高中数学必修一函数的应用知识点总结

第三章

函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函 数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的 实数
x
叫做函
数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实 数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方 程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．

3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，
○
并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：
①正比例函数
y?kx(k?0)
仅有一个零点。
k
(k?0)
没有零点。
x
③一次函数
y?kx?b(k?0)
仅有一个零点。
2
④二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
②反比例函数y?
（1）△＞０，方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两不等实根，二次函数 的图象与
x
轴有两
个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax?bx?c?0(a?0)
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一
个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax?bx?c?0( a?0)
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二
次函数无零点．
⑤指数函数
y?a(a?0,且a?1)
没有零点。
⑥对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
仅有一个零点1.
⑦幂函数
y?x
，当
n?0
时，仅有一个零点0，当
n?0
时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数 先把
f
?
x
?
转化成
?
x
2
2< br>2
f
?
x
?
?0
，再把复杂的函数拆分成两个我们常 见的函数
y
1
,y
2
（基本初等函数），这另
个函数图像的 交点个数就是函数
f
?
x
?
零点的个数。

6、 选择题判断区间
?
a,b
?
上是否含有零点，只需满足
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
。
Eg：试 判断方程
x?x?2x?1?0在区间
[0,2]内是否有实数解？并说明理由。






42

7、确 定零点在某区间
?
a,b
?
个数是唯一的条件是:①
f
?< br>x
?
在区间
上连续，且
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
②在区间
?
a,b
?
上单调。
Eg：求函数
f(x)?2?lg(x?1)?2
的零点个数。





8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使
f(x)?0
的实数；
从“形”的角度看：即是函数
f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标；
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相切，则零点
x
0
通常称为不变号零点；
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相交，则零点
x
0< br>通常称为变号零点．

Eg：一元二次方程根的分布讨论
一元二次方程根的分布的基本类型
2
设一元二次方程
ax?bx?c?0
（
a?0
）的两实根为
x
1
，
x
2
，且x
1
?x
2
.
x
k
为常数，则一元二次方程 根的
k
分布（即
x
1
，
x
2
相对于
k
的位置）或根在区间上的
分布主要有以下基本类型：
表一：（两根与0的大小比较）
分
布
情
况
两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根
小于0，一个大于
0
?
x
1
?0 ,x
2
?0
?

?
x
1
?0,x
2
?0
?

?
x
1
?0?x
2
?

a?0
）




大
致
图象
（
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0

?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0

f
?
0
?
?0

大
致
图
象
（
a?0
）



得
出
的
结
论
?
??0?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0

?
??0
?b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
a ?f
?
0
?
?0

?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0

?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
a?f
?< br>0
?
?0

f
?
0
?
?0

（
不
综
讨
合
论
结
a
论
）



a?f
?
0
?
?0

表二：（两根与
k
的大小比较）
分
布
情
况
两根都小于
k
即

两根都大于
k
即

一个根小于
k
，一个大
于
k
即
x
1
?k,x
2
?k

x
1
?k,x
2
?k

x
1
?k?x
2

a?0
）





大
致
图
象
（
k
k
k
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f< br>?
k
?
?0

?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f
?< br>k
?
?0

f
?
k
?
?0

大
致
图
象
（
a?0
）



得
出
的
结
论
?
??0?
b
?
?k
?
?
2a
?
?
?
f
?
k
?
?0

?
??0
?b
?
??k
?
?
2a
?
?
a?f?
k
?
?0

?
??0
?
b
?
?k
?
?
2a
?
?
?
f
?k
?
?0

?
??0
?
b
?
??k
?
?
2a
?
?
a?f
?
k
?
?0

f
?
k
?
?0

（不
综
讨
合
论
结
a
论
）

a?0
）




a?f
?
k
?
?0

分
布
情
况
大
致
图
象
（

得
出
的
结
论

表三：（根在区间上的分布）
两根都在
?
m,n
?
内
两根有且仅有一根在
?< br>m,n
?
一根在
?
m,n
?
内，另一根在
?
p,q
?
内（有两种情况，只画了一种）
内，
m?n?p?q


?
??0
?
?< br>f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0
?
b
?
m???n
2a
?
?

f
?
m
?
?f
?
n
?
?0

?f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0
?
?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
?
f
?
p
?
?0
?
?
f
?
q
?
?0
?< br>f
?
p
?
f
?
q
?
?0
?
?
或
?

大
致
图
象
（
a?0
）




得
出
的
结
论
?
? ?0
?
?
f
?
m
?
?0
?
?f
?
n
?
?0
?
b
?
m???n2a
?
?

综
合
结
论
f
?< br>m
?
?f
?
n
?
?0

?f
?
?
f
?
?
f
?
f
?
?
m
?
?0
?
n
?
?0
?
p
?< br>?0
?
?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
?
?
q
?
?0
或
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
?
f
?
m
?
f
?
n
??0
?
?
?
?
f
?
p
?
f< br>?
q
?
?0

（
a
不
）
讨
论



















——————
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0

Eg：（1）关于 x的方程
x?2(m?3)x?2m?14?0
有两个实根，
且一个大于1，一个小于 1，求
m
的取值范围？







（2）关于x的方程
x?2(m?3)x?2m?14?0
有两实根在[0 ,4]
内，求
m
的取值范围？
2
2
（3）关于x的方程< br>mx?2(m?3)x?2m?14?0
有两个实根，且
一个大于4，一个小于4，求< br>m
的取值范围？
2

9、二分法的定义
对于在区间< br>[a
，
b]
上连续不断，且满足
f(a)?f(b)?0
的函 数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分为二，< br>使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数
f(x)
零点近似值的步骤：
（1） 确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)?f(b)
?0
，给定精度
?
；
（2）求区间
(a
，
b)
的中点
x
1
；
（3）计算
f(x
1
)
：
①若
f(x
1
)
=
0
，则
x
1
就是函数的零点；
②若
f(a)
?
f(x
1
)
<
0
，则令
b
=
x
1
（此时零点
x
0
?(a,x
1
)
）；
③若
f(x
1
)
?
f(b)<
0
，则令
a
=
x
1
（此时零点
x< br>0
?(x
1
,b)
）；
（4）判断是否达到精度
?
；即若
|a?b|?
?
，则得到零点值
a
（或
b< br>）；
否则重复步骤（2）~（4）．

11、二分法的条件
f(a)
·
f(b)
?0
表明用二分法求函数的近似零
点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

13、函数的模型

收集数据



画散点图


不

选择函数模型
符

合
实

际

求函数模型




检验

符合实际


用函数模型解释实际问题

14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
f(x)?kx?b(k?0);

二次函数模型：
g(x)?ax?bx?c(a?0);

幂函数模型：
h(x)?ax?b(a?0);

指数函数模型：
l (x)?ab?c
（
a?0,b
＞0，
b?1
）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型





x
2
1
2