高一数学函数的知识点和例题

高一数学函数的知识点和例题
（一）、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是
一种特殊的映射 .

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

（2）掌握三种表示 法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关
系式，特别是会求分段函数的解析式 .

（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复 合函数，其中g(x)为内函数，f(u)
为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；

（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f－1(x)，并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f－1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简
化运算.

（二）、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不可分割的 整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地
写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法 则的同时，求出函数的定义域.求函数的
定义域一般有三种类型：

（1）有时一个 函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际
意义考虑；

（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=t anx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈
Z）等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部
分（ 即交集）.

（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的 取值范围，而已
知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域， 即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

（1 ）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知
识寻求函数的解析式 .

（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一 次函数，
可设f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求 出a，b即
可.

（3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用 换元法求函数f(x)的表达式，这时必须
求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

（4）若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量（如f( －
x)，等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

（三）、函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域 和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义
域，求函数值域常用方法如下：

（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性
质， 直接观察得出函数的值域.

（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成 另一种简单函数再求值域，
若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式 时，用三角换
元.

（3）反函数法：利用函数f(x)与其反函数 f－1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数
的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的 函数值域可采用此法求得.

（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函数的值域，
不 过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

（6）判别式法：把y=f(x )变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是
解析式中含有根式或分式.

（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的< br>单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

（8）数形结合法求函数的值域：利用函 数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求
出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求 函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域
中存在一个最小（大）数，这个数就是函数 的最小（大）值.因此求函数的最值与值域，其
实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就 有所相异.

如函数的值域是（0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域 是（－∞，－2]∪[2，
＋∞），但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时 ，函数的最小值
为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识 求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工
程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最 小）”等诸多现实问题上，求解时要特
别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

（四）、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)， 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=
－f(x)（或f(－x)=f(x)），那么 函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）.

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两 点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数
f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f (x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定义域上的恒等式.
（奇偶性是函数定义域上的整体性质 ）.

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时 需要

将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

（1）不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；

（2）f(x) 、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函
数， f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇× 偶=
奇”；

（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象 关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条
件是它的图象关于y轴对称.

（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

（3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

（4）若f( x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是
相同（反）的。

（5）若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函数，G (x)=f(x)－f(－x)是奇
函数.

（6）奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a＋x)=f(a－x)，则y=f(x)的图象关 于直线x=a对称，
即y=f(a＋x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任－x都有f(a＋ x)=－f(a－x)，则y=f(x)的图
象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f(a＋x) 为奇函数.

（五）、函数的单调性

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f (x1)>（或
<）f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数 统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不 能用
特殊值代替.

（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

（4）注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数；

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上是增函数.

在[a、b]上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）< br>连线的斜率都大于（或小于）零.

（5）由于定义都是充要性命题，因此由f(x) 是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调
性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系 可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a )）上的单调性相
同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增；否则，单调递减.简称 “同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知 函数的单调性。因此，
掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们 的判断过
程.

6、证明函数的单调性的方法

（1）依定义进 行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1（或<）f(x2)；
③ 根据定义，得出结论.

（2）设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.

（六）、函数的图象

函数的图象是函数的直观体现，应加强对 作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合
的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系
由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b（b>0）
沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)（a>0）
沿x轴向平移a个单位

y=－f(x)
作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)
右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|
上不动、下沿x轴翻折

y=f－1(x)
作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)（a>0）
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)
纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(－x)
作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R ，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数；

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x＋c)=－f(x)成立；试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．

思路分析：我们把没有 给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法．

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1．

②令x=0，则有f(x)＋f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以 f(－y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数．

③分别用（c＞0）替换x、y，有f(x＋c)＋f(x)=

所以，所以f(x＋c)=－f(x)．

两边应用中的结论，得f(x＋2c)=－f(x＋c)=－[－f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期．