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2017高中数学抽象函数专题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:31
tags:高中数学函数

2009年全国高中数学联赛山东赛区预赛-高中数学向量如何学好


三、值域问题
例4.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x+ y)=f(x)f(y)总成立,
且存在
x
1
?x
2
,使得
f(x
1
)?f(x
2
)
,求函数f(x)的值域。
解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x) =f(x)f(0)=0
恒成立,这与存在实数
x
1
?x
2
,使得
f(x
1
)?f(x
2
)
成立矛盾,故 f(0)≠0,必有
x
?
f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任 意实数x、y均成立,因此,
f(x)?
?
?
f()
?
?< br>2
?
2
?0
,
又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x -x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.
四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法,
x?1
?
例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x,函数f(x)满足,
f
?
x
?
?f
?
??
?1?x
,求f(x)
?
x
?
的解析式。
解:
?f(x)?f(
x?1
)?1?x (x?0且x?1),(1)
----
x

x-1x?112x?1
代换x得:f()?f()?,
xx1?xx
(2)
再以
112?x
(1)?(3)?(2)
x
3
?x
2
?1代换(1)中的x得:
f(
得:f(x)? (x?0且x?1)

)?f(x)?.
---(3)

2
1-x
1-x 1?x
2x
2
?2x
例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:
①f(n)>0,n∈N;②f(n
1
+n
2
)=f(n
1
)f(n
2
),n
1
,n
2
∈N*;③f(2)= 4同时成立? 若存在,求出
函数f(x)的解析式;若不存在,说明理由.
解:假设存 在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又
f(2)= 4=2
2
,f(3)=2
3
,?,由此猜想:f(x)=2
x
(x∈N*)
小结:对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究,如果给 出
的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.
练习:1、
设y?f(x)是实数函 数(即x,f(x)为实数),且f(x)?2f(
1
)?x,求证:|f(x)|?
2
2.

x3
解:

1
代换x,得f (
1
)?2f(x)?
1
,与已知得 x
xxx
2
?3xf(x)?2?0

由??0得 9f
2
(x)?4?2?0,?|f(x)|?
2
2.
3

3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1 )=0, (1)

f(0)
的值;
(2)对任意的
x
1
?(0,)

x
2
?(0,)
,都有f(x1
)+2a
x
2
成立时,求a的取值范
围.
解:(1)由已知等式
f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x
,令
x ?1

y?0

f(1)?f(0)?2
,又∵
f(1)? 0

1
2
1
2



f(0)??2< br>.
(2)由
f(x?y)?fy()?(x?2y?1)x

f(x )?2?x
2
?x
.∵
x
,令
y?0

f (x)?f(0)?(x?1)x
,由(1)知
f(0)?2?

1
11
2
f(x
1
)?2?x
1
?x
1
?( x
1
?)
2
?

x
1
?(0,)
上单调递增,
2
24
311

f(x
1
)?2?( 0,)
.要使任意
x
1
?(0,)

x
2
?(0,)
都有
f(x
1
)?2?log
a
x
2< br>成立,必有
422
3
1
?log
a
x
2都成立.当
a?1
时,
logx?lo
a2a
g
,显然 不成立.当
0?a?1
时,
2
4
3
3
13
4
4
(log
a
x
2
?)log
a
?,解得
,1)

?a?1

a
的取值范围是
[
24
4
4
1
,∴
)
1
?(0,
2
五、单调性问题 (抽象函数的单调性多用定义法解决)
.

练习:设f(x)定义于实数集上,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x、y,有
f(x+y )=f(x)f(y),求证:f(x)在R上为增函数。
证明:设R上x
1
2
,则f(x
2
-x
1
)>1,
f(x
2
)=f(x
2
-x
1
+x
1
)=f(x
2
-x
1
)f(x
1
),(注意此处不能直接得大于f(x
1
),因为f(x
1
)的正
负还没确定) 。
取x=y=0得f(0 )=0或f(0)=1;若f(0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0与x>0时,f(x)>1
矛盾,所以f(0)=1,x>0时,f(x)>1>0,x<0时,-x>0,f(-x)>1,∴由
f(0)?f(x)f(?x)?1得f(x)?
1
?0
,故
f(?x)< br>f(x)>0,从而f(x
2
)>f(x
1
).即f(x)在R上是< br>增函数。(注意与例4的解答相比较,体会解答的灵活性)
练习:已知函数f(x)的定义域为 R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-
1
)=0,当< br>2
x>-
1
时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数;
2
证明:设x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
1
>-
1
,由题意f(x
2
-x
1

