高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章 集合与函数概念
二、函数
知识点8：函数的概念以及区间
1》函数概念
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对 于集合A中的任意一个数
x
，在集合B中都有唯一确定的数
y
和它对应，那么就称
f
：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y
=
f(x)

注意：①
x?A
．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域
②与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合
{f(x)|x?A}
叫值域.

2》区间和无穷大
①设a、b是两个实数，且a ②{x|a ③{x|a≤x[a,b)
， {x|a(a,b]
，都叫半开半闭区间.
④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则
{x|x? a}?(a,??)
，
{x|x?a}?[a,??)
，
{x|x?b}?( ??,b)
，
{x|x?b}?(??,b]
，
R?(??,??)
.

3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.

典例分析
题型1：函数定义的考察
例1：集合A=
A、
C 、
?
x0?x?4
?
，B=
?
y0?y?2
?，下列不表示从A到B的函数是（ ）
11
x
B、
f(x)?y?x

23
2
f(x)?y?x
D、
f(x)?y?x

3
f(x)?y?

例2：下列对应关系是否是从A到B的函数：
①
A?R,B?
?
xx?0
?
,f:x?x;

②
A?Z,B?N,f:A?B,
求平方；
③
A?Z,B?Z,f:A?B
，求算术平方根；
④
A?N,B?Z,f:A?B
，求平方；
⑤A=[-2,2],B=[-3,3],
f:A?B
,求立方。
是函数的是_________________。


题型2：区间的表示
例1：用区间表示下列集合
（1）
?
xx?1
?
=_____________。 （2）
?
x2?x?4
?
=____________。
（3）
?
xx??1,且x?2
?
=_____________。 （4）
?
xx??3
?
=______________。

题型3：求函数的定义域和值域
例1：求函数的定义域
（1）
y?2x?3
（2）
y?



第
1
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1
(3)
y?
x?2?1
1
x?2
(4)
y?
x?3
3
x?1?2
(5)
y?x?4?
1
?(x?1)
0

x?3

例2：求下列函数的定义域与值域：
类型1：初级函数
（1）
2
y?3x?2(?1?x?1)
； （2）
y?(x?1)
2
?1
(3)
y??x?x?2
.






类型2：分离常数法
(4)
y?
3x?2
5x?4
（5）
y?
5?4x
x?1







类型3：换元法
（6）






（8）
y?x?2x?3
（7）
y?x?x?1

y?2??x
2
?4x
（9）
y?
2x?6

x?2



题型4：求抽象函数的定义域和值域
（定义域一定是x的取值范围，f加工范围不变）
例1：如果函数

例2：若函数

例3：若函数

例4：若函数


例5：设函数
（1）函数
（2）函数f(x)
的定义域是[0,1],则函数
f(1?2x)
的定义域为______ ___________。
f(2x?1)
的定义域为[-1,1]，则函数
f(x )
的定义域为_________________。
f(x?3)
的定义域为[- 4,5]，则函数
f(2x?3)
的定义域为______________。
f( 2x?1)
的定义域为(-1,5]，则函数
f(2?5x)
的定义域为______ ________。
f(x)
的定义域为[0,1],求
f(x
2
)
的定义域
f(x?2)
的定义域


题型5：判断是否为相同的函数
例1：下列各组函数是同一函数的是______________。
①
②
③
④


f(x)??2x
3
与g(x)?x?2x

f(x)?x与g(x )?x
2
f(x)?x
0
与g(x)?

1
x
0
f(x)?x
2
?2x?1与g(x)?t
2
?2 t?1

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2
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知识点9：函数的表示法
1》函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法
2》求函数解析式的方法：
①待定系数法 ②换元法 ③代入法 ④配凑法 ⑤方程组法

典例分析
题型1：待定系数法求函数解析式
例1：已知二次函数
g(x)
满足
g(1)?1,g(?1)?5
，图像过原点，求函数
g(x )
的解析式







例 2：已知二次函数
g(x)
，其图像的顶点是（-1,2），且经过原点，求函数
g( x)
的解析式






例3：已知 二次函数
h(x)
与
x
轴的两个交点为（-2,0），（3,0），且
h(0)??3
，求
h(x)
的解析式









例4：







例5：已知
f(x)
是一次函数，且满足
3f(x?1)?2x?17
，求
f(x)
的表达式
f(x)为一次函数，如果
f[f(x)]?4x?1
，求
f(x)
的解析式














题型2：代入法求解析式
例1：已知





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f(x)?x
2
?4x?3
，求
f(x?1)

题型3：换元法和配凑法求解析式
例1：已知








例2：若

例3：若
f(x?1)?x
2
?1
，求
f(x)
的解析 式
11
f(x?)?x
2
?
2
xx
，求
f(x)
的表达式
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)
的表达式
1?x
)?x
.
1?x
例4：已知函数
f(
求：（1）
f(x)
的表达式； （2）
f(2)
的值





