
y
y=a
x
y
1
1
y =a
x
y=ax+1
1
y=ax+1
-1
o
1x
o
1
x
1
y=log
a
x
y=ax +1
ox
o
y=ax+1
x

2．已知函数f(x)=(x?1)a (a>0,a≠1),在同一坐标系中，y=f
?1< br>(x)与y=a
|x?1|
的图象只可能是(
y
y
y
y
1
1
1
1
-1
o
1
A
x-1
o
1
B
x
-1
o
1

C
x
-1
o
1
D
x

3．在下列 图象中，二次函数y=ax
2
+bx与指数函数y=
(
b
)
x
a
的图象只可能是
y
y
y
y
1
11
1
-1
o
1
A
x
-1
o
1
B
x
-1
o
1
o
C
x
-11D
x

4．已知函数y=ax与y=ax
2
+bx, 则下列图象正确的是（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D

5．函数y=
|1?x
2
|
的图象是（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B

C
D

6．函数y=(3x?1)(x+2)的图象 （ ）
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：
)

A.关于点(?2,3)对称 B.关于点(2,?3)对称
C.关于直线x= ?2对称 D.关于直线y= ?3对称
7．若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象< br>关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（ ）
A.y= ?f
?1
(x) B.y= ?f
?1
(?x) C.y= ?f(x) D.y= ?f(?x)
8．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x?1)与y= ?f(1?x)的图象关于（ ）对称
A.直线x=0 B.直线x=1 C.点(0,0) D.点(1,0)
9．在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（ ）
．．．
A．y=|log
2
x| B.y=2
|x|
C.y=log
0.5
x
2
D.y=|x
?13
|
y
y
y
y
o
x

o
x

o
x

o
x

10．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1?x)的图象是 （ ）
y
1
-1
A
1
y
1
-1
B
1
y1
C
x
y
1
D
y
1
o
x
o
x

-2
-1
o

-1
o
1
x

-1
o
1
x

11．下列命题中：①函数y=f(x)的图 象与x=f(y)的图象关于直线y=x对称；②若f(x)= ?f(?x),
则f(x)的图象关于 原点对称；③若f(x)=f(?x)则f(x)的图象关于y轴对称；④y=f(x)的图象与y=
?f(x)的图象关于y轴对称，其中真命题是（ ）
(A)②③ (B)②③④ (C)①②③ (D)全都是
12．把函数y =cosx的图象向右平移12个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的12，
所得图象的解析式为 ；
13．画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)(x+3).
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：

14．若函数y=log
2
|ax?1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a的值为 ____
15.函数y=f(|x?m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线 对称.
16.将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的13， 所得图
象的解析式为_______.
17. 如下图所示，向高为
H
的水 瓶
A,B,C,D
同时以等速注
水，注满为止；
(A)



(B)

(C)

(D)

（1）若水 深
h
与注水时间
t
的函数图象是下图中的
a
，则水瓶的形状 是 ；
（2）若水量
v
与水深
h
的函数图像是下图中的
b
，则水瓶的形状是 ；
（3）若水深
h
与注水时间
t
的函数图象是下图中的
c
，则水瓶的形状是 ；
（4）若注水时间t
与水深
h
的函数图象是下图中的
d
，则水瓶的形状是 ．
(a)
(b)
(c)
(d)
y

o
12< br>18．已知f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象如图所示，则 b的取值范围
19.说出作出函数y=log
2
(1?x) 的图象的过程。
20．方程|x
2
+2x?3|=a(x?2)有四个实数根，求实数a的取值范围。


参考答案：
x
是
地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：

1． D 2． C D 3． A 4． C 5． C 6． A 7．D 8． D 9． C
10． C 11． C
12．y=cos(2x?12). 设P
1
(x
1
,y
1
)为原图象上的点,通过变换后得到新 图象上一点P(x,y)，则
x=(x
1
+12)2, ∴ x
1
=2x?12, y
1
=y, 代入y
1
=cosx
1
得到 y=cos(2x?12).
13． (1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到；
(2)y=1?1(x+3)由函数y =1x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到，注意渐近线的变
化。
14． 12 15. x=m2 16. y=f(3x?2)。
17. （1）
C
；（2）
A
；（3）
D
；（4）
B
． 18． (??,0)
19.先作y=log
2
x关于y轴对称的图象，再沿x轴向右平移一个单位得到。
20． x
2
+(2+a)x?2a?3=0, 由Δ=0以及?(2+a)2<1可得a= ?6+2
5
,
∴ ?6+2
5

地址中山北路28号江苏商厦7楼 咨询电话：