高一数学函数模型及其应用复习例题讲解

3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
一、点击考点
1．数学模型为一次函数的问题
一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。
［例］某人开汽车以60kmh 的速度从A地到150km远的B地，在B地停留1h后，再
以50kmh的速度返回A地，把汽车离开 A地的距离
x
(km)表示为时间
t
(h)（从A地出发时
开始）的 函数，并画出函数的图象；再把车速
v
(kmh)表示为时间
t
(h)的函数 ，并画出函数
的图象.
［解］汽车离开A地的距离
x
km与时间
t
h之间的关系是： t?[0,2.5],
?
60t,
?
x?
?
150,< br>t?(2.5,3.5],

?
150?50(t?3.5),
t?( 3.5,6.5].
?
它的图象右如图所示.
速度
v
kmh与时间t h的函数关系是：
t?[0,2.5),
?
60,
?
x
?
0,

t?[2.5,3.5),

?
?50,
[3.5,6.5).
?
它的图象如右图所示
2．数学模型为二次函数的问题
二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其 最大值（或最小值），故
常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
［例］渔场中鱼群的 最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达
到最大养殖量，必须留下适当的空闲量， 已知鱼群的年增长量
y
吨和实际养殖量
x
吨与空闲
率的乘积成正党组 织，比例系数为
k(k?0).

（1）写出
y
关于
x
的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求
k
的取值范围.
［例］（1）
y?kx(1?)(0?x?m)
；
m
kkmkm
2
.
（2）∵
y??(x?mx)??(x ?)
2
?
mm24
x
∴当
x?
m
2
时，
y
取得最大值
km
4
.

（3）依题意，为 保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于
最大养殖量，即
0?x?y ?m.

因为当
x?
化命题，则有
m
2
km4
时，
y
最大
?
，所以联想到“
f(x,y)?fmax
(x,y)?a
”这一等价转

0?
m
2< br>?
km
4
?m
，解得
?2?k?2.

但
k?0
，从而得
0?k?2.

思考：本题中空闲养殖量 与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大
养殖量的关系又是如何？
3．数学模型为指数函数的问题
一般地，形如
y?a
x
(a?0且 a?1)
的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以
函数
y?b?a
x
?k
作为模型的应用问题很常见.
［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质 含量不能超过0.1%，若初时含杂质
2%，每过滤一次可使杂质含量减少
知：
lg2 ?0.3010,lg3?0.4771
）
［分析］每次过滤杂质含量降为原来的
2
3
1
3
，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已
，过滤< br>n
次后杂质含量为
2
?()
n
，结合按
10032
市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型.
［解析］依题意，得
1?lg2
lg3?lg2
2121
?()
n
?
，即()
n
?
.则
n(lg2?lg3)??(1?lg2)
，1
2
故
n??7.4,
考虑到
n?N
，即至少要过滤8 次才能达到市场要求。
4．数学模型为对数函数的问题
形如
y?log
a
x
（
a?0
且
a?1
）的函数叫做对数函数，
a? 1
时，此函数为增函数；
0?a?1
时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模 型的应用问题不是很多，但我
们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对 数计算。
［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度
v
(ms)和燃料的质 量
M
(kg)、火
箭（除燃料外）的质量
m
(kg)的关系
v?2000ln(1?
火箭的最大速度可达12kms？
［解］由
12000?2000ln(1?
M
m
?402.

M
m
)
，即
6?ln(1?
M
m
),1?
M
m
?e
6
，利用计算器算得
M
m
).< br>当燃料质量是火箭质量的多少倍时，
［例］某城市现有人口100万，如果20年后该城市人口总 数不超过120万，年自然增
长率应控制在多少以内？
［解］设年自然增长率为
x
，依题意有：
100?(1?x)
20
?120,
(1?x)
20
?1.2,
20lg(1?x)?lg1 .2,

lg(1?x)?
1
2
lg1.2.

由计算器计算得
x?0.9
%。
答：年自然增长率应控制在0.9%以内。
5．比较函数模型的增长趋势
比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：（1）不等式的方法 ，即作差比较或解不等式；
（2）结合函数的图象，数形结合的方法。
［例］为了发展电信事 业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所
使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范 围内每月（30天）的通话时间
x
(分)与通话费
y
(元)
的关系如 图所示.

