高中数学 函数模型及其应用

2.11 函数模型及其应用
一、填空题
1.某产品的总成本
y< br>(万元)与产量
x
(台)之间的函数关系是
y
＝3 000＋20
x
－0.1
x
2
(0＜
x
＜24 0，
x
∈N
＋
)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本
时 (销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．
解析 设利润为
f
(
x
)(万元)，
则
f
(
x
)＝25
x
－(3 000＋20
x
－0.1
x
2
)＝0.1
x
2
＋5
x
－3 000≥0，∴
x
≥150.
答案 150
2．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件
优惠50 0元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件
(x∈N*，x≤15) ，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________．
?
5 000x，x∈{1，2，3，4，5}，
解析 f(x)＝
?
4 500x，x∈{6，7，8，9，10}，
?
4 000x，x∈{11，12，13，14，15}
?
5 000x，x∈{1，2，3，4，5}，
答案 f(x)＝
?
4 500x，x∈{6，7，8，9，10}，
?
4 000x，x∈{11，12，13，14，15}



这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论．

3．从盛满20升纯消毒 液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用
水加满．这样继续下去，则所倒次数
x
和残留消毒液
y
之间的函数解析式为
________．
19
解析 所倒次数1次，则
y
＝19；所倒次数2次，则
y
＝19×……所倒次数
x
20
?
19
?
x
－1< br>?
19
?
x
次，则
y
＝19
??
＝ 20
??
.
?
20
??
20
?
?
19
?
x
答案
y
＝20
??

?
20
?
4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 m gmL，在停止喝
酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mgmL，

那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车(精确到
1小时)．
解析 设至少经过
x
小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)
x
≤0.09，
∴0.75
x
≤0.3.
x
≥log
0.75
0. 3≈5.
答案 5
5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理
如下：
加密发送解密
明文――→密文――→密文――→明文
已知加密为
y
＝
a
x
－2(
x
为明文，
y
为密文)，如果明文“ 3”通过加密后得到密文
为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“1 4”，
则原发的明文是________．
解析 依题意
y
＝
a< br>x
－2中，当
x
＝3时，
y
＝6，故6＝
a
3
－2，解得
a
＝2.所以加
密为
y
＝2
x
－2，因此，当
y
＝14时，由14＝2
x
－2，解得
x
＝4.
答案 4
6．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg，配料
的价格为1.8元kg，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需
支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元天
支付；超出7天以外的 天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元kg支
付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保 管费用P＝________.
解析 当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用
P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．
答案 88元
7．某种 储蓄按复利计算利息，若本金为
a
元，每期利率为
r
，存期是
x，本利和
(本金加利息)为
y
元，则本利和
y
随存期
x
变化的函数关系式是________．
解析 已知本金为
a
元，利率为
r
，则
1期后本利和为
y
＝
a
＋
ar
＝
a
(1＋
r
)，
2期后本利和为
y
＝
a
(1＋
r
)＋
a
(1＋
r
)
r
＝
a
(1＋
r
)
2
，
3期后本利和为
y
＝
a
(1＋
r
)< br>3
，
……

x
期后本利和为
y
＝< br>a
(1＋
r
)
x
，
x
∈N
*
.
答案
y
＝
a
(1＋
r
)
x
，
x
∈N
*

8．2002年初，甲、乙两外商在济南各自兴办了 一家大型独资企业.2010年初在
经济指标对比时发现，这两家企业在2002年和2009年缴纳的 地税均相同，其间
每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相
同．则2010年两企业缴纳地税的情况下列说法中正确的是________(填序号)．
①甲多 ②乙多
③甲乙一样多 ④不能确定
解析 设企业甲每年缴纳的地税组成数列{
a
n
}，
由于企业甲年增长数相同，所以数列{
a
n
}是等差
数列，则
a
n
是关于
n
的一次函数．设企业乙每年
缴纳的地税组成数列{
b
n
}，由于企业乙年增长率
相同，所以数 列{
b
n
}是等比数列，则
b
n
是关于
n
的
指数型函数．根据题意，
a
1
＝
b
1
，
a
8
＝
b
8
，如图知
a
9
＜
b
9
，故2010年企业乙缴纳的地税多．
答案 ②
9．将函数
y
2－
x
－1
2
－ 1(
x
∈[0,2])图象绕原点逆时针方向旋转
θ
角
(0≤
θ
≤
α
)，得到曲线
C
.若对于每一个旋转角
θ
，曲线
C
都是一个函数的图象，
则
α
的最大值是________．
解析 由函数定义，若曲线对应的方程为函数
解析式时，直线
x
＝
a
与该曲线若相交，则仅有
一个交点，如图，当
α
＝
答案
π

