高中数学函数的概念 苏教版必修一

函数的概念
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、
丰富.
（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.
2．过程与方法
（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.
（2）通过实例感知函数的定义 域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将
抽象的概念通过实例具体化.
3．情感、态度与价值观
在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数 所揭示的
因果关系，培养学生的辨证思想.
（二）教学重点与难点
重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号
y
=
f
(
x
)的含义.
（三）教学方法
回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自
我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.
（四）教学过程
一、回顾复习提出问题
（1）函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量
x
和
y
，如果对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的值与 对应. 那么就说
y
是
x
的函数，其中
x
叫做自变量。
初中学过哪些函数？
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
示例分析
示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高
①
为845m，且炮
弹距地面的高度
h
(单位：m)随时间
t
(单位：s)变化的规律是
h
= 130
t
–
5
t
2
.
示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下
图中的曲线显示了南极上空臭氧层空
洞的面积从1979～2001年的变化情
况.
时间
9199199
(年)
1 2 3 4 5 6

城镇

居民

家庭
53.52.50.49.49.48.

恩格
8 9 1 9 9 6

尔系

数(%)

时间
0200


(年)
7 8 9 0 1

城镇
②
示例3 国际上常用恩格尔系数反映一个
居民
国家人民生活 质量的高低，恩格尔系数
家庭
46.44.41.39.37.

恩格
4 5 9 2 9
越低，生活质量越高，下表中恩格尔系
尔系
数随时间（年）变化的情况表明，“八
数(%)
五”计划以来，我国城镇居民的生活质
量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况
二、形成概念
（1）设
A、B
是非空的数集，如果按 照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f
(
x
)和它对应，那么 就称
f
：
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数(function)，记作
y
=
f
(
x
)，
x
∈
A
.其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域(domain)；与
x
的值相对 应的
y
值
叫做函数值。
（2）下列例1、例2、例3是否满足函数定义
例1 若物体以速度
v
作匀速直线运动，则物体通过的距离
S
与经 过的时间
t
的关
系是
S
=
vt
.例2 某水库的存水量
Q
与水深
h
(指最深处的水深)如下表：
水深
0 5 10 15 20 25
h
(米)
存水量
Q
(立0 20 40 90 160 275
方)
例3 设时间为
t
，气温为
T
(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜2 4
点的温度曲线如下图.

℃
20
15
10
5
0

分析：例1的对应法则
f
：
t
→
s
=
Vt
，定义域
t
∈[0, +∞).
例2的对应法则一个表格h
→
Q
，定义域
h
∈{0, 5, 10, 15, 20, 25}.
例3的对应法则
f
：一条曲线，
t
∈[0，24]. 对 任意
t
，过
t
作
t
轴的垂线与曲
线交于一点
P
(
t
,
T
)，即
t
→
T
. 通过三个实例反映函数的三种表示形式.
（2）函数的三要素： 对应法则
f
、定义域A、值域
?
f(x)|x?A
?

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
关于函数值
f(a)
，例：
f(x)
=
x
2
+3x+1 则 f(2)=
2
2
+3×2+1=11
注意：1?在
y?f(x )
中
f
表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2?
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3?
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数。
（3）表示函数的方法：
1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式
子叫做解析式.
2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
（4）已学函数的定义域和值域
1．一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
:定义域R, 值域R;
2． 反比例函
f(x)?
k
(k?0)
:定义域
?
x|x?0< br>?
, 值域
?
x|x?0
?
;
x
6 12 18 24
3．二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
(a?0)
:定义域R
??
4ac?b
2
?
4a c?b
2
?
值域：当
a?0
时，
?
y|y?
?
；当
a?0
时，
?
y|y?
?

4a4a
????
三、例题讲解

例1 求下列函数的定义域：
①
f(x)?
1
x?2
；②
f(x)?3x?2
；③
f(x)?x?1?
1
2?x
.
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式
1
x?2
无意义，
而x?2
时，分式
1
x?2
有意义，∴这个函数的定义域是
?x|x?2
?
.
②∵3x+2<0，即x<-
2
3
时 ，根式
3x?2
无意义，
而
3x?2?0
，即
x??2
3
时，根式
3x?2
才有意义，
∴这个函数的定义域是{
x
|
x??
2
3
}. < br>③∵当
x?1?0且2?x?0
，即
x??1
且
x?2
时，根式
x?1
和分式
1
2?x
时有意义，
∴这个函数的定义域是{
x
|
x??1
且
x?2
}
另解：要使函数有意义，必须：
?
?
x?1?0
?
?
x??1
?
2?x?0
?
?2

?
x
∴这个函数的定义域是： {
x
|
x??1
且
x?2
}
例2 已知函数
f(x)
=3
x
2
-5x+2，求f(3), f(-
2
), f(a+1).
解：f(3)=3×
3
2
-5×3+2=14；
f(-
2
)=3×(-
2
)
2
-5×(-
2
)+2=8+5
2
；
f(a+1)=3(a+1)
2
-5(a+1)+2=3a
2
+a.
例3下列函数中哪个与函数
y?x
是同一个函数？
⑴
y?
?
x
?
2
；⑵
y?
3
x
3
；⑶< br>y?x
2

解：⑴
y?
?
x
?
2< br>＝
x
（
x?0
）,
y?0
，定义域不同且值域不同， 不是；
⑵
y?
3
x
3
＝
x
（
x?R
）,
y?R
，定义域值域都相同，是同一个函数；
同

?
x,
x?0
⑶
y?x
2
＝|
x
|=
?
,
y?0
；值域不同，不是同一个函数。
?
?x
x?0
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
(x?3)(x?5)
y
2
?x?5
（定义域不同） ①
y
1
?
x?3
②
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)
（定义域不同）
③
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5
（定义域、值域都不同）
四、小结 本节课学习了以下内容：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空 的数集；
y?f(x)
表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和 对应法则
一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，
才是 同一函数；
f(a)
表示
f(x)
在x=a时的函数值，是常量；而
f(x)
是x的函数，
通常是变量。