（1）分别求出通话费
y
1
、
y
2< br>与通话时间
x
之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.
［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题.
［解］（ 1）由图象可设
y
1
?k
1
x?29,y
2
?k< br>2
x
，把点
B(30,35)
、
C(30,15)
分 别代入所设
两函数式中得
k
1
?
1
5
,k
2
?
1
2
1
5
.
∴
y
1
?
x?29?
1
5
1
2
x?29,y
2
?
1
2
x.

2
3
.
（2）令
y
1
?y
2
，即
当
x?96
当
x?96当
x?96
2
3
2
3
2
3
x
，即
x?96
时，
y
1
?y
2
，两种卡收费一致；
时，
y
1
?y
2
，即“如意卡”便宜；
时，
y
1
?y
2
，即“便民卡”便宜.
6、分段函数问题；
［考题1］“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪 金所得税是分段
计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分 需征税，
设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为
x,x?
全月总 收入－1000元，
税率见下表：
级数
1
2
3
?
9
全月应纳税所得额
x

不超过500元部分
超过500元至2000元部分
超过2000元至5000元部分
?
超过100000元部分
税率
5%
10%
15%
?45%

（1）若应纳税额为
f(x)
，试用分 段函数表示1—3级纳税额
f(x)
的计算公式.
（2）某人2000年10月份工 资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得
税多少元？
［解析］（1）依税率表，有
第一级：
x?5%,

第二级：
(x?500)?10%?500?5%,

第三级：
(x?2000)?15%?1500?10%?500?5%.

(0?x?500),
?
0.05x
?
即
f(x)?
?0.1(x?500)?25

(500?x?2000),

?
0.15(x?2000)?175
(2000?x?5000).
?
（2）这个人 10月份纳税所得额
x?4200?1000?3200,

f(3200)?0.15(3200?2000)?175?355.

答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元。
［考题2］某公司生产一种产品每年投入固 定成本0.5万元，此外每生产100件这种产
品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种 产品的年需求量为500件，且当出售
的这种产品的数量为
t
（单位：百件）时，销售 所得的收入约为
5t?
1
2
t
2
（万元）.
（1 ）若该公司的年产量为
x
（单位：百件）
(x?0)
时，试把该公司生产并销 售这种产
品所得的年利润表示为当年产量
x
的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
［解析］（1）当
0?x?5
时，产品全部出售，当
x?5
时，产品只能出售500件.
1
2< br>?
(5x?x)?(0.5?0.25x)(0?x?5),
?
?
2< br>∴
f(x)?
?

1
?
(5?5??5
2< br>)?(0.5?0.25x)(x?5).
?
2
?
（2）当
0 ?x?5
时，
f(x)??
?
2
(x
2
?9.5 x)?0.5??
1
2
(x?
9.5
2
)
2
?
85.75
8
,

∴当
x?4.75
时，f(x)
有最大值
f(x)
max
?10.80.

当
x?5
时，
f(x)?12?0.25x
为单调减函数，∴
f(x) ?f(5)?10.75.

又∵
10.80?10.75
，∴
f( x)
max
?10.80
，此时
x?475
（件），
∴当年产量为475件时，利润最大.

第三章 单元知识梳理与能力整合

一、考点聚焦

二、基本思想总结
1．数形结合的思想
数形结合的思想是本章重要的数学思想。
［例1］某公司试销一种成本单价为500元件的新 产
品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800
元件，经试销调查，发现销售量
y
(件)与销售单价
x
(元件)
可近似看作一次函数
y?k x?b
的关系（如图所示）。
（1）根据图象，求一次函数
y?kx?b
的 表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=
销售总价－成本总价）为S元。①试用销售单价
x
表示毛利润S；②试问销售单价定为多少
时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？ 此时的销售量是多少？
［解析］（1）由图象知，当
x?600
时，
y?4 00
；当
x?700
时，
y?300
，代入
y?kx?b< br>中，得
?
400?600k?b,
?
k??1,
解得
?

?
300?700k?b,b?1000.
??
∴
y??x?100 0(500?x?800).

