高中数学函数奇偶性专题复习总结

高中数学函数奇偶性专题复习总结
【函数的奇偶性】专题复习
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
：
⑴
f(?x)?f(x)

?
f(x)
是偶函数； ⑵
f(?x)??f(x)
?
f(x)
奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个
x
都必须成立；
③可逆性：
f(?x)?f(x)
?
f(x)
是偶函数；
f(?x) ??f(x)
?
f(x)
是奇函数；
④等价性：
f(?x)?f( x)
?
f(?x)?f(x)?0
；
f(?x)??f(x)
?f(?x)?f(x)?0

⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于
y
轴对称；
⑥可分性：根 据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种 方法：利用奇、偶函数的定义，考查
f(x)
是否与
?f(x)
、
f (x)
相等，判断步骤如下：
①定义域是否关于原点对称；②数量关系
f(?x)??f(x)
哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
x
3
?x
2
（1）
f(x)?x?2x
（2）
f(x)?2x?3x
(3）
f(x)?

x?1
342
1?x
2
（4）
f(x)?x

x?
?
?1,2
?
（5）
f(x)?x?2?2?x
（6）
f(x)?
；
|x?2|?2
2
（7）
f(x)?
2
x
2
?1?1?x
2
（8）
f(x)?lgx?lg
1
1?x
； （9）
f(x)?(1?x)
2
x
1?x
?
x
2
(x?0 )
例2：判断函数
f(x)?
?
2
的奇偶性。
?
?x
(x?0)
两个奇函数的代数和是奇函数；
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则
两个偶函数的和是偶函数；
（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；

两个奇函数的积为偶函数；
?
两个偶函数的积为偶函数；
?< br>xx
3
x
5
x
7
x
2k?1
(k? Z)...
?
?
奇函数与偶函数的积是奇函数。
1
?
k< br>?
常见的奇函数：(k?0);x?(耐克函数)
?
?
x
?< br>x
?
?
?
sinx;tanx
?
?
?
x
2
x
4
x
6
x
8
x
2k(k?Z)...
?

?
?
2
?
?
常见的偶函数：
?
ax?c(b?0);x;f(x)
?
?
?
?
?
cosx;y?C(C为常数)
?
x
?
?
?
a;log
a
x;kx?b(k?0,b?0)
?常见的非奇非偶函数:
?
?
?
?
y?x?a(a?0)
?
?
?
?
y?0(定义域关于原点对称)
常见的既奇又偶函数：?
?
22
?
y?1?x?x?1(x??1)两个点的函数
?< br>?
?
四、关于函数的奇偶性的6个结论。
1 5

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结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。
结论3
f(x)
是任意函数，定义域关于原点对称，那么
f(x)
是偶函数。
结论4 函数
f(x)?f(?x)
是偶函数，函数
f(x)?f(?x)
是奇函数。
结论5 已知函数
f(x)
是奇函数，且
f(0)
有定义，则f(0)?0
。
结论6 已知
f(x)
是奇函数或偶函数，方程f(x)?0
有实根，那么方程
f(x)?0
的所有实根之和为零；
若
f(x)
是定义在实数集上的奇函数，则方程
f(x)?0
有奇数个实根。
五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也 是偶
函数、④非奇非偶函数。
六、关于奇偶函数的图像特征
例1：偶函数
y?f(x)
在
y
轴右则时的图像如图（一），则
y
轴右侧的函数图 像如图（二）。
Y
Y

1

1

1 2
0 X -2 -1 1 2

X


图（一）
图（二）
七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：（1）已知
f(x)?x?ax?bx?8
且
f(?2)?10
，求
f(2)
的值
53
（ 2）已知
f(x)?5x?3x?x?1
(x?[?,])
的最大值
M
,最小值为
m
,求
M?m
的值
53
11
22
2、利用奇偶性比较大小
例2：（1）已知偶函数< br>f(x)
在
?
??,0
?
上为减函数，比较
f(?5 )
，
f(1)
，
f(3)
的大小。
（2）已知函 数
y?f
?
x
?
是
R
上的偶函数，且
f< br>?
x
?
在
?
0,??
?
上是减函数，若f
?
a
?
?f
?
?2
?
，求
a
的取值范围.
（3）定义域为
R
的函数
f
?< br>x
?
在
?
8,??
?
上为减函数，且函数
y ?f
?
x?8
?
为偶函数，则
A.
f
?
6
?
?f
?
7
?
B.
f
?
6
?
?f
?
9
?
C.
f
?
7
?
?f
?
9
?
D.
f
?
7
?
?f
?
10
?

3.利用奇偶性求解析式
例3：（1）已知
f(x)
为偶函数，
当 0?x?1时,f(x)?1?x,当?1?x?0时
，求
f(x)
解析式？
（2）已知
f(x)
为奇函数，当
x?0
时,
f( x)?x?2x
，当
x?0
时，求
f(x)
解析式？
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若
f(x)?(k?2)x?(k?3)x ?3
是偶函数，讨论函数
f(x)
的单调区间？
2 5
2
2

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5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知
f(x)?ax?bx?cx(a?0)
是偶函数，判断
g(x)?ax?bx?cx
的奇偶性。

