高一数学函数值域的多种解决方法

高一数学函数值域的多种方法

求函数值域是高考的热点,也是重点和难点, 解这类题目的方法具有多样性
定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同
和灵 活性。
在函数的三要素中，
确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别 重视定义域对值域的制约作
用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域 ，是学生感到头痛
的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位 ，若方法
运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下 ，
供参考。

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数
解：∵
x?0

1
?0
x
∴
y?
1
x
的值域。
显然函数的值域是：
(??,0)?(0,??)


例2. 求函数
y?3?x
的值域。
解：∵
x?0

??x?0,3?x?3

故函数的值域是：
[??,3]


2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例3. 求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
2
y?(x?1)?4
解：将函数配方得：
∵
x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1 时，
y
min
?4
，当
x??1
时，
y
m ax
?8

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
1?x?x
2
y?
1?x
2
的值域。 例4. 求函数
解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x
2
?(y?1)x?0

（1）当
y?1
时，
x?R

??(?1)
2
?4(y?1)(y?1)?0

13
?y?
2
解得：
2
?
13< br>?
1?
?
,
?
（2）当y=1时，
x?0
， 而
?
22
?

?
13
?
?
2
,
2
?
?
故函数的值域为
?

例5. 求函数
y?x?x(2?x)
的值域。
22
解：两边平方整理得：
2x?2(y?1)x?y?0
（1）
∵
x?R

2
??4(y?1)?8y?0
∴
解得：
1?2?y?1?2

但此时的函数的定义域由
x(2?x)?0
，得
0?x?2

由
??0
，仅保证关于x的方程：
2x?2(y?1)x?y?0
在实数集 R有实根，而不能确
保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由
??0
求出的范围可能比y的实际
?
13
?
?
2
,
2
?
?
。 范围大，故不能确定此函数的值域为
?
22
可 以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
0?x?2

?y?x?x(2?x)?0

?y
min
?0,y?1?2
代入方程（1）
解得：
x< br>1
?
2?2?2
4
2
2
?[0,2]

2?2?2
4
2
x
1
?
2
即当时，
原函数的值域为：
[0,1?2]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若 原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定
义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4
例6. 求函数
5x?6
值域。
x?
解：由 原函数式可得：
则其反函数为：
y?
4?6y
5y?3

4?6y
3
x?
5x?3
，其定义域为：
5

3
??
?
??,
?
5
?
故所求函数的值域为：
?

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e
x
?1
y?
x
例7. 求函数
e?1
的值域。
e
x
?
解：由原函数式可得：
x
∵
e?0

y?1
y?1

y?1
?0
y?1
∴
解得：
?1?y?1

故所求函数的值域为
(?1,1)


cosx
例8. 求函数
sinx?3
的值域。
解：由原函数式可得：
ysinx?cosx?3y
，可化为：
y?
y
2
?1sinx(x??)?3y

sinx(x??)?
3y
y
2
?1
即
∵
x?R

3y
y?1
?
2
∴
sinx(x??)?[?1,1]

?1??1
即
解得：

22
?y?
44

?
22
?
?,
??
44
??
?
故函数的值域为
?

6. 函数单调性法
例9. 求函数
y?2
解：令
y
1
?2
x?5
?log
3
x?1(2?x?10)
的值域。
x?5
,y
2
?log
3
x?1

则
y
1
,y
2
在[2，10]上都是增函数
所以
y?y
1
?y
2
在[2，10]上是增函数
当x=2时，
y
min
?2
?3
?log
3
2?1 ?
1
8

5
当x=10时，
y
ma x
?2?log
3
9?33

?
1
?
?
8
,33
?
?
故所求函数的值域为：
?

例10. 求函数
y?x?1?x?1
的值域。
y?
2
x?1?x?1
解：原函数可化为：
令
y
1
?x?1,y
2
?x?1
，显然
y
1
,y
2
在
[1,??]
上为无上界的增函数
所以
y?y
1< br>，
y
2
在
[1,??]
上也为无上界的增函数
2< br>所以当x=1时，
y?y
1
?y
2
有最小值
2
，原函数有最大值
2
显然
y?0
，故原函数的值域为
(0,2]< br>
?2


7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变 为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数
公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方 法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数
y?x?x?1
的值域。
解：令
x?1?t
，
(t?0)

2
则
x?t?1

13
y?t
2
?t?1 ?(t?)
2
?
24
∵
又
t?0
，由二次函数的性质可知
当
t?0
时，
y
min
?1

当
t?0
时，
y???

故函数的值域为
[1,??)


2
例12. 求函数
y?x?2?1?(x?1)
的值域。
2
解：因
1?(x?1)?0

2
(x?1)?1
即
故可令
x?1?cos?,??[0,?]

2
∴
y?cos??1?1?cos??sin??cos??1

?
?2sin(??)?1
4

∵
0????,0???
?5
??
44

< br>2?
?sin(??)?1
24
?
?0?2sin(??)?1?1? 2
4

??
故所求函数的值域为
[0,1?2]


x
3
?x
y?
42
例13. 求函数
x?2x?1
的值域。
12x1?x
2
y???
2
2
1?x1?x
2
解：原函数可变形为：
2x1?x
2< br>2
?sin2?,?cos?
22
x?tg?
1?x
可令，则 有
1?x

11
?y??sin2??cos2???sin4?
24

当
??
k??
1
?y
max
?
4

28
时，
k??1
?y
min
??
28
时 ，
4
当
而此时
tan?
有意义。
??
?
11
?
?
?
4
,
4
?
?
故所求函数的值域为
?

