高一数学函数专项训练题(含答案)

20XX年秋高一数学第一学期函数压轴训练题
1．（本小题满分12分）已知
x
满足不等式
2(log
1
x)
2
?7log
1
x?3?0
，求
f(x)?log
2
22
xx
?l og
2
的最
42
大值与最小值及相应
x
值．




2.（14分）已知定义域为
R
的函数
f( x)?
?2
x
?a
2
x
?1
是奇函数
（1）求
a
值；
（2）判断并证明该函数在定义域
R
上的单调性；
（3）若对任意的
t?R
，不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求实数
k
的取值范围；




3. （本小题满分10分）已知定义在区间
(?1,1)
上的函数
f(x) ?
(1) 求实数
a
,
b
的值；
(2) 用定义证明:函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数；
(3) 解关于
t
的不等式
f(t?1)?f(t)?0
.




4. (14分)定义在R
?
上的函数f (x)对任意实数a,b
?R
?
,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x >1
时,f(x)<0，
(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式
f(x?3)?f(5)??1





5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x-2bx +
(I)求f(x)的最小值g(b)；
(II)求g(b)的最大值M。


2
22
ax?b
12
f()?
为奇函数,且.
2
25
1?x
b
(b≥1)，
4

6.（12分）设函数
f(x)?log
a
(x?3a)(a?0,且a?1)
，当点
P(x,y)
是函数
y?f(x)
图象上的点时，点
Q(x ?2a,?y)
是函数
y?g(x)
图象上的点.
（1）写出函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若当
x?[a?2 ,a?3]
时，恒有
|f(x)?g(x)|?1
，试确定
a
的取值 范围；
（3）把
y?g(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?h(x)
的图象，函数
F(x)?2a
1?h(x)
?a
2? 2h(x)
?a
?h(x)
，
（
a?0,且a?1
）在[
1
,4]
的最大值为
5
，求
a
的值.
4
4




xx
7. （12分）设函数
f(x)?lg
1?2?4a
(a?R)
.
3
（1）当
a??2
时，求
f(x)
的定义域；
（2）如果
x?(??,?1)
时，
f(x)
有意义，试确定
a的取值范围；
（3）如果
0?a?1
，求证：当
x?0
时，有
2f(x)?f(2x)
.




8. （本 题满分14分）已知幂函数
f(x)?x
(2?k)(1?k)
(k?z)
满 足
f(2)。
（1）求整数k的值，并写出相应的函数
f(x)
的解析式；
（2）对于（ 1）中的函数
f(x)
，试判断是否存在正数m，使函数
g(x)?1?mf(x)? (2m?1)x
，在区间
?
0,1
?
上的最大值为5。若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由。





9. （本 题满分14分）已知函数
f(x)?a
x?1
(a?0
且
a?1)< br>
（Ⅰ）若函数
y?f(x)
的图象经过
P
?
3 ,4
?
点，求
a
的值；
（Ⅱ）当
a
变化时，比较
f(lg
1
)与f(?2.1)
大小，并写出比较过程；
100
（Ⅲ）若
f(lga)?100
，求
a
的值．

10. （本题16分）已知函数
f(x)?log9
(9
x
?1)?kx
(
k?R
)是偶函数．
(1)求
k
的值；
(2)若函数
y?f(x)
的图象与直 线
y?
1
x?b
没有交点，求
b
的取值范围；
2
(3)设
h(x)?log
9
a?3
x
?
4
a
，若函数
f(x)
与
h(x)
的图象有且只有一个公共点，求实 数
a
的取值范
3
围．





11. （本小题满分12分）二次函数
y?f(x)
的图象经过三点
A(? 3,7),B(5,7),C(2,?8)
.
（1）求函数
y?f(x)
的 解析式（2）求函数
y?f(x)
在区间
?
t,t?1
?
上 的最大值和最小值





12.(本小题满分14分)
已知函数
f(x)?2?
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)定义:若函数
g(x)?x?
x
?
?
a
,且
f(x)
为奇函数．
x
2
a
,(a?0),x?0
,则函数
g(x)
在
(0,a]
上是减函数,在
[a,??)是增函
x
数.设
F(x)?f(x)?f(x?1)?2
,求函数
F(x)
在
x?[?1,1]
上的值域．