1
)>0,∵f(x
2
)-f(x
1
)=f[(x
2

222
x
1
)+x
1
]-f(x
1
)=f(x
2
-x
1
)+f(x
1
)-1-f(x
1
)=f(x
2
-x
1
)-1=f(x
2
-x
1
)+f(-
1
)-1=f[(x
2

2x
1
)-
1
]>0,∴f(x)是单调递增函数.
2


练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f (x)≠0,当x>1时,f(x)<1。
试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。
解:
对x?R
?
有f(x)?f(
f(x
2
)
?
f(x
1
)
f(
x?x)?f
2
(x)?0,又f(x) ?0,故f(x)?0

设x
1
,x
2
?R
?,且x
1
?x
2
,则
x
2
?1,则

x
1
x
2
x
?x
1
)f(
2)?f(x
1
)
x
1
x
1
x
??f(
2
)?1
f(x
1
)f(x
1
)x
1,所以f(x
1
)>f(x
2
),故f(x)在R
+
上 为减函数.
练习6、. 已知函数
f(x)
的定义域为
?
0,1< br>?
,且同时满足:(1)对任意
x?
?
0,1
?
,总 有
f(x)?2
;(2)
f(1)?3

(3)若
x
1
?0,x
2
?0

x
1
?x
2
?1
,则有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?2
.
(I)求
f(0)
的值;(II)求
f(x)
的最大值; (III)设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n,且满足
*
1
.
?2n?
2?3
.求证:
f (a
1
)?f(a
2
)?f(a
3
)???f(a
n
)?
3
S
n
??
1
(a?3),n?N
n?1
2
n
2
解:(I)令
x
1
?x
2< br>?0
,由(3),则
f(0)?2f(0)?2,?f(0)?2

由 对任意
x?
?
0,1
?
,总有
f(x)?2,?f(0)? 2
(II)任意
x
1
,x
2
?
?
0,1
?

x
1
?x
2
,则
0?x
2
?x
1
?1,?f(x
2
?x
1
)?2
?f(x
2
)?f(x
2
? x
1
?x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f( x
1
)?2?f(x
1
)
?f
max
(x)?f( 1)?3
n?1
*
11
(III)
?S
n
??1
?S
n?1
??
1
2
(a
n?1
? 3)(n?2)
?a
n
?
3
a
n?1
(n?2), ?a
1
?1?0?a
n
?
3
2
(a
n?3)(n?N)
1
)?f(
1
?
1
?
1)?f(
2
)?f(
1
)?2?3f(
1
)?4

?f(a
n
)?f(
n
3
n
3
n3
n
3
n
3
n
3
n
3
?1< br>

1
)?
1
f(?f(
3n
3
3
n?1
1
1
)?
4
3
,即
f(a
n?1
)?
3
4

f(a
n
)?
3
4144144441

f(a
n
)?2?
3
n
1
?1

?f(a
n
)?
1
3
f(a
n?1
)?
3
?
3
2
f(a
n?2
)?
3
2
?
3
???
3
n?1
f(a
1
)?
3n?1
?
3
n?2
???
3
2
?
3< br>?2?
3
n?1
?f(a
1
)?f(a
2
) ???
1?(
1
)
n
3
f(a
n
)?2n ?
1?
1
3
即原式成立。
六、奇偶性问题

解析:函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称,再考虑f(-x)与f(x)的
关系
(2)已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象的对称轴是( D )
A.x=1 B.x=2 C.x=- D.x=
解析:f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.
注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数,化
繁为简。F(x) =f(2x+1)为偶函数,则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。
例1 5:设
f(x)
是定义在
R
上的偶函数,且在
(??,0)
上是增函数,又
f(2a
2
?a?1)?f(3a
2
?2a?1)< br>。求实数
a
的取值范围。
1
2
1
2
解析: 又偶函数的性质知道:
f(x)

(0,??)
上减,而
2a
2
?a?1?0

3a
2
?2a?1?0


所以由
f(2a
2
?a?1)?f(3a
2
?2a?1)

2a
2
?a?1?3a
2
?2a?1
,解得0?a?3

(设计理由:此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题,所以本题弹性较 大,
可以作一些条件变换如:
f(a?1)?f(1)或f(a?1)?f(1?2a)
等;也可将定义域作一些
调整)
例16:定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=l og
2
3且对任意x,y∈R都有
f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3
x
)+f(3
x
-9x
-2)<0对任意x

R恒成立,求
实数k的取值范围.
解答:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)---- ①令y=-x,代入①式,得
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令x=y=0,代入 ①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.即
f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x)是奇函数.
(2) 解:f(3)=log
2
3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以 f(x)在
R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3
x
)<-f(3
x
-9
x
-2)=f(-3
x
+9
x
+2 ), k·3
x
<-3
x
+9
x
+2,3
2x< br>-(1+k)·3
x
+2>0对任意x∈R成立.令t=3
x
>0,即 t
2
-(1+k)t+2
>0对任意t>0恒成立.
令f(t)?t
2
?(1?k)t?2,其对称轴x?