?
??
?
x?
?
?,
?
osx?1)
，
?
122
?
的值域。 例14. 求函数
y?(sinx?1)(c
解：
y?(sinx?1)(cosx? 1)

?sinxcosx?sinx?cosx?1

1
sinx cosx?(t
2
?1)
2
令
sinx?cosx?t
，则
11
y?(t
2
?1)?t?1?(t?1)
2
22

由
t?sinx?cosx?2sin(x??4)

?
??< br>?
x?
?
?,
?
且
?
122
?
2
?t?2
可得：
2

∴当
t?2
时，
y
max
?
232
3
t?y??
?2
2
时，
42

2
，当
?
3
?
23
?,?2
??
422
??
?
。 故所求函数的值域为
?

2
例15. 求函数
y?x?4?5?x
的值域。
2
解：由
5?x?0
，可得
|x|?5

故可令
x?5cos?,??[0,?]

?
y?5cos??4?5sin??10sin(??)?4
4

∵
0????

??5?
?????
444

当
???4
时，
y
max
?4?10

当
???
时，
y
min
?4?5

故所求函数的值域为：
[4?5,4?10]


8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题< br>目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
y?(x?2)?(x?8)
例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：
y?|x?2|?|x?8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），
B(?8)
间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

故所求函数的值域为：
[10,??]


22
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。 例17. 求函数
解：原函数可变形为：
y?(x?3)
2
?(0?2)
2< br>?(x?2)
2
?(0?1)
2

上式可看成x轴上的点P(x,0)
到两定点
A(3,2),B(?2,?1)
的距离之和，
22
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
y
min
?|AB|?(3?2 )?(2?1)?43
，
故所求函数的值域为
[43,??]

22
例18. 求函数
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。
2222
y?(x?3)?(0?2)?(x?2)?(0?1)
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点
B(?2,1)
到点P(x,0)
的距离之差。
即：
y?|AP|?|BP|

由 图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点
P'
，则构成
? ABP'
，
22
根据三角形两边之差小于第三边，有
||AP'|?|BP' ||?|AB|?(3?2)?(2?1)?26

即：
?26?y?26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
||AP|?|BP||?|AB|?26< br>
综上所述，可知函数的值域为：
(?26,26]


注： 由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，
而求两距离之差 时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），
( ?2,?1)
，在x轴的同侧；例18的A，B两点
坐标分别为（3，2），
(2,? 1)
，在x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式
a ?b?2ab,a?b?c?3abc
(a,b,c?R)
，求函数的最值，其题型特
征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和
两边平方 等技巧。
例19. 求函数
解：原函数变形为：
y?(sinx?
1
2
1
2
)?(cosx?)?4
sinxcosx
的值域。
11
?
sin
2
xcos
2
x
3
?
y?(sin
2
x?cos
2
x)?
?1?ces
2
x?sec
2
x
?3?tan
2
x?cot
2
x
?3
3
tan
2
xcot
2
x?2?5

x?k??
当且仅当
tanx?cotx

?
4
时
(k?z)
，等号成立 即当
故原函数的值域为：
[5,??)

例20. 求函数
y?2sinxsin2x
的值域。
解：
y?4sinxsinxcosx

?4sin
2
xcosx

y?16sin
4
xc os
2
x
?8sin
2
xsin
2
x(2?2si n
2
x)
?8[(sin
2
x?sin
2
x?2? 2sin
2
x)3]
3
?
64
27

sin
2
x?
2
3
时，等号成立。
22
当且仅当
sinx?2?2sinx
，即当
由
y
2
?
64
8383
??y?
9

27
可得：
9
?
8383
?
,
?
?
?
99
??
?
故原函数的值域为：
?

10. 一一映射法
原理：因为
个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
y?
ax?b(c?0)
cx?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一
1 1
??
?
x|x??或x??
?
22
?
解：∵定 义域为
?
1?3x
x?
1?y
y?
2y?3
由< br>2x?1
得
1?y1?y
11
x???x???
2
或
2y?32
故
2y?3
33
y??或y??
22
解得
3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2
??
2
?
故函数的值域为
?

11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
解：令
t?x?2(t?0)
，则
x?3?t?1

y?
（1）当
t?0
时，
（2）当t=0时，y=0。
t11
??
1
t
2
?1
t?
1
2
0?y?
t
2
，当且仅当t=1，即
x??1
时取等号， 所以
?
1
?
?
0,
2
?
综上所述，函数的 值域为：
??

注：先换元，后用不等式法

1?x?2x
2
?x
3
?x
4
y?
1?2x
2
?x< br>4
例23. 求函数的值域。
1?2x
2
?x
4
x?x
3
y??
24
1?2x?x1?2x
2
?x
4
解：
?
1?x
2
?
?
?
1?x2
?
?
x
?
?
?
1?x
2

?
2
2
?
1?x
2
?
?
??os
2
?
x?tan
?
1?x
2
?
? c
?
2
，则
?
令
x1
?sin?
2
2
1?x

11
?y? cos
2
??sin???sin
2
??sin??1
22

1
?
17
?
??
?
sin??
?
?
4
?
16

?
17
1
sin??y
max
?
16
< br>4
时，∴当
当
sin???1
时，
y
min
??2

2
17
??
?
?2,
tan
?< br>16
?
?
此时
2
都存在，故函数的值域为
?
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用
sin?
的有界性。
总之，在具体 求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当
的方法，一般优先考虑直接法 ，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。