13.(本小题满分16分)
设
a?0
,
b?0
,已知函数
f(x)?
ax?b
.
x?1
(Ⅰ)当
a? b
时,讨论函数
f(x)
的单调性(直接写结论);
(Ⅱ)当
x?0
时,(i)证明
f(1)?f()?[f(




b
a
b
2
)]
;
a

14.(本小题满分16分)
设函数
f(x)?lg[a x?(1?a)x]
的定义域区间为
I
,其中
a?0
.
( Ⅰ)求
I
的长度
L(a)
(注:区间
(
?
,
?
)
的长度定义为
?
?
?
);
(Ⅱ)判断函数
L(a)
的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)给定常数
k?(0,1)
,当
a?
?
1?k,1?k
?
时, 求区间
I
长度
L(a)
的最小值.



























1.解：由
2(log
1
222
x)
2
?7log
1
x?3?0
，∴
?3 ?log
1
x??
2
2
1
1
， ∴
?log
2
x?3
，
2
2
而
f(x) ?log
2
xx
?log
2
?(log
2
x?2) (log
2
x?1)

42
31
(log
2
x)
2
?3log
2
x?2
?
(log
2
x?)
2
?
，
24

?
3
3
1
当
log
2
x?
时
f(x)min
??
此时
x
=
2
2
=
22
，
2
4< /p>

当
log
2
x?3
时
f(x)
max
?
2. 解：（1）由题设，需
经验证，
91
??2
，此时
x?8
．
44
1?2
x
f(0)?
?1
2
?a
?0 ,?a?1
，
?f(x)?
1?2
x

f(x)
为奇函数，
?a?1
---------（2分）
121221
（2）减函数--------------（3分）
x
,< br>x
?R,
x
p
x
,?x?
x?x
f
0
，
??
由（1）
?y?f(
x
)?f(
x)?

Q
x
p
x
,?0p2
x
p2< br>x
,?2
x
?2
x
p0,(1?2
x
)(1 ?2
x
)f
证明：任取
21
1?2
x
2
1?2
x
2
1
1?2
x
1
1?2
x1
2
2(2
x
1
?2
x
2
)
(1?2
x
1
)(1?2
x
2
)
1122
12
0

??yp0

?
该函数在定义域
R
上是减函数--------------（7分）
a
?b
ax?b
12
2
3. 解：(1)由
f(x)?
为奇函数,且
f()??
2
1
1?x
2
1?()
2
5
2
a
??b
x112
2
则
f(?)???f()??
，解得：
a?1,b?0
。
?
f(x)?
1?x
2
2
1?(?
1< br>)
2
25
2
(2)证明：在区间
(?1,1)
上任取
x
1
,x
2
，令
?1?

x
1
?x
2
?1
,
x
1
x2
x
1
(1?x
2
2
)?x
2
(1? x
1
2
)
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
?

f(x
1
)?f(x2
)???
(1?x
1
2
)(1?x
2
2)
1?x
1
2
1?x
2
2
(1?x
1
2
)(1?x
2
2
)
Q

?1?x
1
?x
2
?1

?

x
1
?x
2
?0
,
1?x
1
x
2
?0
,
(1?x
1
2
)?0
,
(1?x
2
2
)?0

?
f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)

故函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数.
(3)
Q

f(t?1)?f(t)?0

?

f(t)??f(t?1)?f(1?t)

?
t?1?t
1
?
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
?

?
?1?t?1

?
0?t?

2
?
?1?1?t?1
?
Q
函数
故关于
t
的不等式的解集为
(0,
1
)
.
2
4（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2) 法一：设k为一个大于1的常数，x∈R+，则
f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x
所以kx>x,f(kx)f(x)为R+上的单调减函数
法二：设
x
1
,x
2?
?
0,??
?
且x
1
?x
2
令x
2
?kx
1
,则k?1

f(x1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(kx
2
)?f(x
1
)?f(k)?f(x
2
)??f(k)

有 题知，f(k)<0
?f(x
1
)?f(x
2
)?0即f(x
1
)?f(x
2
)

所以f(x)在（0，+
?
）上为减函数
法三：设
x
1< br>,x
2
?
?
0,??
?
且x
1
?x
2

x
2
xxx
)??f(
2
)

?
2
?1?f(
2
)?0

x
1
x
1
x
1
x
1
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
1
?
?f(x
1)?f(x
2
)?0即f(x
1
)?f(x
2
)
所以f(x)在（0，+
?
）上为减函数
5解：f(x)=(x-b)-b +
22
b
4
的对称轴为直线x＝b（ b≥1），
2
(I) ①当1≤b≤4时，g(b)＝f(b)＝-b+
b
31
; ②当b＞4时，g(b)＝f(4)＝16-
b
，
4
4
?
2
b
?b? (1≤b≤4)
?
?
4
综上所述，f(x)的最小值g(b)＝
?