< br>例5：已知函数
f(2x?1)?3x?2
，且
f(a)?4
，则a?
_________。




题型4：方程组法求函数解析式
1
f(x)
满足条件
f(x)?2 f()?x
，则
f(x)
=_________________。
x例2：已知
2f(x)?f(?x)?2x?1
，求
f(x)
的表达式
例1：已知函数









例3：已知函数







例4：若
3f





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1
f(x)
满足条件
2f(x)? f()?3x
，求
f(x)
的表达式
x
(x?1)?2f(1?x)?2x
，求
f(x)
的表达式

知识点10：分段函数
1》分段函数定义：在函数的定义域内，对于自变量< br>x
在不停的取值范围内，函数有不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。
2》分段函数的三要素：
①分段函数的对应关系：在定义域的不同部分上，有不同的解析式
②分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集
③分段函数的值域：值域是各段值域的并集

典例分析：
题型1：求函数值
x?1?2,
例1：已知函数



例2：已知函数


x?1
x?1
，则
f(x)
=
1
,
1 ?x
2
1
f[f()]
的值为______。
2
f(x)
=
3x?2,x?1
x
2
?ax, x?1
，若
f[f(0)]?4a
，则实数
a
的值为_______ _。
?2x?1,x??1
例3：已知函数
f(x)
=
?3,
3
?1?x?2
，则
f(f(f()?5))
=_________ _____。
2
2x?1,x?2


题型2：画分段函数的图像
例1：画出函数①
y?x
②
y?x?1
③
y?x?1
④
y?x?1
⑤
y?x?1
的图像





-4



















-3






-2






-1



y











y

3
2
1
0
-1
-2
-3



1






2






3
















3
2






1


-3 -2 -1 0 1 2 3


-1


-2


-3


x

x
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例2：已知函数




-4





-3





-2





-1


3
2
1
0
-1
-2



1





2





3










y?f(x )
的图像如下图所示，则这一函数的解析式为__________________________ _。
x
-3




2
例3：请画出函数
y?
x?x
x
的图像
y



3


2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3


x
-1

-2

-3
















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6
页 共 12 页

知识点11：映射
1 》映射的概念：一般的，设A,B都是非空集合，如果按某一种确定的对应关系
都有唯一确定的元素f
，使对于集合A中的任意一个元素
x
，在集合B中
y
与之对应 ，那么就称对应
f
：A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。
2》映射的分类（了解）：
①单射 ②满射 ③双射（一 一映射）
3》判断映射个数
若集合A,B的元素分别为m,n,那么，从集合A到集合B的映射的个数为
n
。

典例分析
题型1：映射定义的考察
例1：若A=R，B=R，
x?A,y ?B
，下列从A到B的对应法则中，是从A到B的映射的是（ ）
A、
C、
m
f:x?y??x
B、
f:x?y?x
D、
f:x?y?x
2

1
f:x?y?

x

例2：下列对应不是A到B的映射的是（ ）
A、A={xx?0
}，B={
yy?0
}，
f:x?y?x
2

f:x?y?x
0
B、A={
xx?0或x?0
}，B={1}，
C、A={2,3}，B={4,9}，
D、A=R，B=R，
f:x?y(y是x的 整数倍)

f:x?y?2
x
(以上x?A，y?B)



例3：下列对应是从集合A到集合B的映射的是（ ）
A、A={
xx?Q,x?0
}，B={
yy?Q
}，对应法则是：求绝对值为
x
的有理数
y

B、A=R，B=R，对应法则是：求倒数
C、A={三角形}，B=R，对应法则是：求三角形的面积
D、A={圆}，B={三角形}，对应法则是：求圆的内接三角形


例 4：设集合A={
a,b,c
}，B={0,1}，试问：从A到B的映射共有_______ ___个。

例5：已知集合A={1,2,3,4}，集合B＝{3,4}，若令
M














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7
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?A?B
，N?C
A
B
，那么从M到N的映射有____________个。

知识点12：函数的单调性
1》增函数与减函数的定义
①增函数：一般地，设函数
f(x)
的定义域为
I
：
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
都有
?x
2
时，
f(x
1
)?f(x
2
)< br>，那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是增函数
f(x)
的定义域为
I
： ②减函数：一般地，设函数
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
都有
?x
2
时，
f(x
1
)?f(x
2
)< br>，那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是减函数
2》单调性与单调区间
①如果函数
y?f(x)
在区间
D上是增函数或减函数，那么就说函数
y?f(x)
在这个区间具有单调性
②函数的单调区间的书写方式
一个函数有两个或两个以上的单调区间时，用“和”或者“，”连接。
单调区间两端的开闭没有严格规定


典例分析
题型1：判断函数的增减性
例1：设区间








例2：已知函数
（1）求证：
（2）求










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f(x)?x
2
?1?ax
，证明：当
a?1
时，函数f(x)
在区间
?
0,??
?
上是减函数。
f(x)
对任意
x,y?R
，总有
f(x)?f(y)?f(x?y)
，且当
x?0
时，
f(x)?0,f(1)??
f(x)
在
R上是减函数
2

