高中数学 函数及其表示

、




函数及其表示

新课标剖析

当前
形势
函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分
内容
要求层次
A B C
具体要求
通过丰富实例，进一步体会函数是描述变 量之间的依
赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对
应的语言来刻画函数，体会对应 关系在刻画函数概念
中的作用；
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和
值域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的
方法（如：图象法、列表法、解析法）表示函数；
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
了解映射的概念．
2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年(新课标)
第6题 5分
第14题 5分

函数引入
第6题 5分
第8题 5分
第13题 5分
第14题5分
高考
要求
函数的概念与表示 √
映射

√
北京
高考
解读
2008年
第2题 5分
第13题 5分
2009年
第3题5分
第13题5分
函数这个词大家并不陌生，因为初中已经非常熟悉这个词 ．如一次函数、二次函数、反比例函数．其
实这些你们学过的函数只是我们后面要学的基本初等函数中的 幂函数的一部分．其实有非常广阔的函
数是你们都没有学过的．高中一共要学习五种函数，但是作要求的 一般只有三种：指数函数、对数函
数、三角函数（另外两种是：幂函数与反三角函数）．我们会从另外一 个角度来了解什么是函数．
先来看一个概念：什么是映射？映射是函数的发端．

2.1 映射


考点1：映射的概念

1．映射的概念：设
A，B
是两个给定的非空集合，如果按照某种对应法则
f
，对
A
内任意一个元素
x
，
在
B
中有唯一 确定的元素
y
与
x
对应，则称
f
为集合
A
到集合
B
的映射．记作
f:A?B
．称
y
是
x在映射
f
的作用下的象，
x
称做
y
的原象．

例：给
A
找到一个对应法则，形成
A?B
的一个映射．
1
2
3
A
2
3
4
B
知识点睛



法则：
?1
．

例：给
A
找到一个对应法则，形成
A?B
的一个映射．
1
-1
0
1
0

AB

法则：平方；绝对值．

映射必然具有的两个最本质的属性：①任意；②唯一；
下面看看这两个属性分别是什么意思：
假设现在一个村要种种子，需要两个东西，第一是种子，第二是坑，把种子往坑里扔．
种子坑

①任意：任意一个种子都不能被浪费，一定要找到对应的坑；
②唯 一：每个种子都只能扔到唯一一个坑里，即
A
中每个元素
a
，只能对应
B
中的一个元素．
这两条属性是映射的根本属性，只要符合这两个，它就是映射．只要不符 合这两个中的任何一个，它
就不是映射．
如：①A：平面上所有的圆；B：平面上所有的点．平面上所有的圆，对应到它们的圆心．
答案：是映射，每个圆都有圆心——任意，每个圆都只有一个圆心——唯一．
②A，B：{我们班所有的同学}．每个同学对应他左边的同学．
答案：不是；靠左边墙上的同学没有对应．违反了任意性．
③把世界上所有的男性对应到他们的儿子．答案：不是；
A
B

④把世界上所有的人对应到他的父亲．答案：是．
⑤每个同学对应到他追的人．答案：不是．
⑥
A?B?Z
，每个数对应到它的平方．答案：是．
⑦
A?{x| x?0}
，
B?R
．每个数对应到它的平方根．答案：不是；
⑧
A ?{x|x?0}
，
B?R
．每个数对应到它的立方根．答案：是．

映射的两个允许：
⑴允许多对一（不允许一对多），即允许多个种子放到一个坑里，一个坑里 有多个种子，如实数集中的
平方对应就构成了一个映射．
⑵允许
B
中元素没 有原象，即允许有些坑是空着的，上面例子⑥中的负整数就没有原象，以及非平方
数就没有原象．

练习1：下列对应中有几个是映射？
a
b
c
e
f
g
a
b
c
e
f
g
a
b
c
e
f
g
a
b
c
e
f
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
答案：2个，第一个与第二个是映射．