。
31
?
16?b (b＞4)
?
?4
1
13
)+， ∴当b＝1时，M＝g(1)＝ -
8
644
31
313
②当b＞4时，g(b)＝16-
b
是减函数，∴g(b)＜16-×4＝-15＜-，
44
4
3
综上所述，g(b)的最大值M= -。
4
(II) ①当1≤b≤4时，g(b)＝-b+
2
b
4
＝-(b-
2
；
6. 解：（1）设点
Q
的坐标为
(x' ,y')
，则
x'?x?2a,y'??y
，即
x?x'?2a,y??y'
。
∵点
P(x,y)
在函数
y?log
a
(x? 3a)
图象上
∴
?y'?log
a
(x'?2a?3a)
，即
y'?log
a
1
∴
g(x)?log
1
< br>a
x?a
x'?a
(2)由题意
x?[a?2,a?3]
，则
x?3a?(a?2)?3a??2a?2?0
，
又
a?0
，且a?1
，∴
0?a?1

1
?
1
?0
.
x?a(a?2)?a
|f(x) ?g(x)|?|log
a
(x?3a)?log
a
1
|?|log (x
2
?4ax?3a
2
)|

a
x?a
1

22
∵
f(x)?g(x)?1
∴
?1剟log
a
(x?4ax?3a)
∵
0?a?1
∴
a?2?2a
，则
r(x)?x?4ax?3a
在
[a?2,a?3]
上为增函数，
∴函数< br>u(x)?log
a
(x?4ax?3a)
在
[a?2,a?3]上为减函数，
22
22

从而
[u(x)]
ma x
?u(a?2)?log
a
(4?4a)
。
[u(x)]
min
?u(a?3)?log
a
(9?6a)

又0?a?1,则
(9?6a)
…
?1
?
log
log(4?4a)
?
1
a
a
?0?a?
9?57

12
（3 ）由（1）知
g(x)?log
a
1
，而把
y?g(x)
的 图象向左平移
a
个单位得到
y?h(x)
的图象，则
x?a
h(x)?log
a
1
??log
a
x
，∴
F(x )?2a
1?h(x)
?a
2?2h(x)
?a
?h(x)
?2a
1?log
a
x
?a
2?2log
a
x?a
log
a
x
?2ax?a
2
x
2
?x

x
22
1
，又在
[
1
,4]
的最大值为
5
， 即
F(x)??ax?(2a?1)x
，又
a? 0,且a?1
，
F(x)
的对称轴为
x?
2a?
2
2a
4
4
1
?
1
?
a
2
?4a? 2?0?a?2?6(舍去)或a?2?
①令
2a?
2
2a
4
6
；此时
F(x)
在
[
1
,4]
上递减，∴F(x)
的最大
4
22
值为
F(
1
)?
5
??
1
a?
1
(2a?1)?
5
?a?8a? 16?0?a?4?(2?
441644
6,??)
，此时无解；
1
?4?8a
2
?2a?1?0??
1
?a?
1
，又
a?0,且a?1
，∴
0?a?
1
；此时
F(x)
在[
1
,4]
上递增，∴②令
2a?
2
2a
42
2
4
F(x)
的最大值为
F(4)?
5
??16a
2
?8a?4?
5
?a?
1?42
，又
0?a?< br>1
，∴无解；
444
2
1
③令
1
剟
2a?
2
4
2a
?
?
2?6剟a2?6
?
a
2
?4a?2
?
0
且
a?0,且a?1
∴1
剟a
4?
?
2
?
?
11
a剠?或a
2
?
8a?2a?1…0
?
?42
222
2?6且 a?1
，此时
1
)?
5
??a
2
(2a?1)?
(2a?1)
?
5
?
(2a?1)
?
5?a
2
?4a?1?0
，解得：
F(x)
的最大值为
F (
2a?
2
444
2a4a
4
2a
2
4a
2
a?2?5
，又
1
剟a
2
2?6且a?1
，∴
a?2?5
； 综上，
a
的值为
2?5
.
xx
xx
x
7解：（1）当
a??2
时，函数
f( x)
有意义，则
1?2?2?4
?0?1?2?2?4?0
，令
t? 2
不等式化为：
3
2t
2
?t?1?0??
1
?t ?1
，转化为
?
1
?2
x
?1?x?0
，∴此时函 数
f(x)
的定义域为
(??,0)