（2）销售总价=销售单价×销售量=
xy
， 成本总价=成本单价×销售量=500
y
，代入求
毛利润的公式，得
S?x y?500y?x(?x?1000)?500(?x?1000)
??x
2
?150 0x?500000
??(x?750)
2
?62500(500?x?800).< br>
∴当销售单价为750元件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件。 < br>［点评］数形结合有两类题型，一类是函数关系是由图形给出的，另一类是函数关系是
一种定性的 变化关系，反映在图形上又是怎样的要能正确判断。

2．用函数与方程的思想解题 < br>［例1］利用计算器，求方程
x
2
?2x?1?0
的一个近似解（精确 到0.1）.
［解析］设
f(x)?x
2
?2x?1
，先画出函数 图象的草图，如图的示.
因为
f(2)??1?0,f(3)?2?0,

所以在区间
(2,3)
上，方程
x
2
?2x?1?0
有一解 ，记为
x
1
.

取2与3的平均数2.5
因为
f (2.5)?0.25?0
，所以
2?x
1
?2.5.

再取2与2.5的平均数2.25
因为
f(2.25)??0.4375?0
，所以
2.25?x
1
?2.5.

如此继续下去，得
f(2)?0,f(3)?0?x
1
?(2,3)

f(2)?0,f(2.5)?0?x
1
?(2,2.5)
f(2.25)? 0,f(2.5)?0?x
1
(2.25,2.5)
f(2.375)?0,f(2. 5)?0?x
1
?(2.375,2.5)
f(2.375)?0,f(4375)? 0?x
1
?(2.375,2.4375)

因为2.375与2.4375 精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
x
1
?2.4.

利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。
［点评］利用函数图象的性质求方程的根 ，这是因为若
f(a)?f(b)?0
，且
f(x)
在
x?(a,b )
内单调，则必存在一个
c
，使
f(c)?0
成立。
三、基本方法总结
1．方程的根与函数的零点：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有
交点
y?f(x)
有零点.
2．零点判断法
如果函数
v?f(x)
在 区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0，那么，函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，即存在
c?(a,b)
，使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程
f (x)?0
的根。
3．用二分法求零点的近似值的步骤：
第1步：确定区间
[a,b]
，验证
f(a)?f(b)
<0，给定精确度
?
；
第2步：求区间
(a.,b)
的中点
x
1
；
第3步：计算
f(x
1
)
；
（1）若
f(x1
)?0
，则
x
1
就是函数的零点；
（2）若
f(a)?f(x
1
)?0
，则令
b?x
1
[此时零点< br>x
0
?(a,x
1
)
]；
（3）若
f(x
1
)?f(b)?0
，则令
a?x
1
[此时零点
x
0
?(x
1
,b)
].
第4步：判断是否达到精确度?
：即若
|a?b|?
?
，则得到零点近似值
a
（或< br>b
）；否
则重复（2）～（4）。
4．函数模型的应用实例
解函数应用问题，一般地可按以下四步进行。
第一步，阅读理解、认真审题。
就是 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学

实质， 尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。
在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉 及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，
尝试找出问题的函数关系，审题时要抓住题目中的关键的量， 要勇于尝试、探索，敢于发现、
归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化。
第二步：引进数学符号，建立数学模型。
一般地设自变量为
x
，函数为y
，并用
x
表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运
用已掌握的数学 知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数
学问题，实现问题的数学化， 即所谓建立数学模型。
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。
第四步：再转译成具体问题作出回答。
四、典型例题
1．读图识图题
这 类问题是将实际问题用图象表示出来，让同学们根据题意作出符合题意的图象，能够
考查学生的读图和识 图能力。
［例1］（1）图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有（ ）
①这几年人民的生活水平逐年得到提高；
②人民生活费收入增长最快的一年是1998； < br>③虽然2000年生活费收入增长是缓慢，但由于生活价
格指数也略有降低，因而人民的生活仍有 较大改善。
A．1项
D．0项
［解析］本题主要考查阅读理解能力以及函数 曲线变化
的观察识别能力，根据图象（如图），“生活费收入指数”减
去“生活价格指数”的差 是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”1998年～1999年
最“陡”，故②正确，生活价格 指数下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故③正
确，选C。
（2）一天，亮亮发烧 了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基
本正常，但是下午他的体温又开始上 升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫，下列各图能
基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的 变化情况是（ ）.
降
上午
B．2项 C．3项

［解析］从亮亮的体温变化，可看出图象应为：早晨37℃以上 37℃(中午)
升 降
晚上37℃以上 37℃，故选C。
下午
半夜
［例2］甲、乙两人连续6年对某农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两< /p>

个方面的信息如图所示。

甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只。
乙调查表明：甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；
（2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
（3）哪一年的规模最大？说明理由。
［解析］首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次 函数，因此，可以采用待定系数
法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了。
（1）由图 可知，直线
y
甲
?kx?b
，经过(1,1)和(6,2)可求得
k ?0.2,b?0.8.