<教师备案> 拓展内容——单射与满射．
单射：
甲村长上任，如果增加一个规定：要求不同的种子只能塞到不同的坑里去，即不允许多 对
一的发生，这时的映射就叫做单射．为了满足这个规定就要拼命挖坑，所以构成单射的条
件直 观来说就是集合
B
要足够大．
满射：
换届后，乙村长上任，发现甲村长的 规定浪费了太多人力，为了改变这种情况，他废除上
一个规定，增加规定：不允许有空着的坑，这样的映 射就叫做满射．即
B
中每个元素都有
原象，当然原象可以不止一个，即一个坑中可以有 不止一个种子．构成满射需要：坑不能
比种子多．
一一映射：
丙村长上任后，想综 合前两位村长之长，并考虑要让效率达到最高，于是要求甲、乙村长
的规定需要同时满足，即一个萝卜一 个坑，这样的映射叫双射，也叫一一映射．

2．一一映射：如果
f
是集合
A
到集合
B
的映射，并且对于集合
B
中的任一元素，在集合
A
中都有且只
有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称 这个映射叫做从集合
A
到
集合
B
的一一映射．

例：⑴{平面上所有圆}
?
{平面上所有的点}，对应法则：圆对应到它们的圆心；是映射，满 射；
⑵{北京市每个参加数学中考且获得成绩的考生}
?
{北京所有考生中考的数学 成绩}，对应法则：
每个考生对应到它的中考数学成绩；是映射，一般来说不是单射，是满射；
⑶{地球上每个人}
?
{男、女}，对应法则：每个人对应到他的性别，是映射，是满射．
⑷
R?R
，对应法则：乘
2
．是映射，且是一一映射；
⑸
N?N
，对应法则：加1．是映射，是单射，不是满射．
⑹
Z?Z
，对应法则：加1．是映射，且是一一映射．

【例1】 ⑴下面从集合
P
到集合
Q
的对应为映射的是（ ）
3，4?
，
Q??2，
A．
P?
?
0，
?3，0，3 ，2
，对应法则
f:
求平方根
经典精讲

??
1
??
1，2
?
，
Q?
?
0，1，
?，对应法则
f:
取倒数 B．
P?
?
0，
2
? ?
C．
P?
?
平面M内的三角形
?
，
Q?
?
平面M内的圆
?
，对应法则
f:
画三角形的外接圆
D．以上对应都不是映射
⑵已知集合
A
到
B
的映射
f∶x?y?2x?1
，那么集合
A
中元素2在
B
中的象是（ ）
A．
2
B．
5
C．
6
D．
8

【解析】 ⑴C．
⑵B


b，c< br>?
，B?
?
1，2
?
，
写出从集合
A
到集合
B
的所有映射． 【例2】 设集合
A?
?
a，
【 追问】从
B
到
A
的映射有多少个？
【解析】 共
8
个映射；
①
a→1，b→1，c→1
；②
a→1，b →1，c→2
；③
a→1，b→2，c→1
；
④
a→1，b→2， c→2
；⑤
a→2，b→1，c→1
；⑥
a→2，b→1，c→2
；
⑦
a→2，
【追问】
9
个．
b→2，c→1
；⑧
a→2，b→2，c→2
．

b，c< br>?
，
N?
?
?3，0，3
?
，若从
M
到
N
的映射
f
满足：
f
?
a
?
?f
?
b
?
?f
?
c
?
，求这【拓展】设
M?
?
a，
样的映射
f
的个数．
【解析】 所求的映射有7个．


映射中的集合
A
与
B
没 有限制，比如可以建立人与性别的映射关系，可以建立圆与点的对应关系，
还可以建立非数集到数集的对 应关系，如每个人对应到他的身高．平面上每个点对应它到原点的距离．
但数学研究的主要是数集，给 集合
A，B
加上数集的限制，就是函数，所以函数是从数集到数集的映
射．

2.2函数的概念与三要素


考点2：函数的概念
函数的概念： 设集合
A
是非空的数集，对于
A
中的任意实数
x
，按照确定 的对应法则
f
，都有唯一确
定的实数值
y
与它对应，则这种对应关系 叫做集合
A
上的一个函数．记作
y?f(x)，

x?A
．
其中，
x
叫做自变量，自变量的取值范围（数集
A
）叫做这个函数的 定义域；与
x
的值
相对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
{y?f(x)|x?A}
叫做函数的值域．
函数
y?f(x)
也常写作函 数
f
或函数
f(x)
．