22
xx
（ 2）当
x??1
时，
f(x)
有意义，则
1?2?4a
?0 ?1?2?4a?0?a??
1?
x
2
??(
1
x
?
1
x
)
，令
xx
x
3
442
y ??(
1
x
?
1
x
)
在
x?(??,?1 )
上单调递增，∴
y??6
，则有
a…?6
；
42
xx2x2x
(1?2
x
?4
x
a)
2
1?2? 4a1?2?4a
?lg?lg
（3）当
0?a?1,x?0
时，
2 f(x)?f(2x)?2log
，
33
3(1?2
2x
?42x
a)
设
2?t
，∵
x?0
，∴
t?1且
0?a?1
，则
x
(1?2
x
?4
xga)
2
?3(1?2
2x
?4
2x
ga)?t
4
(a
2
?3a)?2at
3
?t
2
(2a?2 )?2(t?1)

?t
4
(a
2
?3a
2
)?2at
3
?t
2
(2a?2)?2(t?1)??(at?1)
2
t
2
?(at
2
?1)
2
?(t?1)
2
?0

∴
2f(x)?f(2x)

8解: （１）< br>Qf
?
2
?
?f
?
3
?
，
?
?
2?k
??
1?k
?
?0??1?k?2,

Qk?Z,?k?0
或
k?1
；当
k?0
时，
f< br>?
x
?
?x
2
，当
k?1
时，
f< br>?
x
?
?x
2
；

?k?0
或
k?1
时，
f
?
x
?
?x
2
．
（２）
Qg
?
x
?
?1?mf
?
x
?
?
?
2m?1
?
x??mx
2
?
?< br>2m?1
?
x?1
，
Qm?0
，
2m?11
?1??1

2m2m
Qg
?
x
?
开口方向向下，对称轴
x?
又
Qg
?
0
??1,g
?
x
?
在区间［０，１］上的最大值为５，
1
1
?
?
1??0
m?
?
?
2
?
2m
?
?
?
?
?
1
?
5?26
?
g
?
?
1??5
m?
??
??
?2
?
?
2m
?
9. （Ⅰ）函数

?m?
5
?6

2
y?f(x)
的图象经过
P(3,4)
∴
a
3-1
?4
，即
a
2
?4
. 又
a?0
，所以
a?2
.
11
)?f(?2.1)
; 当
0?a?1
时，
f(lg)?f(?2.1)
（Ⅱ）当
a?1
时，
f(lg
100100
1
)?f(?2)?a
?3，
f(?2.1)?a
?3.1
因为，
f(lg
100
x
当
a?1
时，
y?a
在
(??,??)
上为增函数，
1
?3?3.1
)?f(?2.1)
. ∵
?3??3.1
，∴
a?a
. 即
f(lg
100< br>x
当
0?a?1
时，
y?a
在
(??,??)
上为减函数，
1
?3?3.1
)?f(?2.1)
. ∵
?3??3.1
，∴
a?a
. 即
f(lg
100
lga?1
?100
. （Ⅲ）由
f(l ga)?100
知，
a
lga?1
?2
（或
lga?1?l og
a
100
）. 所以，
lga
∴
(lga?1)?lga
∴
lga
?2
. ∴
lg
2
a?lga?2?0
，
??1
或
lga?2
， 所以，
a?
1
或
a?100
.
10
10(1)因为
y?f(x)
为偶函数，
所以
?x?R,f(?x)?f(?x)
，
即
log
9
(9
?x
?1)?kx?log
9
(9
x
?1)? kx
对于
?x?R
恒成立.
?x
x
1
?log(9
x
?1)??x
恒成立,
?1)?log
9
(9
x
?1)?log
9
9?< br>9
x
9
于是
2kx?log
9
(9
而
x
不恒为零，所以
k??
(2)由题意知方程
log
9
( 9?1)?
x
1
. -----------------4
2
x
1
x?
1
x ?b
即方程
log(9
x
?1)?x?b
无解.
9
22
令
g(x)?log
9
(9?1)?x
，则函数
y? g(x)
的图象与直线
y?b
无交点.