6、利用奇偶性求参数的值
例6：（1）定义
R
上的偶函数
f(x )
在
(??,0)
单调递减,若
f(2a
2
?a?1)?f (3a
2
?2a?1)
恒成立，求
a
的范围.
（2）定义
R
上单调递减的奇函数
f(x)
满足对任意
t?R
，若f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立,求
k
的范围.
（3）已 知
f
?
x
?
在定义域
?
0,??
?
上为增函数，且满足
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
,f
?
3
?
?1
，求不等式
22
3232
f
?
x
?
?f< br>?
x?8
?
?2
解.
7、利用图像解题
例7：（ 1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等
式
f
?
x
?
?0
的解是 .
（2）若函数
f(x)
在
(??,0)?(0,??)
上为 奇函数，且在
(0,??)
上单调递增,
f(?2)?0
,则不等式
xf(x)?0
的
解集为______.
8.利用定义解题
1
为奇函数，则
a?
________。
2
x
?1
x
2
?1
已知
f(x)?
为偶函数，则
a?
________。
(3x?2)(x?a)
例8：已知
f(x)?a?
9.利用性质选图像 < br>例9：（1）设
a?1
，实数
x,y
满足
|x|?loga




y
1
x
y
1
?0
，则
y
关于
x
的函数的图像形状大致是
y
y y
1

0 0 0
1
0
x x
x


A B C D
e
x
?e
?x
（2）函数
y?
x?x
的图象大致为
e?e
1
（A）

（B） （C） （D）
【奇偶性专题】训练
1、判断下列函数的奇偶性
（1）
y?
1
4x
(x?0 )
；（2）
y?x?1
； （3）
y?2
； （4）；
y?ogl
x
2
(x?x?1)

2
3 5

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（5）；
f(x)?ln(1?e)?x
（6）；
f(x)?
?
?
x(1?x)(x?0)

?x(1?x)(x?0)
【变题】已知
f(x)
对一切实数
x,y
都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，则
f(x)
的奇偶性如何？ < br>2、（1）如果定义在区间
[3?a,5]
上的函数
f(x)
为奇函数 ，则
a
=_____
2x
（2）若
f(x)?2?2
x?x
lga
为奇函数，则实数
a?
_____
（3）若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，且当
x?(0,??)
时，
f(x )?x(1?
3
x)
，
那么当
x?(??,0)
时，
f(x)
=_______
（ 4）已知函数
y?f(x)
在R是奇函数，且当
x?0
时，
f(x) ?x?2x
，
则
x?0
时，
f(x)
的解析式为_______________
（5）定义在
(?1,1)
上的奇函数
f(x)?
2
2
x?m
，则常数
m?
____,
n?
_____
x
2
?nx?1
（6）函数
y?ax?bx?c
是偶函数的充要条件是___________
（7）已知
f(x)?ax?bx?cx?dx?5
，其中
a,b,c,d
为 常数，
若
f(?7)??7
，则
f(7)?
_______
3 、若
f(x)
(x?R)
是奇函数，则下列各点中，在曲线
y?f(x)上的点是
A.
(a,f(?a))
B.
(?sin?,?f(?sin?))
C.
(?lga,?f(lg))
D.
(?a,?f(a))

753
1
a
4、设
f(x)
是
(??,??)
上 的奇函数，
f(x?2)??f(x)
，当
0?x?1
时，
f(x) ?x
，则
f(47.5)
等于
A. 0.5 B.
?0.5
C. 1.5 D.
?1.5

4、若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数 ，则函数
F(x)?f(x)?f(x)
的图象关于
A.
x
轴对称 B.
y
轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对
6、函数
F(x)?(1?
2
)f(x)(x?0)是偶函数，且
f(x)
不恒等于零，则
f(x)

x
2?1
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
7、下列函数既是奇函数，又在区间
?
?1,1
?
上单调递减的是
A.
f(x)?sinx
B.
f(x)??x?1
C.
f(x)?
8、已知函数
f(x)?lg
1
x
2?x

a?a
?x
?
D.
f(x)?ln
?22?x
1?x
.若f(a)?b.则f(?a)?

1?x
11
A．b B．－b C． D．－
bb
9、设
f(x)
是定义在实数集R上 的函数，且满足
f(x?2)?f(x?1)?f(x)
，
3
如果
f(1)?lg
，
f(2)?lg15
，求
f(2001)

2
3
10、设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且
f(x?2)??f(x)
，又当
?1?x?1
时，
f(x)?x< br>，
（1）证明：直线
x?1
是函数
f(x)
图象的一 条对称轴：（2）当
x?[1,5]
时，求
f(x)
的解析式。
【变题】
设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且它的图 象关于直线
x?1
对称，求证：
f(x)
是周期函数。
11、已知
f(x)?x(
11
?)
，
2
x
?1
2
4 5
（1）判断
f(x)
的奇偶性；（2）证明：
f(x)?0

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12、定义在
[?1，1]
上的函数
y?f(x)
是减函数，且是奇函数，若
f(a?a?1)?f(4a?5 )?0
，
求实数
a
的范围。
13、设
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，其图象关于直线
x?1
对称，对任意
x
1
,x
2
?[0,]
，
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)f(x
2
).
（1）设
f(1)?2
，求
f(),f()
；（2）证明
f(x)
是周期函数。
2
1
2
1
2
1
4
答案：
基本训练 ：1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数 2、
b?0
3、17 4、B 5、A
例题：1(1)8 (2)10 (3)
x(1?
3
x)
(4)B
2(1)奇函数 (2)既是奇函数也是偶函数 (3)非奇非偶函数 3、1
4(1)证
f(1?x)?f(1?x)
(2)
f(x)?
?< br>?
?
(2?x)
3
,x?[1,3]
x?4),x?
?
3,5
?
变题：T＝4
?
?
(
3

作业：
1—8、DAABD BDC 9、
f(x)??x
2
?2x(x?0)
10、0；0 11(1)偶函数 (2)
奇函数 12(1)偶函数 13、
?
?
1,
?3?33
?
14(1)
f(
1
)?2,f(
1
)?
4
2
(2)T=2
?
2
?
?
?
24


5 5