知识点睛

对于函数概念理解，需要注意以下几点：
⑴对于一个函 数来说，
x
为自变量，它的取值集合称为定义域；
y
叫因变量（初中的习惯叫 法），也叫
函数值（高中的习惯叫法），它的取值集合叫值域，
f
是对应法则，这三个 因素合起来称作函数的三
要素．每个函数都具有这样的三要素．
例：
y?x
2
，定义域为
R
，值域为
[0，??)
；
y?x?1，定义域为
[1，??)
，值域为
[0，??)
．

⑵高中引入了函数的新的记法
y?f(x)
，表示
x
经过
f
作用得到
y
，将初中时的
y?x
2
写成了
f(x)?x2
，
表示
f
对
x
作用得到
x
2
，前面说过字母都是浮云．再比如
g(t)?t?1
，自变量是
t
，对应法 则叫
g
．再
4
如
h(r)?πr
3
，自变量为r
．
3
用这种表达有什么好处呢？能准确表达在每个地方的取值．
如 ：①
f(x)?x
2
，
f(1)?1
，
f(2)?4
，
f(?2)?4
；
②
f(x)?x
2
?2x?1，则
f(?1)?0
，
f(0)?1
．
这就完全取代了初中时“当
x?
？时，
y?
？”的写法．

2
．
x
⑴
f(1)?
_______，
f(4) ?
_______；
⑵当
a?0
时，
f(a)?
____ _________，
f(a?1)?
______________．
522
答案：⑴3，；⑵
a?
，
a?1?
．
2aa?1


练习2：已知函数
f(x)?x?
经典精讲

【例3】

?
x?2，x≤?1
?
已知函数< br>f(x)?
?
x
2
，?1?x?2
，⑴求
f(π)< br>； ⑵若
f(a)?3
，求
a
．
?
2x，x≥2
?
【解析】 ⑴
f(π)?2π
；
⑵
a?3
．



<教师备案>如果一个函数没有标明定义域，默认定义域为使得解析式有意义的自变量全体构成的集合．
1
如
f(x)?
，默认定义域为
{x|x?0}
；
f(x)?1?x
，默认定义域为
(??，1]
或写成
x
{x|x≤ 1}
．定义域与值域都是集合，可以写成区间形式．目前定义域的自然约束有：分
母不为零，偶 次根式下非负，零的零次方无意义．

【例4】 求下列函数的定义域．
xx?2
3
①
y?x?
；②
y?
；③
y?
；④f(x)?1?2x?3x?1
；
x?1x?1
x?2
1
?( x?3)
0
；⑥
f(x)?x
2
?x?2
． ⑤
f(x)?
x?2

1
??
1
【解析】 ①
?
x|x≠2
?
； ②
?
x|x≥0且x≠1
?
；③
?
x|x≥2
?< br>；④
?
x|≤x≤
?
；
2
??
3
⑤
?
x|x?2且x≠3
?
；⑥
?
x|x≤?2或x≥1< br>?
．



********************* ************************************************** *****************
初高衔接——解一元二次不等式
求定义域问题中会遇 到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌
握的还不太好，可以在这里再 复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知
识点如下：

解一元二次不等式通常先将不等式化为
ax
2
?bx?c?0
或
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
的形式，然后求出
对应方程的根（若有），再 结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于
0
时两根之外，小于
0
时< br>两根之间．
一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表
（以
a?0
为例）：

判别式
??b
2
?4ac

??0

y
??0

y
??0

y
二次函数
y?ax
2
?bx?c

(a?0)
的图象
x
1
Ox
2
x
一元二次方程

有两相异实根
x
1
，x
2

O
x
1
=
x
2
x

O
x

ax
2
?bx?c?0

(a?0)
的根
ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0

?
?b?b?4ac
2a
x
1
?x
2

2
有两相等实根
，
x
1
?x
2
??
b

2a
没有实根
一元二次不
等式的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

{x|x
1
?x?x
2
}

{x|x?x
1
}

R

?