3
f(x)
在[-3,3]上的最大值与最小值

题型2：确定单调区间
例1：求函数①


例2：作出函数







例3：写出下列函数的单调区间
（1）




例4：判断函数①








题型3：根据增减性求参数的取值范围
例1：若函数
例2：若函数
f(x)?
x2x?1x?2
②
f(x)?
③
f(x)?
的单调区间。
x?1x?1x?1
y?x?2(x?1)
的图像，并根据函数的图像找出函数的单调区间。
f(x)?3x
（2）
f(x)??x
2
?2x?3

y?3?2x?x
2
②
y?1?x
2
的单调性
y?(2k?1)x?b
在实数集
R
上是增函数，则
k
的取值范围为_______________。
f (x)
在区间[-2,3]上是增函数，则
y?f(x?5)
的递增区间是_____ _________。
f(x)
是减函数，且满足
f(1?a)?f(a)
，则实数
a
的取值范围___________。 例3：定义在（-1,1）上的函数

题型4：函数的最值问题
例1：已知函数
例2:已知函数




f(x) ??x
2
?4x?a
，
x?
?
0,1
?
， 若
f(x)
有最小值-2，则
f(x)
的最大值为______。
f(x)?
2
(x?
?
2,6
?
)
，求函数的最小 值和最大值
x?1
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例3：求函数
2x?3,x?0
f(x)?

x?3,0?x?1
，的最大值
?x?5,x?1




例4：已知函数
（1）求证：
（2）求





知识补充：复合函数的增减性
1》复合函数定义：如果函数
f (x)
对任意
x,y?R
，总有
f(x)?f(y)?f(x?y)
，且当
x?0时，f(x)?0,f(1)??
2

3
f(x)
在
R
上是减函数
f(x)
在[-3,3]上的最大值与最小值
y?f(u)
的定义域为A
，函数
u?g(x)
的定义域为
D
，值域为
C
，且
C?A
时，称函数
y?f(g(x))
为
f与g
在< br>D
上的复合函数，其中
u
叫中间变量，
u?g(x)
叫做内函 数，
y?f(u)
叫做外函数
2》复合函数单调性的判断可以根据下表：

t?g(x)

增
增
减
减
y?f(t)

增
减
增
减
y?f(g(x))

增
减
减
减








典例分析
题型1：确定复合函数的单调区间
例1：已知




例2：设函数



f(x)?8?2x?x
2
，
g(x)?f(2?x
2
)
，求函数
g(x)
的单调区间
f(x)
的单调递增区间是（2,6），求函数
f(2?x)
的单调区间。
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知识点14：函数的奇偶性

函数的奇偶性
1》偶函数定义：一般地，如果对于函数

***偶函数的图像特征：函数图像关于< br>f(x)
的定义域内任意一个
x
的值，都有
f(?x)?f(x)，那么函数
f(x)
就叫做偶函数
y
轴对称，定义域也关于
y
轴对称
f(x)
的定义域内任 意一个
x
的值，都有
f(?x)??f(x)
，那么函数
f(x)< br>就叫做奇函数 2》奇函数定义：一般地，如果对于函数

****奇函数的图像特征：①函数图像关于原点成中心对称，定义域关于原点对称。

3》函数奇偶性的运算性质：

设f(x),g(x)的定义域分别为D
1
，D
2
,在它们的公共定义域上，有下列结论:

f(x)

g(x)

偶
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不能确定
不能确定
奇
偶
奇
偶
不能确定
不能确定
奇
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇












f(x)?g(x)

f(x)?g(x)

f(x)g(x)

f(g(x))



典例分析
题型1:判断奇偶函数
例1：判断下列函数的奇偶性
(1)f (x)?x?1
(2)f(x)?x
3
?3x,x?
?
?4,4?

(3)f(x)?x?2?x?2
1
2
x?1,x?02
f(x)?

1
?x
2
?1,x?0
2
（4）






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题型2：抽象函数的奇偶性
例1：已知函数
求证：












例2：已知函数
（1）求证：
（2）如果
x








题型3：根据奇偶性求参数和解析式
例1：已知定义域为
R
的函数
f(x)(x?R,x?0)
对任意不等于0的 实数
x
1
,x
2
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
，
f(x)
函数为偶函数
f(x),当x,y?R时，
恒有
f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x)
函数为奇函数
?0
时，
f(x)?0
，并且f(1)??
1
，试求
f(x)
在区间[-2,6]上的最值。
2
?2
x
?b
f(x)?
x?1
是奇函数，则
a ?____,b?____
。
2?a
例2：设函数

例3：函数< br>f(x)?
(x?1)(x?a)
是奇函数，则
a?_____
。 < br>x
f(x)?(x?a)(x?4)
为偶函数，则实数
a?______
。
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
x?0
时，f(x)?x
2
?2x?3
，则
f(x)
的解析式为_____ __________________。 例4：已知





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