高中数学函数完美归纳讲解-高中课件精选.docx

第一章函数
概念导入
1＞集合(子集，真子集、空集、补集、全集等表示和关系)
2、 映射(定义，——映射)
3
、 增函数、减函数
4
、 轴对称
5
、 单调性 < br>定义
设
x
和
y
是两个变量，
D
是实数集的某 个子集，若 对于
D
中的每个值
x,
变量
y
按照一定的法则有一个确定 的值
y
与
之对应，称变量
y
为变量
x
的函数，记作
y
二
f (x).
自变量
x
、因变量
y
映射角度函数定义：
定义在非空数集之间的映射称为函数
要
点
1
、 对应法则和定义域是函数的两个要素
2
、 函数是一种关系
3
、 函数两组元素一一对应的规则
(这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集 合里
的唯一元素；第一组中的每个元素在第二组中只有唯 一的对
应量)
1
、复合函数：
y
是
u
的函
数，
y= 2 (u), u
是
x
的函数,
u = f

(x), y
通过中间变量
u
构成了
x
的
x—u-*y,
注意
定义域。
y=lgsinx
2
、反函数：
x—y, y-*x,
性质：
1
、 一一映射
2
、 单调函数
分类：
一次函数
y=kx+b
★二次函数
y=ax2+bx+c （a, b, c
为常数，
aHO）
反比例函数
y=kx （k
为常数且
kHO）
指数函数
y=a
X
（a>0, 1）
对数函数
y =logax （a>0）
無函数尸,
★三角函数（正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）
常用方法：
待定系数法
平移变换法
数形结合法
注：注意自定义（抽象）函数等学习应用，培养逻辑思维。

第一节函数的一般化应用解析
1-1-1
函数的值域
方法:
1
、巧用定理，整体变换。
(1)
函数 y = -sin
X
-3
COSA
:

+

3
的最小值；
(2 )已知：3sin 6Z + 2sin
(3
= 5sin6r, a、3 e ?，求 w = cos ? + cos
(3

范

2
2222
2
、借题发挥，分式转化双曲线。
『=
ax + b
c工
Q

ad
工比)型求值域和画图的一般化应用。 ex +d
(1) 作函数y =上仝的图象
? 2x + l
(2) 求函数y =上竺的值域
2x4-4
1-1-2
函数的奇偶性
要点
判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。
(])若 (-X
)
= -.f (x)u> y = 为奇函数
(-x) =
f(x)
o y =
f(x)
为偶函数

(2)
奇函数
y = (x)
在原点处有意义=>(0) = 0;
(3)
任一个定义域关于原点对称的函数(劝一定可以表示成一个奇 函
数和一个偶函数之和
即(无)=
(力—(一劝
(奇)+
(劝+ (一兀)
偶

2 2

(
1
)
定义在(-8,+
◎
上的 函数(劝可以表示成奇函数g(x)与偶函数

h(x)之和，若 (x) = lg(10+l),那么(
v
)
A、
g(x) = x, h(x)
= lg(l O' +10~
v
+ 2)
B> g(x) = —Dg(10 +1) +兀]，力(兀)=—[lg(10 +1)-x]
vA

Y r
r
C、 g(X
)
=-,7
(
X
)
= lg(10+l)--
D、 ^(x) = --,zW = lg(IO +1) + -
x
v
x

1-1-3
函数的单调性
★常见于证明类问题，单调性证明一定要用定义。
定义
区间D上任意两个值兀］，兀2
，
若
x
x
2
时有(兀］)<
f(x
2
),
称(%)为D上增函数， 若兀1 V兀2时
有(^］) > (兀2
)
，称()为D上减函数。
X
性质
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同； 偶函数在关于原点对称
的区间上单调性相反。
证明办法:
作差法:
若 xl0 单调递减 若 xl递增 若 xl0 单调递减
若 xl0 单调递增
作商法:
复合函数的增减问题
厂
(
x)
为增函数，
f (x)
为增函数，
y
为增函数
V(x)
为增函数，
f(x)
为减函数，
y
为减函数
y = f
(
0
(
x)
「
? (x)
为减函数，
f(x)
为增函数，
y
为减函数
J(x )
为减函数，
f(x)
为减函数，
y
为增函数