?




【例题】解下列一元二次不等式
⑴
x
2
?x?42?0
；⑵
6x
2
?13x?28 ?0
；⑶
x(x?11)≥3(x
2
?2x?1)
；
⑷
x
2
?4x?5?0
；⑸
?x
2
?x?2?0
．
【解析】 ⑴
(??，?6)(7，??)
；
?
47
?
⑵
?
?，
?
；
?
32
?
?
3?
⑶
?
1，
?
；
?
2
?
⑷
R
；
⑸
?
；

【练习】解下列一元二次不等式
3
⑴
2x
2
?3x?2?0
；⑵
4x?x
2
?0
；⑶
x< br>2
?x?1≤0
．⑷
3x
2
?3x?1??x
2．
2
1
??
【解析】 ⑴
?
??，?
?(2，??)
；⑵
(0，4)
；⑶
?
．⑷
R
．
2
??

1
??
【拓展】若
0?a?1
， 则不等式
(x?a)
?
x?
?
?0
的解集是_______ _______．
a
??
1
??
【解析】
a，
??
．
a
??
***************** ************************************************** *********************

考点3：同一函数
定义域、值域与对应法则之间的关系：
虽然它们合称函数的三要素，但这三要素之间也存在一些相生而不相克的关系．

判断：
①已知函数的定义域与值域，你能确定它们的对应法则吗？
不能，如定义域 和值域都是
(0，??)
，能够构造很多函数满足要求，如
x
，
2x
，
x
，
x
2
，…
②已知对应法则与值域，能否确定函数的定义域？
不能；如对应法则为
x
2
，值域为
{1，4}
，定义域可以为
{1，
…
2}，{? 1，?2}，{1，?2}，{1，?1，2}
，
③已知定义域与对应法则，能否确定值域？
可以．

所以判断两个函数是否相同，只需要判断定义域与对应法则，它们就可以确 定一个函数，值域是
被确定的．这也是为什么写函数时，只需要写明解析式与定义域．

同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．


知识点睛



【例5】
经典精讲


下列各组函数中，表示同一函数的有________．
x
①
y?1
与
y?
；②
y?x
与
y?
3
x
3
；
x
③
y?x
与
y?(x)
2
；④
y?x
与
y ?x
2
；
?
x，x≥0
⑤
y?x
与
y?
?
； ?
?x，x?0
⑥
y?x?1?x?1
与
y?x
2?1
；⑦
y?1?x?1?x
与
y?1?x
2

【解析】 ②④⑤⑦．

考点4：复合函数及其定义域
知识点睛


前面我们都是直接给 出一个函数的解析式，你去求解，函数的形成过程就是从定义域中拿出一个
元素，经过法则搅动一下．这 相当于对于原材料，经过一个加工厂加工一下，得到一个产品，即函数
值．但有些时候，一个产品需要经 过不止一个加工厂，得到一个最终产品．
如下：
1
加2
f
3< br>平方
g
9
A
B
C
把
A?C
叫做f
和
g
的一个复合．

f(x)?x?2
，
g(x)?x
2
，
x
先被
f
作用，再被
g
作用，记为
g[f(x)]?(x?2)
2
．
这样就可以拿一些简单的函数生成一些复杂的函数．
注意
g[f(x)]
与
f[g(x)]
不是同一个函数，如上面例题中，
f[g(x)]?x
2?2
．
再比如你爸爸的妈妈和妈妈的爸爸不可能是同一个人．
但有时，
f[g(x)]
与
g[f(x)]
是相同的，如
f(x)?x?1，g(x )?x?2
．

复合函数的概念：
如果
y
是
u
的函数，记作
y?f(u)
，
u
是
x
的函数，记为
u?g(x)
，且
g(x)
的值域与
f(u)
的定义域的交
集非空，则通过
u
确定了
y
是
x
的函数
y ?f[g(x)]
，这时
y
叫做
x
的复合函数，其中
u叫做中间变量，
y?f(u)
叫做外层函数，
u?g(x)
叫做内层函数 ．
⑴ 只有当外层函数
f(u)
的定义域与内层函数
g(x)
的值 域的交集非空时才能构成复合函数
f[g(x)]
．
⑵ 理解函数符号
f( x)
，及
f[g(x)]
与
g[f(x)]
的区别．
⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．