∴
y
甲
?0.2(x?4).

同理可得
y
乙
?4(?x?
17
2
).

第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为
26?1.2?31.2
（万只）.
（2）规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20
万只。
（3）设第
x
年规模最大，即求
y
甲
?y
乙?0.2(x?4)?4(?x?
17
2
)??0.8x
2
?3 .6x?27.2
的最大值.
当
x??
3.6
2?(?0.8)< br>?
9
4
?2
年，
y
甲
?y
乙??0.8?4?3.6?2?27.2?31.2
最大.
即第二年规模最大，为31.2万只。
2．与几何图形有关的应用问题
我们还会经 常遇到有些应用问题与平面几何图形有关，在求数学模型时，要注意平面几
何的有关性质的应用。 ［例1］设计一个水槽，其横截面为等腰梯形（如图所示），
要求满足条件AB+BC+CD=a
（常数），
?ABC?120?.
写出横截面
积
y
与 腰长
x
间的关系式，并求它的定义域和值域。
［解］设
AB?CD?x，则
BC?a?2x
，作
BE?AD
于
E,

∵
?ABC?120?
，∴
?BAD?60?,

< br>于是
BE?
3
2
x,AE?
x
2
,AD?a ?x.
故梯形面积
y?
1343
2
?
2
x(a? 2x?a?x)??
3
4
x
2
?
2
ax.

由实际问题的意义可知：
?
a?0,
?
?
?
a? x?0,?0?x?
a
.

?
2
?
?
a? 2x?0.
又
y??
3333
2
4
x
2
?
3
2
ax??
4
(x?
a
3
)?
3
2
12
a.

∴当
x?
a
时，
y
有最大值
3
2
3
3
12
a
，即值域为< br>(0,
12
a
2
].

［例2］某房地产公司要在荒 地ABCDE（如图）上划出
一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占
地面积 最大？并求出最大面积（尺寸如图，单位：m）.
［解析］当一端点在BC上，只有在B点时长方形BB
1
DC
的面积最大，
∴
S
1
?S
BCDB
?5600
m
21
.
当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形
AA
1
DE
的面积最大，
∴
S
2
?S
AA
1
DE< br>?6000
m
2
.
当一端点在AB边上时，设该点为M，如图构造长 方形
MNDP
，并补出长方形
OCDE
设
MQ?x(0?x?20) .

∴
MP?PQ?MQ?80?x.

又
OA?20,O B?30
且
OAMQ
OB
?
QB
,

∴< br>2x
3
3
?
QB
，∴
QB?
2
x< br>，∴
MN?QC?QB?BC?
3
2
x?70,

∴
S?(70?
3
MNDP
?S
3
?MN?MP
2< br>x)?(80?x).

??
3
2
(x?
50
3
)
2
?
18050
3
.

当
x?
50
3
时，
S
3
?
18050
3.

，

比较
S
1
,S
2
,S
3
，得
S
3
最大，此时
MQ?
50
3
m，
BM?
2513
3
m.
故当长方形一端落在AB边上离B点
2513
3
m处时，公寓占地面积最大。
3、已知和选择函数模型题
［例1］某地上年度电价为0.8元，年用量为1亿度，本年度计 划将电价调至0.55元—0.75
元之间，经测算，若电价调至
x
元，则本年度新增 用电量
y
(亿度)与
(x?0.4)
元成反比例，
又当
x? 0.65
元时，
y?0.8.

（1）求
y
与
x
之间的函数关系式；
（2）若每度电的成 本价为0.3，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度
增加20%？[收益=用电量?
(实际电价－成本价)]
［解析］（1）∵
y
与
x?0.4
成反例，∴设
y?
把
x?0.65,y?0.8
代入上式，得
0.8?
∴
y?
0.2
x?0.4
?
1
5x?2
k
0.65?0.4
k
x?0.4
(k?0).

,k?0.2.

1
5x?2
.

.
即< br>y
与
x
之间的函数关系式为
y?
1
5x?2
（2）依题意得，得
(1?)?(x?0.3)?1?(0.8?0.3)?(1?20%).