(
1
)
设⑴为奇函数,且在区间
［a,b］ (0单调减, 证明
(%)在
［~b, -a］
上单调减。
(2 ) (x) = logj
(x
- OX+
3d)
在
[2,+oo)
上减函数,则
a
的范
围:
(-4,
2
2
4]
1-1-4
函数的平移和伸缩
左移。个单位 >尸(十)
平移规则：
左加右减)_八兀丿
右移°个单位〉
y _
于(无
a)
>y-b = f(x^y = f(x)+b
上加右减)
TW Tgmfe
>y+b = f{xUy
= f{x)
_
b


伸缩规则:
横向变倒数
纵能标不变，横坐标变为原来的丄倍
y =
f(x)
---------------------------------- -- > y =
(co >
o
)
纵向成倍数
横朋标不变，纵*标变为原來的
A
倍

>y = Af(x)(A>0)
1-1-5
函数的对称性
中心对称
y
二
阳
关于中心(询对称
= f(2a-x)
轴对称
若y = (兀)对
xwR
满足
f(a + x) = f(b-x)
9
则y = (兀)关于直线

(由兀=
求得)
函数
y = f(a + x^y = f(b-x)
关于直线兀二
称。(由
a + x = b-x
解得)
例题解析
1、函数y =
IW0
A.
y


的反函数是()
!— C
?

y
-
y[^x,x<0

= <

2、函数(兀)对于任意实数兀满足条件(x+2)=
x
f)

l-° B.y =
y[-x,x<0

，
X
2x. x>0

-,x>0 2
D. y =
2x, x > 0
—y~X^
X < 0
,若(1) = -5,则
(
(
5
)
)= -----------------
。
3、 设函数(x) = log?+b)
(
Q>(),dHl)的图像过点(2,1),其反函数的图像 过
点(2,8),则Q + b等于(C )
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4、 求函数y = J口+腭刁的值域
兀
2
_兀+ ]
5
、 求函数, 的值域
2
2x
-2x + 3
6
、 求函数
y = 3x
2
-
12x +
lS^4x-x
-23
的值域
2
7、 给出四个函数，分别满足①f(x+y)二f(x)+ f(y)
②
g(x+y)= g(x) g(y)
③
h(xy)二 h(x)+ h(y)
④
t(xy)二 t(x) t (y),又
给出四个函数图象

y
丙

正确的匹配方案是( )
(A)①一丁②一乙③一丙④一甲
(
B)①一乙②一丙③一甲④一丁
(
C)①一丙②一甲③一乙④一丁
(
D)①一丁②一甲③一乙④一丙
8
?
若y = (x)对满足
f(2 + x) = f(2-x)
,贝
y =
(x)的对称轴为 函数
尸(2 + x)与y = (2 -
x)
的对称轴为 ____________________
9. f(x)为定义在(-也0
)
U (0,+s
)
上的偶函数，且在
(
0,+s
)
上为减,
①求证f
(
X
)
在(—8,0)上为增函数；
10
?
已知x>-
，
W(x) = ^~
有
2 ' 2x-4
A.最大值丄
4
A. 0
B.最小值丄
4
C.最大值1 D.最小值1
4x + 5
11. 设函数 (x)U e
R)
为奇函数，CD = !
，
(% +2) = (x) + (2),则(5)=
B
?
1 C
?
丄
2
D
?
5
12. (切为定义在R上的偶函数，且(5 + %) = (3 -
x)
对川?恒成立，
则 ___________
y = (x)的一个周期为： ____________
13. 设y = (2x + l)
为偶函数
,则y =
f(2x)
的一条对称轴为 __________
第二节
二次函数