<教师备案> 注意复合函数的定义域：
f(x)?x
2
，
g(x )?x
，则
f[g(x)]?x
，但定义域为
{x|x≥0}
；g[f(x)]?x
，定义域为
R
．
【例6】 ⑴已知
f?
x
?
?x
2
?1
，
g
?
x
?
?2x?1
，求
f[f(x)]
，
f[g(x)]
，
g[f(x)]
与
g[g(x)]
．
⑵已知
f
?
x
?
与
g
?
x
?
分别由下表给出：
x

1


3

2

4

1


f(x)

3

2

4

x

g(x)

1

2

经典精讲


2

1

3

4

4

3

那么
f
?
f
?
2
?
?
?
＿＿，
f
?
g
?
2
?
?
?
＿＿，
g
?
f
?
2
?
?
?
＿＿，
g
?
g
?
2
?
?
?
＿＿；
满 足
f
?
?
g
?
x
?
?
?
?g
?
?
f
?
x
?
?
?
的
x
的值是＿＿．
【解析】 ⑴
f[f(x)]?[f(x)]
2
?1?x
4
?2x
2
?2
；
22
f
?
gx?gx?1?2x?1?1?4x?4x?2
； ?
??????
??
22
g
?
?
f
?
x
?
?
?
?2f
?
x
?
?1?2
?
x?1
?
?1?2x?1
；
2

g[g(x)]?2g(x)?1?4x?3
；
⑵
4，2，4，2
；
4
或
1
；

f(x? 1)
是不是一个复合函数呢？是的，是先加
1
再被
f
作用；同理，< br>f(x)
也是先再
f
，也
是复合函数．下面我们来看看复合函数的定义 域：
例：⑴若
f(x)
的定义域为
[?1，1]
，问
f( x?1)
的定义域为_____．
分析：注意
f(x)
与
f(x? 1)
不是同一个函数，先来分析一下
f(x?1)
是什么过程．
f(x?1 )
是从
A?C
的过程，
f(x)
只是其中
B?C
的 一个过程：
+1
f

f(x)
的定义域是
B?[?1， 1]
，
f(x?1)
的定义域是
A
，
A?1?B
， 故
A?[?2，0]
．

⑵若
f(x?1)
的定义域为< br>[?1，1]
，问
f(x)
的定义域为______．
分析：
+1
f
ABC
ABC

f(x?1)
复合函数， 于是
A?[?1，1]
，
f:B?C
，故
f
的定义域为B
，
A?1?B
，故
B?[0，2]
．

⑶< br>f(x?1)
的定义域为
[?1，1]
，问
f(2x)
的定义 域是______．
分析：
A
1
x+1
[-1,1]
f
2x
BC

A
2

这是一个已知
A1
，求
A
2
的过程，之间的联系纽带是
f(x)
的定义 域
B
，
A
1
?1?B
，故
B?[0，2]
，
又
2A
2
?B
，故
A
2
?[0，1]< br>．

理解了这个过程之后，总结出两句话，做题时就不用画图了：
①定义域永远是自变量的取值范围，自变量一般都用
x
表示；
如
f (x?1)
的定义域为
[?1，1]
是指
x?[?1，1]
；
②
f
的作用区域保持不变，即
f
后面那个大括号的范围保持不变．
f(x)
的定义域为
[?1，1]
时，函数定义域与
f
的作 用区域一致．
而
f(x?1)
的定义域为
[?1，1]
，则
x?[?1，1]
，从而
x?1?[0，2]
，此时
f
的作用区域 即为
[0，2]
，
这是
f(x)
的定义域．