1?k
?0即k??1时,f(0 )?2?0,符合题意;
2
1+k
当?0时,
2
?
1?k< br>?0
?
对任意t?0,f(t)?0恒成立?
?
2
2
?
?
??(1?k)?8?0
解得-1?k??1?22
1?k
2< br>故:
k??1?22时,f(k?3
x
)?f(3
x
?93
?2)?0
对任意x∈R恒成
立。
说明:问题(2)的上述解法是根 据函数的性质.f(x)是奇函数且在x∈R上是增函
数,把问题转化成二次函数f(t)=t
2
-(1+k)t+2对于任意t>0恒成立.对二次函
数f(t)进行研究求解.本题还有更 简捷的解法:分离系数由k·3
x
<-3
x
+9
x
+2得< br>k?3
x
?
22
2
x
?1,而u?3??1?22? 1,
要使对
x?R
不等式
k?3
x
?
x
? 1.
恒成立,只需
xx
3
33
k<
2




2?1



七、周期性与对称性问题(由恒等式简单判断:同号看周期,异号看对称)
...

号 周 期 性 对 称 性
f
?
x?a
?
?f
?
?x?a
?
→对称轴
x?a
?
y?f
?
x?a
?

f
?
x?a
?
?f
?
x?a
?

偶函数;
f
?
x?a
?
??f
?
?x?a
?
→对称 中心(a,0)
1
T=2
a

?
y?f
?
x?a
?
是奇函数
f
?a?x
?
?f
?
b?x
?
→对称轴
x?
2
f
?
a?x
?
?f
?
b?x
?→T=
b?a

a?b

2
f
?
a ?x
?
??f
?
b?x
?
→对称中心
(
a ?b
,0)

2
f(x)= -f(x+a)→
3
T=2
a

f
?
a?x
?
??f
?
b?x
?

?
f(x)= -f(-x+a)→对称中心
?
?
,0
?

a
?
2
?
4
5
T=2
b?a

f(x)=±
f(x)=1-
1
→T=2
a

f< br>?
x
?
1
?
f(x)?0
?

f< br>?
x?a
?
f
?
a?x
?
??f
?
b?x
?
→对称中心
?
?
a?b
?
,0< br>?

2
??
?
22
?
ab
?
f(x)= b-f(-x+a)→对称中心
?
?
,
?

6
T=3
a


结论:(1) 函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,
且T=2|a-b|
(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,
且T=2|a-b|
(3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则 函数y=f(x)是周期函数,
且T=4|a-b|
(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:
y=f(a+x)与y=f(b-x)关于
x?
b?ab?a
,0)
对称 对称;y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点
(
22


( 可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对
称轴:两个同法则不同表达式 的函数,对应法则下的两式相减等于0,解得的x
为对称轴)
1
2
1
2
3、函数f(x)是定义在R上的奇函数,且
f(?x)?f(?x)
,则
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?

解析:法一:因 f(x)为奇函数且关于
x?
对称,T=2,可借助图象解答,得结果为
0. 小结:此方法为数形结合法
法二:因f(x)为奇函数且关于
x?
1
对称, 类比
f(x)?sinx
联想函数
f(x)?sin
?
x

2
1
2
?
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?< br>0, 小结:此方法为抽象函数具体化法
4、已知函数
y?f(2x?1 )
是定义在R上的奇函数,函数
y?g(x)

y?f(x)
的反函 数,若
x
1
?x
2
?0

g(x
1
)?g(x
2
)?
( )
A)2 B)0 C)1 D)-2
解析:法一:(函数具体化)设
f(x)?x?1< br>符合题意,则
g(x)?x?1

g(x
1
)?g(x
2
)?(x
1
?1)?(x
2
?1)?(x
1
? x
2
)?2??2

法二:y=f(2x-1)是R上的奇函数→f(-2 x-1)=-f(2x-1),即
f(-2x-1)+f(2x-1)=0,由反函数的关系就可以取x
1
= f(-2x-1),x
2
= f(2x-1),所以
g(x< br>1
)+g(x
2
)=-2x-1+(2x-1)=-2.