3d
定义，解析式，条件，定义域， 值域。

一般地，自变量
X
和因变量
y
之间存在如下关 系：
y=ax+bx+c
则称
y
为
x
的二次函数。
判定公式，求根公式，韦达定理等回顾掌握。
表达式类型：
2
1
、
一般式：
y=ax+bx+c (a, b, c
为常数，
a7^0)
2
、
顶点式：
y=a(x-h)+k
［抛物线的顶点
P (h, k)
］对 于二次
函数
y=ax
+bx+c
其顶点坐标为
(
-b2a, (4ac-b?) 4a)
2
2
2
3
、
交点式：
y=a(x~xi) (x-xz)
［仅限于与
x
轴有交点
A (x
1 , 0)
和
B
(
X2, 0)
的拋物线］
性质关系：
1
、
a
决定函数的开口方向，
a
〉
0
时，开口方 向向上，
a<0
时，开口方向向下。
lai
还可以决定开口大小
，
IaI
越大开 口
就越小
，
IaI
越小开口就越大
2
、图像为拋物线，是轴对称图形，对称轴为直线
x = -b2a
3
、
2
?抛物线有一个顶点
P,
坐标为
P ( -b2a ,
(4ac~b) 4a ) 4
?一次项系数
b
和二次项系数
a
共同决定对称
轴的位置。
当
a
与
b
同号时(即
ab>0)
,对称轴在
y
轴左；
当
Q
与
b
异号时(即
ab<0),对称轴在
y
轴右。
2
5.
常数项
c
决定抛物线与
y
轴交点。

抛物线与
y
轴交于
(
0, c)
6.
抛物线与
x
轴交点个数
A = b-4ac>0
时，抛物线与
x
轴有
2
个交点。
A = b-4ac=0
时，抛物线与
x
轴有
1
个交点。
A = b-4ac<0
时，抛物线与
x
轴有
0
个交点
7
、 当
a>0
时，函数在
x
二
-b2a
处取得最小值
f (~b2a)
=4ac-b4 ,
在
｛x | x<-b2a｝
上是减函数，在
｛x|x>-b2a｝
上
是增函数；抛物线的开口向上；函数的值 域是
｛x |x$$4ac-
2
2
2
2
b｝
。相反亦然。
例题应用解析：
1.如图13-28所示，二次函数y二x2-4x+3的图象交x轴于A、B 两
点，交y轴于点C,则AABC的面积为()
A、 6 B、 4 C、 3 D、 1
2?心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时 间x
(单位:分)之间满足函数关系：y=-0.
1
X
+2.

6
X
+43

(0<
X
<30)
。
y值越
2
大，表示接受能力越强。
(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x在什么范 围
内，学生的接受能力逐步降低？
(2) 第10分时，学生的接受能力是什么？
(3) 第几分时，学生的接受能力最强？
3.
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分 析，若

< br>按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每

涨I元，月销售量就 减少10千克.针对这种水产品的销售情况， 请解
答以下问题：
(1) 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售 利
润；
(2) 设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x 的函
数关系式(不必写出X的取值范
(3) 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销 售
利润达到8000元，销售单价应定为多少？
4.
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品
每天的销量炖(件)与每件的销售价x
(
元)满足一次函数：
^

=

162-3
X
.
(1)
写出商场卖这种商品每天的销售利润歹与每件的销售价X间的函
数关系式.
(2)
如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为
多少最合适？最大销售利润为多少？
5.
如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形
花圃，设矩形加CD的边购y米，面积为$$平方米.
(1) 求：$$与沢之间的函数关系式，并求当^= 200米时，x的值；
(2) 设矩形的边
BC = y
米，如果2满足关系式(必即矩形 成黄金矩
形，求此黄金矩形的长和宽.
第三节三角函数
C

知识点回顾

角
①角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做
角。这个
公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 角的大小与边
的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开 的程度，角可以分
为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。
锐角：小于90。的角叫做锐角
直角：等于90°的角叫做直角
钝角：大于90。而小于180°的角叫做钝角
平角：等于180°的角叫做平角
周角：等于360°的角叫做周角
②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到 另一个
位置所形成的图形叫做角。
所
旋转射线的端
点叫做角的顶 点，开始位置
的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终 边。角的范围可扩
大到实数R。
A=a+2k n (k W Z)
角的度量
弧度与角度
在数学中，弧度和角度是角的量度单位。
定义：弧长等于圆半径的弧所 对的圆心角为
1
弧度。