【例7】 ⑴
⑵
若
f(x)
的 定义域为
(1,3]
，求
f(x?2)
的定义域；
若
f( x?2)
的定义域是
(1,3]
，求
f(x)
的定义域；
⑶若
f(x?2)
的定义域是
(2,5]
，求
f(x
2?3)
的定义域．
【解析】 ⑴
(?1,1]
．
⑵
(3,5]
；
⑶
[?2，?1)(1,2]
．





考点5：函数的值域
1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决．
⑴一次函数：
y?kx?b(k?0)
，图象为一条直线．
不加限制时，定义域为
R
，值域为
R
．
若定义域发生限制 ，
y?2x?1
，
x?[?3，1]
，值域为
[?5，3]
，就是把端点值代入．
若是取不到端点，如
y?1?2x
，
x?(??，2 ]
，结合图象易知答案为
[?3，??)
．
⑵二次函数：
y?ax
2
?bx?c(a?0)
，图象为抛物线．
进入高中后，要习惯性把
a?0
写上．
若定义域无限制，值域为从最小值到 正无穷（
a?0
）或从负无穷到最大值
(a?0)
．
若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．
k
⑶反比例函数：
y?
（
k?0
），图象为双曲线．
x
k?0
，图象在第一、三象限：
k?0
，图象在第二、四象限：
如果定义域无其它限制，值域为
(??，0)(0，??)
；
如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．

遇到这三种函数的值域问题，我们应 该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪
一段，最后得到所求函数的值域．

2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．
练习3：求函数
f(x)?1?x
2
的值域．
答案：由两层函数复 合，内层函数
u?1?x
2
，外层函数
y?u
，定义域为
[ ?1，1]
，
于是
u?[0，1]
，
y?[0，1]
．

<教师备案> 函数的值域问题是一个不断延伸的问题，随着学习的知识越来越多，解决值域 的方法也越
来越多．这里我们只介绍利用图象法解决一些最基本、最简单的函数的值域问题，以及由此得到的这些常见函数简单复合后的值域问题．
后面学习了新的函数后，我们会继续求那些新的函 数的值域，秋季时，我们会系统介绍一
些求函数值域的方法，包括分离常数法与换元法，并继续解决一些 更复杂的函数的值域问
题．等我们高二有了更强大的工具——导数后，我们还会求更多复杂函数的值域．

知识点睛

经典精讲


【铺垫】求下列函数的值域：
⑴
y??2x?1
，< br>x?[?1，3]
；⑵
y?x
2
?x?1
，
x?[? 1，3]
；⑶
y?
?
3
??
11
?
【解析 】 ⑴
[?7,1]
；⑵
?
，13
?
；⑶
?
，
?
．
?
4
??
42
?
1
，x?[1，3]
；
x?1


【例8】 求下列函数的值域．
21
⑴
y??
，
x?[?2，?1]
；⑵
y?2?，x??1
；⑶
y?2?x?1
；
2x?1x?2
⑷
y?x
2
?3x? 2
；⑸
y?8?2x?x
2
．
?
2
?
【解析】 ⑴
?
，2
?
；
?
3
?
⑵
(1，2)
；
⑶
(??，2]
；
⑷
[0，??)
．
⑸
[0，3]
．



【拓展】
f(x)?2?
【解析】
[?1，2)
．



回忆集合的三种表示方法，引出函数的三种对应的表示方法：
（集合的 三种表示法的优缺点前面已经介绍过，讲完函数的三种表示法后再来总结函数的三种表示法
的优缺点，现 在先不提）
集合的表示方法
优点
缺点
函数的表示方法
优点
缺点

列举法
简单、直观
不能表示复杂的集合
列表法
不需要计算、直观
不能表示复杂的函数
描述法
严谨
抽象
解析法
简明概括，易求值
不直观
图示法
直观
很难表示规则
图象法
直观，能反映大趋势
不够精细
3
x?4x?5
2
．

考点6：函数的表示法
知识点睛


函数的三种表示法
⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．
优点：不需 要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数
关系，列表法很适用．
⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量
x
的值和它对应的函数值
f( x)
构成的有序实数
(x，f(x))
对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数
y?f(x)
的图象，即
F?{P(x，y)|y?f(x)，x?A}
．
这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应 的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究
函数的相关性质．
⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如
y?2x?6
．
优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的
值 所对应的函数值．

