高中数学函数中求最值需要注意的问题 -

高中数学函数中求最值需要注意的问题


【摘要】高中数 学函数求最值问题是高中数学最重要的课程之一，
由于求最值问题的内容较散，方法难以选择，因此最值 问题求解一直
困扰我们的学习。最值问题是数学考试中常用的求解题目，我们在学
习中要通过例 题的练习熟悉最值求解问题的解题方法，并且通过精确
例题来确认可能存在的解题陷阱，从而让同学们提 高对这一部分题目
的解题熟练度和准确度。

1.函数最值求解的理论知识

高中数学函数中求最值是整个阶段学习的核心内容，最值求解问
题的覆盖度较广 ，在高考题目中屡次出现，这也体现了这一知识点的
重要性。函数最值问题的定义是：假设y=f（x） 的定义域为A，如果
存在x0∈A，使得A范围内的任意x值都有f（x0）≤f（x），则成为函数的最大值，反之则成为函数的最小值，这是最值问题的严格定义，
将函数最值问题和函数单调性结 合在一起，我们在学习过程中，要注
重函数单调性的理解，精确求解函数最值。

函数最值问题的求解较为复杂，这也是导致我们学习出现障碍的
症结所在，函数最值问题求解需要考虑的 方面较多，如果忽略了函数

定义域的处理，就会导致函数最值求解错误 。我们在最值问题求解时
会涉及到函数定义域和值域、三角函数、单调性等问题，涉及的数学
方 法和解题技巧也较多，因此对于这类问题的求解要注重解题细节，
灵活运用最值求解方法。

2.函数中求最值需要注意的点

2.1区间上二次函数最值求解

二次函数最值求解是较为常见的函数问题，由于二次函数是非线
性函数，讨论函 数区间内的最值问题要综合考虑函数的特性，确定函
数定义域区间内的最值，最值求解一定要在有意义的 定义域区间内，
我们要明确函数区间的开闭性，而此函数是给定的，其相应的函数值
域也是确定 的。例如已知二次函数f（x）=ax+bx+c（a>0），它的函
数曲线是以直线x=-b2 a为对称轴，曲线为开口向上的抛物线，根据
数形结合我们可以求解函数区间。我们在求解过程中，要注 意函数区
间（m、n）的界定，在函数区间内区分增区间和减区间，从而求解
函数的最大值和最 小值。

2.2动二次函数的区间最值求解

二次函数随着参数 的变化而变化，其函数曲线是运动的，但是其

区间固定在一个区域内，这种情况下的函数 定区间最值求解要考虑函
数区间的单调性。函数参数如果实在曲线开口上，就要针对函数曲线
开 口向上和开口向下进行重点讨论，如果函数参数出现在对称轴上，
就针对函数区间左侧、右侧和中间定义 域进行讨论，如果函数区间在
对称轴区间的中间，要分为两种情况进行讨论，细分为对称轴是分为
左侧或者右侧的端点。动二次函数包含了参数，去区间也是变化的，
函数在闭区间的最值可能是出现在 区间端点，顶点处取得，最后要对
得出的参数值进行验证。同时函数最值求解要把握二次函数的图像开< br>口方向，确定定点的横坐标，并确定函数的单调性和对称性。

2.3利用基本不等式求解最值问题

有些同学在利用基本不等式求解最值问题时，会忽 视了等号成立
条件的问题，在利用基本不等式求解最值时要必须对定理的前提的进
行考虑，核实 “一正二定三相等”的前提条件是否成立，否则求得的最
值容易出现错误。例如对于例题：正数x、y满 足x+2y=1，求解1x+1y
的最小值，对于不等式最值求解可能会出现以下的错解，即由基本不< br>等式可以得出x+2y=1≥。

所以可以得出xy≤18，我们可以将不等式变 化带入到不等式
1x+1y≥2≥4，其最小值为4。对于这种错误解题方法分析，第一次等
號 成立的条件为x=2y，但是第二次等号成立的条件是x=y，这两种之

间的矛盾直接导 致最值求解直接错误，因此我们在不等式求解最值时
要格外注重等号成立条件的规定。

2.4数形结合求解函数最值

数形结合求解函数最值问题是我们往往忽略 的方法，这种方法借
助图形可以直接观察到函数的单调性，从而确定函数最值在哪个位置。
图形 可以直观表现函数曲线的走向，而数则可以精确计算函数区间，
通过数和形的联系可以结合函数最值问题 。我们可以根据函数画出相
应的图形，将函数图形纳入到坐标系中，画出函数曲线中的对称线和
区间端点，利用函数图形辅助最值求解，函数图形可以直观准确计算
出两个变量表达式的数值，用导数求 极值进而求最值，也要借助草图
来画出函数的单调性才能确定最大最小值在哪取得；在区间上求二次函数的最值问题也要画出二次函数的图象才能确定最值，因此我们要
合理利用数形结合来求解函数最 值，灵活运用函数图像的辅助作用，
提高函数区间单调性的把握，从而精确计算函数最值。

3.结语

综上所述，高中数学函数中求最值是最常见的数学问题，对于这
一问题的学习，我们要掌握多种求解方法，根据函数特征灵活运用，
同时要注意函数定义域和值 域的范围，采用数形结合、分类讨论、区

间划分及函数单调性等方法来计算函数最值，提 高最值问题的解题准
确性，避免由于疏忽而导致解题错误。高中生在函数最值求解学习中，
要对 最值求解问题进行系统练习，在习题练习中总结求解方法，攻克
最值求解的学习难关。