4
π
时符合题意．
4
10．某种电热水器的水箱盛满水是200升 ，加热到一定温度可浴用，浴用时，已
知每分钟放水34升，在放水的同时注水，
t
分 钟注入2
t
2
升，当水箱内水量达到
最小值时，放水自动停止，现假定每人洗 浴用水65升，则该热水器一次至多可
供________人洗浴．

17
?
2
17
2
?
解析 由题意得 水箱内的水量为
y
＝200－34
t
＋2
t
＝2
?
t
－
?
＋200－，当
t
2
?
2
?
2
1717289
＝时，水箱内的水量达到最小值，此时放水量为×34＝289升 ，而4＜＜
2265
5，所以该热水器一次至多可供4个人洗浴．
答案 4
11.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为
____________.(l g2=0.301 0,lg11.49=1.060 2)
10
(1?x)?4
. 解析 设产值平均年增长率为x,则
两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.
(1?x)?
2?0?3010
?0
10
∴lg.060 2.
∴
1?x?10
0?0602
.又∵lg11.49=1.060 2,
1?06020?0602
49?10?10?10
∴11..
∴
10
0?0602
?1
.149.
因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.
答案 14.9%
12．某商人购货，进价已按原价
a
扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新
价 让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数
x
与
按新 价让利总额
y
之间的函数关系式为________．
解析 设新价为
b< br>，依题意，有
b
(1－20%)－
a
(1－25%)＝
b(1－20%)·25%，化简
55
a
得
b
＝
a
，所以
y
＝
b
·20%·
x
＝
a
·20 %·
x
，即
y
＝
x
(
x
∈N
*< br>)．
444
答案
y
＝
x
(
x
∈N
*
)
4
13．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服
药后每毫升血液中的 含药量
y
(微克)与时间
t
(小时)之间近似满足如图所示的曲
线．
a

①则第一次服药后
y
与
t
之间 的函数关系式
y
＝
f
(
t
)＝________.
②据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．则服药
一次后治疗有效的时 间是________小时．
解析
?
kt
， 0≤
t
≤1，
①设
y
＝
?
?
1
?
?
，< br>t
＞1，
?
?
?
2
?
t
－
a
t
－3

t
－3
当
t
＝1时，由
y
＝4得
k
＝4，
?
1
?
由
??1－
a
?
2
?
?
4
t
， 0≤
t
≤1，
＝4得
a
＝3.则
y
＝
?
?< br>1
?
?
，
t
＞1.
?
?
?
2
?
?
0≤
t
≤1，
②由
y
≥0.25得
?
?
4
t
≥0.25
1
解得≤
t
≤5
16

?
t
＞1，
或
?
?
1
?
?
≥0.25，
?
?
?
2
?




因此服药一次后治疗有效的时间是5－
179
＝小时．
1616
答案
?
4
t
，0≤
t
≤1，< br>①
y
＝
?
?
1
?
?
，
t< br>＞1
?
?
?
2
?
t
－3

79
②
16
二、解答题
14．即将开工的上海与周边城市的城 际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速
城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢， 每天能来回16次；
如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每
天营运人数最多？ 并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人
数)
解析 设这列火车每天来回次数为
t
次，每次拖挂车厢
n
节，

?
16＝4
k
＋
b
，
则设
t
＝
kn
＋
b
.由
?
?
10＝7
k
＋
b
，
所以
t
＝－2
n
＋24.

?< br>k
＝－2，
解得
?
?
b
＝24.


设每次拖挂
n
节车厢每天营运人数为
y
人，
则
y
＝
tn
×110×2＝2(－220
n
2
＋2 640
n
)．
2 640
当
n
＝＝6时，总人数最多为15 840人．
440
故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．
15．某销售商销售某品牌手机，该品牌手机的进价为每部1 580元，零售价为每
部1 8 80元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送
礼物的价值不超过180元． 统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物
的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元 ，可视为两次增加15元，其余
类推)，销售量都增加11%.
(1)当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少
倍？
(2)试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？
解析 设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为
m
部，
(1)原来利润为(1 880－1 580)
m
＝300
m
(元)，
当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为
(1 880－1 580－30)
m
(1＋11%)
2
＝1.232 1×270
m
，
1.232 1×270
m
＝1.108 89， 即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为
300
m
原来不赠送礼物时的1. 1倍．
(2)当赠送礼物的价值为15
x
元时，销售的总利润为
f
(
x
)元，则
f
(
x
)＝(1 880
－1 580－15
x
)·
m
·(1＋11%)
x