对于函数的表示法，有一些需要注意的东西：
①列表法：生活 中经常见到这种方法，如银行利率表，列车时刻表等．但不是所有的函数都能用列表
法表示出来．如当一 个函数的定义域含有的元素个数无限时，很难用列表法表示．
②解析法：中学遇到的函数大多用解析法 表示，但也不是所有的函数都有对应的解析式（或者说有些
函数用解析式表示非常不容易），如，给出一 条曲线，使之满足每个
x
都对应一个
y
，但想
用解析式表示出这个函 数就非常困难．
③图象法：不是所有函数都能画出图象．
?
0，x?
R< br>Q
比如：狄利克莱函数（Dirichlet）
D(x)?
?
． ?
1，x?Q
再比如：定义在正有理数集合上的一个函数：
f(x)?
们 的图象都是一些错落的散点．

函数概念的发展
莱布尼茨（德，1646-1716）
用函数一词表示变量
x
的幂，
x
2
，x
3
，

雅各布
?
伯努利（瑞士，1654-1705） 由
x
和常量构成的任一式子都可称之为关于
x
的函数
把用解析式表 示的，包括四则运算、幂、开方、三角、指
对运算所构成的式子都叫做解析函数；把在
xy平面上任意
欧拉（1707-1783）
画出的曲线的函数称为随意函数．
在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变
柯西（法，1789-1857） 数的值，其他变数的值也随之而确定时，最初的变数称之
为自变数，其他各变数则称为函数
对 于
x
的每一个值，
y
总有完全确定了的值与之对应，而
黎曼（德，1 826-1866）
不论建立
x，y
之间的对应方法如何，均将
y
称为
x
的函数．
用映射观点定义函数，
x，y
可以不是数．
康托尔的集合论之后（1870s）
避免“对应”这个不明确概念(1960s) 用有序对集来定义函数
初中所学的函数比较看重有明确的解析式，与柯西的定义比较接近．而高中所学 的函数从本质上
来说是一个对应关系，更接近黎曼的定义．黎曼之后的函数已知不是高中意义下的函数了 ．
1q
?
2
?
，其中
x?
，它
(p，q )?1
，
f
??
?3
，
f
?
2
?
?1
．
pp
?
3
?

练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有
5
件商品，每个商品的定价都为
2
元，
x
表示卖出商品的数
量，
y
表示销售收入， 用三种方法表示
y
关于
x
的函数．
答案：列表法：
x

y

0

0

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

解析法：
y?2x，x?{0，1，2，3，4，5}
；
图象法：
y
Ox


求函数解析式我们在预习时只介绍代入法、配凑法、换元法，求解 析式需要注意定义域．初中学
过一种待定系数法求已知类型的函数，我们放在例9后面选讲．老师可以用 下面的题给学生讲解求解
析式的方法，再让学生去做例9．
⑴已知
f(x)?2x? 1
，求
f(x?1)
，
f(x
2
?1)
；
代入法：
f(x?1)?2x?3，f(x
2
?1)?2x
2
?1
．
⑵已知
f(x?1)?x
2
?x
，求
f(x)
；
配凑法：
f(x?1)?x
2
?x?(x?1)
2
?(x? 1)
，于是
f(x)?x
2
?x
；
换元法：令
t?x?1
，则
x?t?1
． ∴
f(t )?(t?1)
2
?t?1?t
2
?t
，∴
f(x)?x< br>2
?x
．
⑶已知
f(x
2
?1)?x
4< br>?2x
2
?3
，求
f(x)
．
令
t?x< br>2
?1
，则
f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?3?t
2
?4t?6
，故
f(x)?x
2
?4x?6
．
注意定义域：
t
是有限制的，
t≥1
，故求出的
f(x)< br>是有定义域的，定义域为
[1，??)
．
【例9】 求下列函数解析式
⑴已知
f(x)?x
2
?1
，求
f(2x?1)
；
⑵
⑶
已知
f(x?1)?x
2
?x?3
，求
f(x)
；
已知
f
经典精讲