函数综合
1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调),推广 :
函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反,
推广:函数 在其对称轴两侧的单调性相反;此时函数值的大小取决于离对称轴的
远近。解“抽象不等式(即函数不等 式)”多用函数的单调性,但必须注意定义域。
关注具体函数“抽象化”。
举例2] 设函数
f(x)?x
3
?x
,若
0

?
≤时,< br>f(msin
?
)?f(1?m)?0
恒成立,则实数
m
的取 值范围是
解析:此题不宜将msin
?
及1-m代入函数< br>f(x)?x
3
?x
的表达式,得到一个“庞大”
?
2
的不等式,因为运算量过大,恐怕很难进行到底。注意到:函数f(x)为奇函数,原
不等式等价于:
f(msin
?
)?f(m?1)
,又函数f(x)递增,∴msin
?
>m-1对
0

?
≤恒
成立,分离参变量m(这是求参 变量取值范围的通法)得:m<
1
,(0<1- sin
?
1?sin
?
?
2
≤1,事实上当sin
?
=1时不等式恒成立,即对m没有 限制,所以无需研究),记


g(
?
)=
1
,则m?
)
min

1?sin
?
又∵0<1- s in
?
≤1,∴g(
?
)
min
=1(当且仅当
?
=0时等号成立),∴m<1。
[巩固]定义在[-1,a]上的函数f(x)满足:f(2 +x)=f(2-x),且在[2,5]上递增,方程
f(x)=0的一根为4,解不等式f(3+x) >0
[提高]定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=
1
,且f(x)在 [-3,-2]上是减函
f(x)
?
是钝角三角形的两锐角,数,又
?
、则下列结论中正确的是: A.f(sin
?
)>f(cos
?
)
B. f(sin
?
)?
) C.f(sin
?
)?
) D. f(cos
?
)?

2.关注“分段函数”。分段函数 的反函数、值域一般分段求,分段函数的奇偶性、
单调性一般要借助于图象。f(x)=max{g(x ),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一
种分段函数,作出它的图象是研究 这类函数的有效途径。
3.研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的)、二次 方程
根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有绝对值的函数性
质、已知 函数值域研究定义域等一般用函数图象(作图要尽可能准确)。
[
4. 求最值的常用方法 :①单调性:研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值
域的最重要也是最根本的方法。②基本不等式 :满足条件“一正、二定、三相等”
时方可使用,如果“不相等”,常用函数
y?x?,(a? 0)
的单调性解决。③逆求法:
用y表示x,使关于x的方程有解的y的范围即为值域,常用于 求分式函数的值
域,判别式法就是其中的一种。
④换元法:需要把一个式子看作一个整体即可实施换元,“三角换元”是针对“平
方和 等于1”实施的,目的多为“降元”;求值域时的换元主要是为了“去根号”。
⑤数形结合。
x
2
?2x?2
(x??1)
,[举例1]已知函数
y?
则 其图象的最低点的坐标是 ( )
x?1
A、(1,2) B、
(1,?2)
C、(0,2) D、不存在
a< br>x
解析:求函数图象的最低点的坐标即求函数当x取何值时函数取得最小值,最小
值是多 少;
此题不宜“逆求”(判别式法),因为⊿≥0不能保证x>-1(这是使用“判别式法”
时需特别注意的)。记x+1=t,(t>0),此时x=t-1,设
(t?1)
2
? 2(t?1)?2t
2
?11
??t??2
(当且仅当t=1即x=0时等号 成立,g(t)=(注意这里
ttt
的“换元”实质是“整体化”的具体落实,将需要“整体化 ”的部分换成一个变
量,比“凑”更具一般性也更易实施),选C。
[举例2]已知
a?b?1,a,b?R
+
,则
ab?
1
的最小值为
ab


解析:本题关注
ab
的取值范围,对
ab?号成立,事实上:
0?ab?(
1
使用基本不等式,当且仅当
ab
=±1时等
ab
a?b
2
1
)?
,∴等号不成立,即不能 使用基本不等式。记
24
1111117
ab
=(,
ab?
=
t
+=g(
t
),函数g(
t
)在(0,
]< br>上递减,∴g(
t
)
min
=g()=。
t
0<< br>t
≤)
4abt444
5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法,转化为求 某函数的值域或最值;也
可以整体研究函数y=f(a,x)的最值。
[举例] 关于x的 方程2
2x
-m2
x
+4=0(x<0)有解,求实数m的取值范围。 解析:令2
x
=t,(02
-mt+4=0 在(0,1)上有解,这里显然不
能简单地用判别式处理,因为⊿≥0不能保证方程在(0,1)上有解 ,还需附加更
多的条件才成,繁!事实上,求参变量范围的问题首先考虑的是“分离参变量”:
m?t?
4
=
g(t)
,所谓方程有解,即
m
在函数
g(t)
的值域内(这也是解决方程有解问
t
题的通法),∵t∈(0,1),∴不 能使用基本不等式(等号不成立),注意到函数
g(t)
在(0,1)上递减,∴
g( t)
∈(5,
??
)即
m
∈(5,
??
)。

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本文更新与2020-09-17 16:31,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/401422.html

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