高中数学函数基础知识及题型归纳复习

考函数知识及题型归纳总结
1、函数的概念或图像：
例：判断图像是不是属于函数图像
函数相等：
（1）定义域相同
（2）对应关系相同
2、分段函数求值：
（1）已知自变量求函数值
(x?0)
?
log
3
x，< br>1
例：已知函数
f(x)?
?
,则f[f()]
的值什么？
x
2，(x?0)
9
?


（2）已知函数值求自变量
?
x?2(x??1)
?
2
例 ：已知
f(x)?
?
x(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
的值是多少？
?
2x(x?2)
?


3、函数的定义域：
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R; ②若f(x)是分式,函数的分母不为零;
③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义;
④对数形式：真数大于0，底数大于0且不等于1
例：函数
f(x)?x?1?
1

2?x
f(x)?log
2x?1
3x?2

1
f(x)?log
1
[()
x
?1]

2
2
y?log
2
?
3x?2
?
的定义域
3



4、函数过定点的问题:
（1）指数型（令指数 等于0）例：
f(x)?a
2x?1
?2
恒过定点

（2）对数型（令真数等于1）例：
f(x)?lg(3x?2)?2
恒过定点

（5）幂函数型（令底数等于1）例：
f(x)?(x?2)?1
恒过定点
a

5、指数对数比较大小：
（1）若底数相同，利用函数的单调性
（2）若底数不相同，用去中间值的方法（指数一般为1，对数一般为0或1）
例：三个数< br>log
5
2,log
5
3,log
2
3
的大 小关系为什么？
6
6
0.7
，log
0.7
6
的大小关系为什么？ 三个数
0.7，




6、函数的单调性、奇偶性的单调性、奇偶性的应用
（1）利用单调性求函数的最大值、最小值
一般函数求最值，先判断单调性，再写出最值，例：求
求y?



二次函数求最值一定要画图像，求函数
f(x)?x?4x?5在
?
0，5
?
的最值
2
1
在
?
2，8
?
的最值
x?1



（2）函数的奇偶性
2
例：已知函 数
f(x)
为偶函数，当
x?0,f(x)?x?x
，求函数的解析式；


2
例：已知函数
f(x)
为奇函数，当
x?0 ,f(x)?x?x
，求函数的解析式；


（3）函数单调性的判断证明（四步法：取值—作差化简—判断差符号—下结论）
例：证明函 数
y?
x
在
?
0，+?
?
为减函数
x?1






（4）函数奇偶性的判断证明：
1.先求定义域是否关于原点对称
2.求
f
?
?x
?

2
x
?1
例：判断证明函数
f(x)
＝
x
的奇偶性
2?1



（5）函数单调性、奇偶性的应用：
例：若 偶函数
f(x)
在
（-?,0)
为减函数，比较
f(?),f
?
1
?
,f(2)
的大小
例：已知
f(x)
为 奇函数，定义域为
{x|x?R,x?0}
，又
f(x)
在区间
(0 ,??)
是为增函数，且
3
2
f(?1)?0
，则满足
f( x)?0
的x的取值范围是什么？
7、指数、对数的化简运算
（1）指数的运算公式：

m
n
m
n

a

?a
?
a?0 m,n?N* 且n?1
?

m

a
?
n
?
1

?
a?0 m,n?N* 且n?1
?
m

a
n

a
r
?a
s
?a
r?s
?
a?0，r，s?Q
?
2
1
15
1
1
?????
例：
2a
3
b< br>2
?6a
2
b
3
??3a
6
b
6< br>?
??????
??????
2
?
a
?

例：

r
s
?a
r?s
?
a?0，r，s ?Q
?
r
?
a?b
?
?ab
?
a?0，b ?0，r?Q
?
rr
?
?1.8
?
?
?
1 .5
?
0?2
3
?0.5
?
3
?
?
?
3
?
?
?
0.01
?
?9
2

?
8
?
2
3
（8）对数的运算公式：

log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N

log
M
?logM?logN
aaa
N

n

log
a
M?nlog
a
M(n?R)
例：
log
3










4
a
log
a
N
?N

log
a
a?1

log
a
1?0
(1)
(2)
(3)
7
27
lg14?2lg
?lg2 5?lg4?7
log
7
2

?lg7?lg18
3
3

（9）幂函数
例：已知幂 函数
y?f(x)
的图象过点
(2,2)
，试求出这个函数的解析式。




例：若函数
y?(a?3a?3)x
为幂函数，则
a
的值为多少。





（10）零点区间（
f(x)
在
?
a,b
?
连续，且
f(a)?f(b)?0
，则
f(x)
在
?
a,b
?
有零点）
例：函数
f(x)?e
x?1
?4x?4
的零点所在区间为（ ）.
A.
(?1,0)
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.
(2,3)

（11）函数的模型及应用（应用题）一般为分段函数
（12）函数性质的综合应用：奇偶性+单调性
22
2
x
?1
例：已知函数
f(x)?
x
（1）证明函数
f(x)是R
上的增函数；
2?1
（2）求函数
f(x)在
?
0，5
?
的最值 ；
（3）令
g(x)?
x
，判断并证明
g(x)
的奇偶性。
f(x)






（13）函数与方程（主要是零点的知识）
例：设函数
f(x)?ax?
?
b?8
?
x?a?ab
的两个零点分别为-3和2，（1）求函数
f (x)
；
2
（2）当函数
f(x)
的定义域为
?
01，
?
时，求函数的值域。