＝1 5
m
(20－
x
)·1.11
x
，
x
∈N ，且
x
≤12，
f
(
x
＋1)－
f
(< br>x
)＝15
m
(1.09－0.11
x
)·1.11
x
，
令
f
(
x
＋1)－
f
(
x
)≥0，得
x
≤9
因为
x
∈N，且
x
≤1 2，
所以当
x
≤9时，
f
(
x
＋1)＞
f
(
x
)；当9＜
x
≤12时，
f
(
x< br>＋1)＜
f
(
x
)．
10
.
11

故当赠送礼物的价值为150元时，可以获得最大利润．
16． 某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p＝50－|x－6|(元∕百斤)，
一农户在第 x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q＝40＋|x－8|(百斤)．
(1)求该农户在第7天销售农产品A的收入；
(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？
解析 (1)由已知第7天的销售价格p＝49，销售量q＝41.
∴第7天的销售收入
W
7
＝49×41＝2 009(元)．

(2)设第
x
天的销售收入为
W
x
，
?
44＋
x
48－
x
则
W
＝
?
2 009，
x
＝7，
?
56－
x
32＋
x
x
，1≤
x
≤6，
，8≤
x
≤20.


＋
2
48－
x
?
2
?
＝2 116， < br>?
?
当1≤
x
≤6时，
W
x
＝(44＋x
)(48－
x
)≤
?
?
当且仅当
x
＝2时取等号．

∴当
x
＝2时取最大值
W
2
＝2 116.
44 ＋
x
?
56－
x
＋32＋
x
?
2
?
＝1 936.(当且当8≤
x
≤20时，
W
x
＝(56 －
x
)(32＋
x
)≤
?
2
??
仅当x
＝12时取等号)∴当
x
＝12时取最大值
W
12
＝ 1 936.

由于
W
2
>
W
7
>W
12
，∴第2天该农户的销售收入最大．
答：(1)第7天的销售收入为2 009元；(2)第2天该农户的销售收入最大．
17． 2014年青奥会水上运动项目将在
J
地举行，截止2010年底，投资集团
B
在
J
地共投资100万 元用于地产和水上运动项目的开发，经调研，从2011年初
到2014年底的四年间，
B集团预期可从三个方面获得利润：
一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位： 百万元)的20%；
二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术< br>平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．
(1)
B
集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
(2) 假设2012年起，
J
地政府每年都要向
B
集团征收资源占用费，2012年 征收2
百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若
B
集团投资成功的标准 是：
从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润
的平 均数)不低于投资额的18%，问
B
集团投资是否成功？
解析 (1)设
B
集团用于水上运动项目的投资为
x
百万元，四年的总利润为
y
百

万元．
由题意，
y
＝0.2(100－
x
)＋
x
＋10
＝－0.2
x
＋
x
＋30，
x
∈[0,100]．
即
y
＝－0.2(
x
－2.5)
2
＋31.25，
x
∈[0,10]．
所以当
x
＝2.5，即
x
＝ 6.25时，
y
max
＝31.25.
故
B
集团在水上运 动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万
元．
(2)由(1)知， 在上交资源占用费前，
y
max
＝31.25，
y
min
＝ 20.
由题意，得从2012年到2014年，
B
集团需上交
J
地 政府资源占用费共为
2(1＋1.1
1
＋1.1
2
)＝6.62(百万元)．
所以
B
集团这四年的预期利润中值为
31.25＋20
－6.62＝19.0 05.
2
19.005
由于＝19.005%＞18%，所以
B
集 团投资能成功．
100
故
B
集团在
J
地投资能成功． < br>18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔
热层．某幢建筑 物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为
6万元．该建筑物每年的能源消耗费用< br>C
(单位：万元)与隔热层厚度
x
(单位：cm)
满足关系：
C
(
x
)＝
k
3
x
＋5
(0≤
x
≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万
元．设
f
(
x< br>)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求
k
的值及
f
(
x
)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用
f
(
x
)达到最小，并求最小值．
解析 (1)设隔热层厚度为
x
cm，由题设，每年能源消耗费用为
C(
x
)＝
再由
C
(0)＝8，得
k
＝40，因 此
C
(
x
)＝
而建造费用为
C
1
(
x
)＝6
x
.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
40
.
3
x
＋5
k
3
x
＋5< br>，
f
(
x
)＝20
C
(
x
)＋C
1
(
x
)＝20×
40800
＋6
x
＝＋6
x
(0≤
x
≤10)．
3
x
＋53x
＋5

?
400
＋
(2)
f
(
x
)＝2
?
3
x
＋5
?
400
?
3
x
＋5
?
－10≥2×2400－10＝70(当且仅当＝3x
3
x
＋5
?
＋5，即
x
＝5时，“＝”成立 )，
所以当
x
＝5时，
f
(
x
)
min
＝
f
(5)＝70.故隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小
值70万元．