x
9?1< br>?log
?
1?
1
?
因为
g(x)?log
9
?
9
?
9
x
?
9
x
?
任取
x
1
、
x
2
?
R，且
x
1
?x
2
，则
0?9
1
?9
2
，从而
xx
1
?
1
.
9
x
1
9
x< br>2
??
?log
?
1?
1
?
，即
g (x)?g(x)
， 于是
log
9
?
1?
1
12
9
?
x
1
?
x
2
?
?
9
??
9
?
所以
g(x)
在
?
??,??< br>?
上是单调减函数.
因为
1?
1
?1
，所以
g(x)?log
?
1?
1
?
?0
.
?
9
?
9
x
?
9
x
?
所以
b的取值范围是
?
??,0
?
.
----------------------- 6
(3)由题意知方程
3?
x
x
1
?a?3
x
?
4
a
有且只有一个 实数根．
3
3
x
2
令
3?t?0
，则关于
t
的方程
(a?1)t?
若
a
=1，则
t??
4
at?1?0
(记为(*))有且只有一个正根.
3
3
，不合, 舍去；
4
若
a?1
，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.
由
??0?a?
3
或－3；但
a?
3
?t??
1< br>，不合，舍去；而
a??3?t?
1
；
4422
方程(*) 的两根异号
?
?
a?1
?
?
?
?1
??0?a?1.

综上所述，实数
a
的取值范围是
{?3}U(1,??)
． ----------------------- 6
11.
(1)
解
A,B
两点纵坐标相同故可令
f(x)?7?a(x?3)(x?5)
即
f( x)?a(x?3)(x?5)?7
将
C(2,?8)
f(x)?(x?3)(x?5 )?7?x
2
?2x?8
…………4分 代入上式可得
a?1
< br>?
(2)
由
f(x)?x
2
?2x?8
可知对称轴< br>x?1

1） 当
t?1?1
即
t?0
时
y ?f(x)
在区间
?
t,t?1
?
上为减函数
?
f(x)
max
?f(t)?t
2
?2t?8

f(x)
min
?f(t?1)?(t?1)
2
?2(t?1)?8 ?t
2
?9
………6
2） 当
t?1
时，
y?f (x)
在区间
?
t,t?1
?
上为增函数
?
f(x )
max
?f(t?1)?(t?1)
2
?2(t?1)?8?t
2
?9

f(x)
min
?f(t)?t
2
?2t?8
…………8分
3）当
1?t

?t?1?1?0
即
0?t?
1
2
时
f(x)
max
?f(t)?t?2t?8

2
f(x)
min
?f(1)??9
…………10分
4）当
0?1?t?t?1?1
即
1
?t?1
时
2

f(x)
max
?f(t?1)?(t?1 )
2
?2(t?1)?8?t
2
?9

f(x)
min
?f(1)??9
…………12分


12.(本小题满分14分)
已知函数
f(x)?2
x
?
a
2
x
,且
f(x)
为奇函数．
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)定义:若函数
a
g(x)?x?,(a?0),x ?0
,则函数
g(x)
在
(0,a]
上是减函数,在
[a, ??)
是增函数.设
x
F(x)?f(x)?f(x?1)?2
,求函数F(x)
在
x?[?1,1]
上的值域．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，
∵
f(x)
为奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，a=-1 ……………3分
x
112
x
1
x?1
?
x?1< br>?2???2
……………3分 (Ⅱ)
F(x)?f(x)?f(x?1)?2
=
2?
x
?2
2
2
x
22
1
? t
，则当
x?[?1,1]
时，
t?[,2]
， ……………3分
2
11
∴
y?t??2

2t
1 11
∵当
t?[,2]
时，函数
y?t??2
单调递减；当
t?[2,2]
时，
22t
11
函数
y?t??2
单调递增； ……………2分
2t
设
2
x
∴当
t
当
t
?2
时，y的最小值为
2?2