弧长公式:




nTT
L
（弧长）=
（n
为角度）
弧度和角度变化公式
（
r
二
1
）
。
r
~180

1-3-1
三角函数的初等基本表示
正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐标系xOy中，从点0引出一条射线0P,设旋转 角为
0 ,设OP=r, P点的坐标为
（
x, y）有
正弦函数sin 0 =yr
余弦函数cos 0 =xr
正切函数tan 0二yx
余切函数cot 0 =xy
正割函数sec 0 =rx
余割函数esc 0
=r
y
（斜边为r,对边为y,邻边为x。）
1-3-2
三角函数的数值符号及特殊值
函数名称
正弦
余弦

第一象限
+
+

第二象限 第三象限 第四象限
—
+

+
—
—
—
+
正切 +

特殊角的三角函数值
例题
19

1. sin(- —K
)
的值是()

A. —
6
B.
V3
2 2
— C.

2
D.
73


函数名称 0
30 45

正弦
0
1
2


余弦 1
V3
V2
2
2

正切
0
V3
3
1

余切 ——
侖
1

正割 1
2
舲
3

余割 ……
2
2.

若
sin0 cos0>0,
则
0
在

(
)
5.
设
tan u =
—
1
Q
1
=—
,tan P
7 3
,a
、
p
均为锐角，则
a+20
的值是(
A
上
B. - Ji C.- Ji
D.
匹或
E Ji
4 4 4 4 4
2.
当 —
(itez)
时,
siz+tan
兀的值是
( )
2

cosx + cotx

A.
恒正
B.
恒负
c.
非负
D.
无法确定
6.
如果角〃满足条件
sin
〃＞
0,cos
〃＜
0,
则〃是
( )
60
昼

2
1
2
V3
3
2
2^3
)



90
1
0
■ ■ ■ ■


1

A.
第二彖限角
C.
第四象限角
B.
第二或第四象限角
D.
第一或第三角限角
7.
若
cot 9=3,
则
cos'— sin
2

0
的值是 (
2
A.--
6
B.--
5
C.-
5
)
D.-
5
1 -3-2
1
?诱导公式
sin(-a)=-sin(a) cos (-
a)=cos (a)
sin
(
7i2+a)=cos(a)
cos
(
7i2+a) =-sin(a)
sin
(
7i2-a)=cos(a)
co s
(
7i 2-a)=sin (a)
sin
(
7i - a)=sin (a)
cos
(
7i-a)=-cos(a)
三角因数衣式

sin
(
7r+a)=-sin(a)
2.
两角和与差的三角函数
cos
(
7i+a)=-cos(a)
sin (a+b)=sin (a) cos (b)+cos (a) sin (b) sin (a-b)=sin (a)
co s (b) -cos (a) sin (b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos03
)
+sin (a) sin (b) tan
(a+b)=(tana+tanb) (1 -tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)
(1+ tanatanb)
3.
和差化积公式
sinA+sinB=2sin [(A+B)2] cos [(A-B) 2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)2] cos [(A-B) 2]
tanA+tanB=sin(A+B) cosAcosB tanA-tanB=sin (A-B)
cosAcosB
4.
积化和差公式
2sinAcosB=sin (A+B)+sin (A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-
sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) 2sinAsinB=-
cos(A+B)cos(A-B)
5.
二倍角公式
sin (2a)
二
2sin (a) co s (a)
cos(2a)=cos (a)-sin(a)=2cos(a)-l = 1 -2sin(a)
2222
6
?半角公式

sin

a
、
1 — cosa
+ cosa
a
、


coq —



a
丿
、
sina



2
1 + cosa



7
?万能公
丿


式



2 tan —


sin 0 -
2




1 + tan'