整理，得
x
2
?1.1x?0.3?0
. 解得
x
1
?0.5,x
2
?0.6.

经检验x
1
?0.5,x
2
?0.6
都是所列方程的根，
因
x
的取值范围是
0.55?0.75
之间，故
x?0.5
不 符合题意，应舍去.
所以，取
x?0.6.

答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。
［例2］根据总 的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要
翻两番，问这20年间，年 平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？
［解析］这是一个增长率问题，按照每年的顺序，借 助指数函数的性质逐步推导出公式，
从而建立目标函数.
解：设平均每年的增长率为
x.

从2000年到2020年共计21个年头 ，若2000年工农业总产值为1，则2001，2002，
2003，?的年总产值分别为
( 1
?x
),(1
?x
)
2
,(1
?x
)< br>3
,
?
,
第
n
个年头为
(1
?x< br>)
n?1
.

根据题意，有
(1?x)
20
?2
2
,

两边取对数得
20lg(1?x)?2lg2,lg(1?x)?
1
10
lg 2,

lg(1?x)?0.030,
∴
1?x?1.072
，∴
x?0.072?7.2%,

即平均每年增长7.2%，就可完成第二阶段的任务。
［例3］某地新建一个服装厂，从今年 7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1
万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。由于产 品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产

量销售情况良好，为了推销员在推销产品时 ，接收定单不至少过多或过少，需要估测以后几
个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？ ［解析］首先建立直角坐标系，画出散点图（如图）；其次，根据散点图，我们可以设
想函数模型可 能为一次函数：
f(x)?kx?b(k?0)
；
二次函数：
g(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
；
1
幂函数型：
h(x)?ax
2
?b
；
指数函数型：
l(x)?ab
x
?c.

最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数。
解：设月产量为
y< br>万件，月份数为
x
，建立直角坐标系，可得
A(1,1),B(2,1.2), C(3,1.3),D(4,1.37).

（1）对于直线
f(x)?kx?b(k ?0)
，将B、C两点的坐标代入，有
f(2)?2k?b?1.2,f(3)?3k?b?1 .3
，解得
k?0.1,b?1
，故
f(x)?0.1x?1.
将A 、D两点的
坐标代入，得
f(1)?1.1
，与实际误差为0.1，
f(4) ?1.4
，与实际误差为0.03.
（2）对于二次函数
g(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
，将A、B、C三点的坐
标代入，有
g(1)?a?b?c?1,
g(2)?4a?2b?c?1.2,

g(3)?9a?3b?c?1.3.
解得
a??0.05,b?0.35,c?0.7,

故
g(x)??0.05x
2
?0.35x?0.7.

将D点的坐标代入，得
g(4)??0.05?4
2
?0.35?4?0. 7?1.3
，与实际误差为0.07.
1
（3）对于幂函数型
h(x)?a x
2
?b
，将A、B两点的坐标代入，有
h(1)?a?b?1,
h(2)?2a?b?1.2.

解得
a?0.48,h?0.52.

1
故
h(x)?0.48x
2
?0.52.

将C、D两点的坐标代入，得
h(3)?0.48?3?0.52?1.35
，与实际误差为0.05；
h(4)?0.48?2?0.52?1.48
，与实际误差为0.11.

< br>（4）对于指数函数型
l(x)?ab
x
?c
，将A、B、C三点的坐 标代入，得
l(1)?ab?c?1
，
l(2)?ab
2
?c?1.2,

l(3)?ab
3
?c?1.3.

解得：
a??0.8,b?0.5,c?1.4.

故
l(x)??0.8?(0.5)
x
?1.4,

将D点的坐标代入，得
l(4)??0.8?(0.5)
4
?1.4?1. 35
，与实际误差为0.02。
比较上述4个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差最小， 又要考虑生产的实际问题，
比如增产的趋势和可能性，可以认为
l(x)
最佳，一是误 差值最小，二是由于新建厂，开始随
着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一 定时期后，设备不更新，
那么产量必然要趋于稳定，而
l(x)
恰好反映了这种趋势， 因此选用
l(x)??0.8?(0.5)
x
?1.4
比较接近客观实际。
五、同步练习
1、李老师骑自行车上班，最初某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障， 停下修
车耽误几分钟，为了按照到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课
堂上，李老师请学生画出自行车行进路程
s
(km)与行进时间
t
(h)的 函数图象的示意图，同学
们画出的示意图如图，你认为正确的是（ ）