?
x
?
?3x?2x
，求
f(x)
．
【解析】 ⑴
f(2x?1)?(2x?1)
2
?1?4x
2
?4x?2
．
⑵
f(x)?x
2
?3x?1
．
⑶
f(x)?3x
2
?2x(x≥0)
．

< br><教师备案>待定系数法．已知函数为一次、二次、反比例函数等形式的函数，求函数的解析式，可以先设出函数的形式，再求解．如：已知二次函数
f(x)
满足
f(1)?f(3) ?0，f(2)??1
，求
f
?
x
?
．
解析：法一：设为两根式方程：

设
f(x)? a(x?1)(x?3)
，由
f(2)??1??a??1?a?1
，故
f( x)?(x?1)(x?3)
．
法二：设为顶点式方程：
由题意知，
x? 2
是
f(x)
的对称轴，设
f(x)?a(x?2)
2
?1
，
f(1)?0?a?1
，
故
f(x)?(x?2)
2< br>?1?x
2
?4x?3
；
法二：设为一般式方程：
?a?b?c?0
?
a?1
??
设
f(x)?ax
2?bx?c
，有
?
9a?3b?c?0
，解得
?
b?? 4
，故
f(x)?x
2
?4x?3
．
?
4a?2 b?c??1
?
c?3
??
求函数解析式还有一种方法是方程组法，这会放到 同步再讲．




已知函数
f(x)?2x?1
的定义域为
[?2，2]
，求函数
f(2x)?f(x)
的值域．
【解析】
[?2，2]
．
备注：
看函数先看定义域，否则我们 会在函数问题以及以后的导数问题中不停地掉到陷阱里．我们
要从一开始就强调函数的定义域问题．
如果你没有心痛过，说明你没有在乎过——我说的是忘记定义域！



实战演练

【演练1】已知集合
A?N
，
B?
?
aa?2n?1，n?Z
?
，映射
f:A?B
，使
A中任一元素
a
与
B
中元
?
素
2a?1
对应，则与
B
中元素
17
对应的
A
中元素是（ ）
A．
3
B．
5
C．
17
D．
9

【解析】
D


【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
x
2
?1
A．
y?x?1
和
y?
B．
y?x
0
和
y?1

x?1
C．
f< br>?
x
?
?x
2
和
g
?
x
?
?
?
x?1
?
D．
f
?
x
?
?
【解析】 D

【演练3】

【演练4】
2
??
x
x
2< br>和
g
?
x
?
?
x
?
x
?< br>2

5
?
，则它的定义域为 ． 已知函数f
?
x
?
??3x?4
的值域为
?
?10，< br>【解析】
?
?3，2
?
．
已知
f(x)
的定义域为
[?1，2)
，则
f(|x|)
的定义域为（ ）．
A．
[?1，2)
B．
[?1，1]
C．
(?2，2)
D．
[?2，2)

【解析】 C．

【演练5】 ⑴已知
f
?
x?1
?
?2x?3
，则
f
?
3
?
?
．
⑵设
g(x?2)?2x?3
，则
g(x)?
_______．
【解析】 ⑴
f(3)?7
．
⑵
g(x)?2x?1
．

?
x
2
?1，x≤0
【演练6】已知
f(x)?
?
，若
f(a)?10
，求
a
．
?2x，x?0
?
【解析】
a??3
．







概念要点回顾


1 ．函数的概念：设集合
A
是非空的数集，对于
A
中的____实数
x
，按照确定的对应法则
f
，都有_____
的实数值
y
与它 对应，则这种对应关系叫做集合
A
上的一个函数．记作
y?f(x)，x?A
．
2．函数的三要素是：________、________与________，其中_____ ___与________一致的函数就称为同
一函数；
3．函数的表示方法有______、_______与_______．
4．对于复合函数
f[g(x)]
，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要 先求_____，
再________一层一层求值域．


答案：
1．任意（任一）、唯一确定；
2．定义域、值域、对应法则，定义域与对应法则；
3．列表法、解析法、图象法；
4．
g(x)
，
f(x)
，定义域，自内而外．