—

—

an
2




cos <9


=
号






2 tan —


tan 3 -
2



l _ tan' —

2












8
?辅助角公


式


Asina + Bsina =




9
?降幕公
式
1 — cosa
=土
— cosa
sin a
1 + cosa
sina
tana
：
L
2.
对角感两端互为例数。
1
每个顶■于其相邻顶点的乘积。
且个例立且角形〔用圆标枳的丿上面 画
个顶点的平芳和等于下而顶点的平芳
sin
2
a 4- cos
2

a
二
1
sec
cot
2
a 4-1 =
7
A
2
+B
2
sin(a + t),
其中,
a
=n

1 - cos2a
sin^a =------------------
2
1 + cos2a
2

cos a = -------------------
2
1-cos2a
9

tarra = -------------------
1 + cos2a
? 2
10
推导公式
2
tana+ cota= ------------------
sin2a
tana— cota= —2cot2a
1 + cos2a= 2 co fa
1 - cos2a= 2sin
2
a
i ? ‘ a
1 + sin a = (sin cos—)
2
a
、
2
2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan (A+B)
二
0
例题
1 sinl5° sin30° sin75°
的值等于()
A.
晅
B
晅
C.
丄
D.
丄
4 8
2
、已知〔
0, - ]
A.
〔
-3^5,3 V5
〕
C.
8 4
3VT5sin6+375cos6
的取值范围()
B.
〔
0,6 V5
〕
D.
〔
0,3^5
〕 〔
375,6^5
〕
3
、
tan300° +cot405°
的值为(
A.1 + V3 B. 1-V3
J
)
C.-1-73 D.-1 + V3
4
?设
a=sinl4 +cosl4 ,b=sinl6
「

+cosl6
y
—~~
-M
1
] a,b,c
的大小关系是(
Q

K.
a

§?專的值为（）
A. V3


B. -V3
JT
6
?设
f(sina
+
COSQ
)
二
sina cosa
，则
f（cos-）
的值为（）
o
7° cos37° -sin83° cos53°
8. tan20
u
+ V3 tan20
9. sin
(彳
-a)= y ,cos2a= _______
tan40
“ r 厶
c 3sina + coscr
[0
?已知
sna
二
3, -----------------
2sina — cos
a

11
、化简:⑴
sin50° (l + V3tanlO° )
tan(2r
-a)
sin(-2r
一
a)
cos(6zr
-a)

cos(cr
一
TT
)
sin(5^
一
a)

2
7i
3
12
、已知
sinQ
二亍,
a
G
(—
,cos? =--,?
G
(^,—)
3
TT

求
sin(<7
?
0), cos
(
6Z + 0), tan(df + 0 )
?
儿

3
几

彳
]2
13
3
5
13
、已知一
V0Voc< ------- ,cos(a-p
)
= — ,sin(a+p
)
=
.求
sin2tx
1-3-3
正弦函数
定义

对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照
这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx,叫做正弦函数。
正弦型函数解析式：
y=Asin( 3 x+)+b
图像

XER, yG [-1, 1]
最值和零点
①
最大值：当x二2kn+(n2) , k^Z时，y噺二1
②
最小值：当 x二2kn+(3n2), k^Z 时，y
min
=-l
零值点：(kn ,0) , kez
对称性：
1) 对称轴：关于直线x二(n 2)+k n , k^Z对称
2) 中心对称:关于点(kit ,0), kez对称
周期性
最小正周期：2 n
奇偶性：

奇函数
单调性:

在[-
（
n 2）+2k n , （
JI
2）+2k n ] , k^Z ±是增函数
在[（n2）+2kn , （3n2）+2kn ], k^Z ± 是减函数
正弦型函数及其性质
根据正弦型函数解析式：
y
二
Asin
（
3x+4＞）+b
e：决定波形与x轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
O
：
决定周期（最小正周期T=2 JT I 3 I ）
A
：
决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）
b
：
表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）
正弦函数的作图
“五点作图法”即取当X分别取0,兀2,
H
, 3n2,
时y的值。
例题
1
、函数
y=2sinxcosx
的最小正周期是（）
A. 2 B.
兀
C.-
2
）
2
、 函数
f （x） =cos
4
x-si
偶函数
既是奇函数又是偶函数
nx
是
（
A.
奇函数
B.
3.
函数
y=cos（3x+-）
的图象是由
y
二
cos3x
的 图象怎样平移而来的（）
D.
匕