［解析］ 李老师最初以某一速度匀速行进，则
s?vt
；中途停下，则
s?s
0
（定值），
至此排除A；修好车后，仍保持匀速行进，
s
增大，排除B；修好车后， 李老师加快了速度，
因此
s?s
0
?v
?
t
，但< br>v
?
?v
，即这时直线的斜率变大了，因此排除D。
［答案］C < br>2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到
a
1
,
a
2
,??,
a
n
共n个数据，我们规定所测量的物 理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似
值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从< br>a
1
,
a
2
,??,
a
n
推出的
a=________.(1994年全国高考试题)
分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问
题. < br>解：由题意可知，所求a应使y=(a-
a
1
)
2
+(a-< br>a
2
)
2
+?+(a-
a
n
)
2< br> 最小
由于y=na
2
-2(
a
1
+
a< br>2
+?+
a
n
)a+(
a
1
2
+< br>a
2
2
+?+
a
n
2
)
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.

因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.
当a=
1
n
(
a
1
+
a
2+?+
a
n
)，y有最小值.
1
n
所以a= (a
1
+
a
2
+?+
a
n
)即为所求.
3、用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此
框架的 面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确 ，而且题中已设出变量，所
以属于函数关系的简单应用.
解：如图，设AB=2x，则CD 弧长=πx,于是AD=
m?2x?
?
x
2
x?mx

2
m?2x?
?
x
2

因此y=2x·
?
?4
2
?
?
x
2
2
,
即y=-
?
2x?0
?
再由
?
m?2x?
?
x
?0
?
2
?
解之得0＜x＜
m
2?
?
2
m

·
x
2
+mx
）
即 函数式是y=-
?
?4
定义域是：（0，
?
?2
4、按复利 计算利率的一种储蓄，本金为
a
元，每期利率为
r
，设本利和为
y< br>，存期为
x
，
写出本利和
y
随存期
x
变化的 函数式. 如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5
期后的本利和是多少？
［解析］已知本金为
a
元.
1期后的本利和为
y
1
?a?a?r?a(1?r)
；
2 期后的本利和为
y
2
?a(1?r)?a(1?r)r?a(1?r)
2；
3期后的本利和淡
y
3
?a(1?r)
3
；
?
x
期后的本利和为
y?a(1?r)
x
.

将
a?1000
(元)，
r?2.25%,x?5
代入上式得 y?1000?(1?2.25%)
5
?1000?1.0225
5
.< br>
由计算器算得
y?1117.68
(元).
［答案］复利函数式为
y?a(1?r)
x
,
5期后的本利和为1117.68元.
5、 分别就
a?2,a?
a
x
?log
a
x
的解的个数 。
5
4
1
2
和
a?
画出函数
y?ax
，
y?log
a
x
的图象，并求方程

［解析］利用Excel、图形计算器或其他画图软件，可以方便地画出函数的图象，随着
a
由 大变小，有下列3种情形，如图所示。

根据图象，我们可以知道，当
a?2,a?
是0,2,1.
6、某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
获纯利润(万元)
投资B种商品金额(万元)
获纯利润(万元)
1
0.65
1
0.25
2
1.39
2
0.49
3
1.85
3
0.76
4
2
4
1
5
1.84
5
1.26
6
1.40
6
1.51
5
4
和
a?
1
2
时，方程
a
x
?l og
a
x
解的个数分别
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不 知投入A、B两种商品各多少才
最合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大的利 润，并按你的方案
求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。
［解析］以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如图所示：

据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。
y??a(x?4)
2
?2(a?0)
，①
y?bx.
②
把
x?1,y?0.65
代入①式，得
0. 65??a(1?4)
2
?2
，解得
a?0.15.

故前 六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用
y??0.15(x?4)
2
?2
表示，再把
x?4
，
y?1
代入②式，得
b ?0.25
，故前六个月所获利
润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用
y ?0.25x
表示。
设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为
(12?x)
万元，可获纯利润 y??0.15(x?4)
2
?2?0.25(12?x)
?0.15x
2
?0.95x?2.6,
4?(?0.15)?2.6?0.95
2
4?( 0.15)

y
max
??1.1.

故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润1.1万元。