?
117717
时 ，
y?
，当
t?2
时，
y?
，y的最大值为 ……………2分
2424
17
??
2?2,
。 ……………1分
??
4
??
∴函数
F(x)
在
x ?[?1,1]
上的值域是
13.(本小题满分16分)
设
a?0
,
b?0
,已知函数
f(x)?
ax?b
.
x?1
(Ⅰ)当
a?b
时,讨论函数
f(x)
的单调性(直接写结论);
(Ⅱ)当
x?0
时,(i)证明
bb
2
f(1)?f()?[f( )]
;
aa
(ii)若
2ab
?f(x)?ab
,求x
的取值范围.
a?b

解：（Ⅰ）由
当
a当
a
f(x)?a?
b?a
，得
x?1
?b
时，
f(x)
分别在
?
??,?1
?
,
?
?1,??
?
上是增函数； ……………2分
?b
时，
f( x)
分别在
?
??,?1
?
,
?
?1,??
?
上是减函数； ……………2分
a?b
b2abb
，
f ()?,f()?
2
aa?ba
a
（Ⅱ）（i）∵
f(1)?
b
?b
a
?ab
…………2分
b
?1
a∴
bbbb
2
f(1)f()?ab?[f()]
2
，∴
f(1)f()?[f()]
……………1分
aaaa
（ii）∵
2ab
?f(x)?ab

a?b
bb
f()?f(x)?f()
， ……………2分
aa
∴由（i）可知，
①当
a
②当
a?b
时，
f(x)?a
，H=G=a，
x
的取值范围为
x?0
. ……………2分
?b
时，∵
bb
b
?1
，∴
?
aa
a

由（Ⅰ）可知，
f( x)
在
?
0,??
?
上是增函数，∴
x
的取值范围 为
bb
b
?1
，∴
?
aa
a
b
? x?
a
b
a
……2分
③当
a?b
时，∵ 由（Ⅰ）可知，
f(x)
在
?
0,??
?
上是减函数， ∴
x
的取值范围为
bb
?x?
aa
……2分
综 上，当
a?b
时，
x
的取值范围为
x?0
；当
a? b
时，
x
的取值范围为
b
?x?
a
b
a< br>；当
a?b
时，
x
的取值范
围为
bb
?x?
。 ……………1分
aa
14.(本小题满分16分)
设函数
f(x)?lg[ax?(1?a
2
)x
2
]
的定义域区间为
I
,其中
a? 0
.
(Ⅰ)求
I
的长度
L(a)
(注:区间
(< br>?
,
?
)
的长度定义为
?
(Ⅱ)判断函数
L (a)
的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)给定常数
k?(0,1)
,当
a?
?
?
);
?
1?k,1?k
?
时,求区间
I
长度
L(a)< br>的最小值.

解：（Ⅰ）由
ax?(1?a
2
)x2
?0
，得
0?x?
a
1?a
2
， ……………2分
I?(0,
aa
∴
)L(a)?
1?a
2
1?a
2
。 …………1分
（Ⅱ）
L(a)
在
?
0,1
?
上是 增函数，在
?
1,??
?
上是减函数， ……………1分
a
1
a
2
(a
1
?a
2
)(1?a
1
a
2
)
??
…………2分
22
1?a
1
2
1?a
2
(1?a
1
2< br>)(1?a
2
)
设
0?a
1
?a
2
?1
，则
L(a
1
)?L(a
2
)?
∵
0 ?a
1
?a
2
?1
，∴
a
1
?a
2
?0,1?a
1
a
2
?0
，∴
L(a
1
)?L(a
2
)
……………2分
∴
L(a)
在
?
0,1
?
上是增函数 ……………1分
同理可证，
L(a)
在
?
1,??
?
上是减函数 ……………1分
?1,1?k?1
……………1分 （Ⅲ）∵
k?(0,1)
，∴
0?1?k
由（Ⅱ）可知，< br>L(a)
在
?
1?k,1
?
上是增函数，在
?
1,1?k
?
上是减函数
L(a)
的最小值为
L(1?k),L(1?k)
中较小者； ……………2分
(?2k)[1?(1?k)(1?k)]?2k
3
∵
L( 1?k)?L(1?k)???0
……2分
[1?(1?k)
2
][1?( 1?k)
2
][1?(1?k)
2
][1?(1?k)
2
]
∴
L(a)
的最小值为

1?k
……………1分
2
k?2k?2