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第三章
函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函
数零点的概念:对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的
实数
x
叫做函
数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实
数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方
程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,
○
并利用函数的性质找出零点.
4、基本初等函数的零点:
①正比例函数
y?kx(k?0)
仅有一个零点。
k
(
k?
0)
没有零点。
x
③一次函数
y?kx?b(k?0)
仅有一个零点。
2
④二次函数
y?ax?bx?c
(
a?
0)
.
②反比例函数
y?
(1)△>0,方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两不等实根,二次函数的图象与
x
轴有两
个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两相等实根,二次函数的图象与
x
轴有一
个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax?bx?c?0(a?0)
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二
次函数无零点.
⑤指数函数
y?a
(
a?
0,
且a?<
br>1)
没有零点。
x
2
2
2
⑥对数函数
y?
log
a
x
(
a?
0,
且a?
1)
仅有一个零点1.
⑦幂函数
y
?
x
,当
n?0
时,仅有一个零点0,当
n?0
时,没有零点。
5、非基本初等函数(不
可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把
f
?
x
?
转化成
?
f
?
x
?
?0
,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的
函数
y
1
,y
2
(基本初等函数),这另
个函数图像的交点
个数就是函数
f
?
x
?
零点的个数。
6、选择
题判断区间
?
a,b
?
上是否含有零点,只需满足
f
?a
?
f
?
b
?
?0
。
试判断方程<
br>x?x?
2
x?
1
?
0在区间
[0,2]内是否有实
数解?并说明理由。
42
7、确定零点在某区间
?
a,b
?
个数是唯一
的条件是:①
f
?
x
?
在区间
上连续,且
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
②在区间
?
a,b
?
上单调。
求函数
f(x)?2?lg(x?1)?2
的零点个数。
8、函数零点的性质:
从“数”的角度看:即是使
f(x)?0
的实数;
从“形”的角度看:即是函数
f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标;
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相切,则零点
x
0
通常称为不变号零点;
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相交,则零点
x
0<
br>通常称为变号零点.
一元二次方程根的分布讨论
一元二次方程根的分布的基本类型
2
设一元二次方程
ax?bx?c?0
(
a?0
)的两实根为
x
1
,
x
2
,且x
1
?x
2
.
x
k
为常数,则一元二次方程
根的
k
分布(即
x
1
,
x
2
相对于
k
的位置)或根在区间上的
分布主要有以下基本类型:
表一:(两根与0的大小比较)
分
布
情
况
两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根
小于0,
一个大于
0
?
x
1
?0,x
2
?0
?
?
x
1
?0,x
2
?0
?
?
x
1
?0?x
2
?
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
??0?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
?
??0
?b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
f
?
0
?
?0
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
综
合
结
论
?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?<
br>0
?
?0
?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
a?f
?
0
?
?0
f
?
0
?
?0
(
不
讨
论
)
a
?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?<
br>a?f
?
0
?
?0
a?f
?
0
?
?0
表二:(两根与
k
的大小比较)
分
布
情
况
两根都小于
k
即
两根都大于
k
即
一个根小于
k
,一个大
于
k
即
x
1
?k,x
2
?k
x
1
?k,x
2
?k
x
1
?k?x
2
大
致
图
象
(
k
k
k
a?0
)
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f<
br>?
k
?
?0
?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f
?<
br>k
?
?0
f
?
k
?
?0
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?k
?
?
2a
?
?
?
f
?
k
?
?0
综
合
结
论
?
??0
?
b
?
?k
?
?
2a
?
?
?
f
?<
br>k
?
?0
?
??0
?
b
?
??k
?
?
2a
?
?
a?f
?
k
?
?0
f
?
k
?
?0
)<
br>(
不
讨
论
?
??0
?
b
?
??k
?
?
2a
?
?
a?f
?
k
?
?0
a?f
?
k
?
?0
表三:(根在区间上的分布)
分
布
情
况
两根都在
?
m,n
?
内
两根有且仅有一根在
?<
br>m,n
?
一根在
?
m,n
?
内,另一根在
?
p,q
?
内(有两种情况,只画了一种)
内,
m?n?p?q
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
?
?0
?
?
f
?
m
?
?0
?
?f
?
n
?
?0
?
b
?
m???n2a
?
?
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0
?f
?
m
?
?0?
?
f
?
n
?
?0
?
?
f<
br>?
m
?
f
?
n
?
?0
?
f
?
p
?
?0
?
?
f
?
q
?
?0
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
?
?
或
?
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
??0
?
?
f
?
m
?
?0
??
f
?
n
?
?0
?
b
?
m?
??n
2a
?
?
综
合
——————
结
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0
?f
?
?
f
?
?
f
?
f?
?
m
?
?0
?
n
?
?0
?
p
?
?0
?
?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
?
?
q
?
?0或
?
?
f
?
p
?
f
?
q?
?0
?
f
?
m
?
f
?<
br>n
?
?0
?
?
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
论
)
论
(
不
讨
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0
(1)关于x的方程
x?
2(
m?
3)
x?
2
m?
14
?
0
有两个实根,且一
个大于1,一个小于1,求
m
的取值范围?
2
(2)关于x
的方程
x?
2(
m?
3)
x?
2
m?
14
?
0
有两实根在[0,4]
内,求
m
的取值范围?
2
(3)关于x
的方程
mx?
2(
m?
3)
x?
2
m?
1
4
?
0
有两个实根,且
2
一个大于4,一个小于4,求
m<
br>的取值范围?
9、二分法的定义
对于在区间
[a
,
b
]
上连续不断,且满足
f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近
零点,进而得到零点近似值的方法叫做
二分法.
10、给定精确度ε,用二分法求函数
f(x)
零点近似值的步骤:
(1)
确定区间
[a
,
b]
,验证
f(a)?f(b)
?0
,给定精度
?
;
(2)求区间
(a
,
b)
的中点
x
1
;
(3)计算
f(x
1
)
:
①若
f(x
1
)
=
0
,则
x
1
就是函数的零点;
②若
f(a)
?
f(x
1
)
<
0
,则令
b
=
x
1
(此时零点
x
0
?(a,x
1
)
);
③若
f(x
1
)
?
f(b)<
0
,则令
a
=
x
1
(此时零点
x<
br>0
?(x
1
,b)
);
(4)判断是否达到精度
?
;即若
|a?b|?
?
,则得到零点值
a
(或
b<
br>);
否则重复步骤(2)~(4).
11、二分法的条件
f(a)
·
f(b)
?0
表明用二分法求函数的近似零
点都是指变号零点。
12、解决应用题的一般程序:
①
审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
②
建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
③
解模:求解数学模型,得出数学结论;
④
还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
13、函数的模型
收集数据
画散点图
不
符
合
实
际
选择函数模型
求函数模型
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题
14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型:
一次函数模型:
f(x)?kx?b(k?0);
二次函数模型:
g(x)?ax?bx?c(a?0);
幂函数模型:
h(x)?ax?b(a?0);
指数函数模型:
l
(
x
)
?ab?c
(
a?0,b
>0,
b
?1
)
x
2
1
2
利用待定系数法求出各解析式,并对各模
型进行分析评价,选出合适的函数模型
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