4
4
A.
向左平移兰个单位
4
B.
向右平移兰个单位
4
C.
向左平移壬个单位
D.
向右平移壬个单位
12
12
4
?下列各区间中，函数
y=sin（x+-
）的单调增区间是
（）
A.
71

4
C.
71
x
71
FL -
-

D
71
小
5
-
（
12
分）用五点作图法作出函数
y=V3sinf- cosf
的
图象，并指出这个函数的振幅，周期，频率，相位及最
5
开
M [
N
0

值。
6.
右图为
y = Asin(mv + 0
)
的图象的一段，求其解析式。
7,
设函数(兀)=
sin(2x + 0) (-”V0图像的一条对称轴是直线
兀

X =——
O
8
(1)
求卩；
(
II)
求函数
y = (x)
的单调增区间；
(
III)
画出函数
y = (x)
在区 间
［0,
龙］上的图像。
TT
& 设函数
(x) = ? + Z?cos?4-csinx
的图象经过两点
(
0, 1), ( —,1 ),
且在
2
0内|(兀)|
52,
求实数曰的的取值范围.
9.
若函数
(x) = * ^ +
s
i
n
x + sin(x + —)
的最大值为
V2+3 ,
试确定常
71
4
2sin( --
x)

+cosA
数臼的值.
1-3-4
正弦定理与余弦定理
1-3-4-1
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即乐
sinB
sinC
=2R
(2R在同一个三角形中是恒量,
是此三角形外接圆的半径的两倍)
1-3-4-1-1
正弦定理的推广与应用
一、三角形面积公式:
1.典型公式

SSABC
= — absinC =
4R
2
abc

2.
海伦公式
假设有一个三角形，边长分别为“、b、c,三角形的面积S
设
P =
丄
(a + b + c)
2
可由以下公式求得：
t
________________________
S
三角形
=JP(P-a)(P-b)(P-c)
而公式里的P为半
周长
二.正弦定理的变形公式
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
；
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c
；
(3) 相关结论：
a _ b _ c _ a + b _ a + b + c
si nA sinB sinC sinA + sinB sinA + sinB + sinC
1-3-4-1
余弦定理
对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质

cosA =
(c +b -a)
2 be
222
—y -L)
2ac
2
22
(a +b
C)
2ab








1-3-5
三角函数题型演练
1.
试判断方程
sinx=?
实数解的个数.
100
兀
2.
已知函数?)
= sin
兰
cos
兰+馅心
2
(I)
轴方程
二
将
W
写成
Asin
伽+
0)
的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对 称
(II)
如果
AABC
的三边
a
、
b
、
c
满足
b
2
=ac,
且边
b
所对的角为
x,
试求
X
的范围及此时函数几?丿的值域.
2
3
9 . 2
已知△磁三内角儿
B
、
C
所对的如，
b, c,
且春厂走
(1)
求的大小；
若△遊的面积为芈，求
5
取最小值时的三角形形状.
(2)
4.
求函数
y= Jsin(2x-y)cot0x-y)
的值域.
求函数
y
5.
间.
tan x - sec x +1
-tg ~
、
sin2x-cos2x +1
已知
fM =

」
anx + secx-1
的单调区
1 +
etgx

6.
①化简仏);②若
sin(“
》= |,昨*討求仏)的值;
7.
已知
A ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
成等差数列，且
AV3,

①求角
A
、
B
、< br>C
的大小；②如果
BC
边的长等于
4
巧，求△
ABC
的边
AC
的长
及三

角形的面积.
3
TC

8.
已矢
II sin a = —, a e (—
(冗一卩)=
9.
求
tg(a-2p).
2
已知函数
(x) = -V3sin
x + sinxcosx
（I）
求函数（兀）的最小正周期；
（II）
求函数（兀）在
XW 0,-
的值域.
10.
在
ABC
中，角
A
、B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c, HtanA =
丄,
cosB = @
叵
2 10
（1）
求
tanC
的值；
（
2）
若
AB C
最长的边为
1,
求
b
。
11.
如图，
AACD
是等边三角形，
AABC
是等腰直角 三角
形，
ZACB=90° , BD
交
AC
于
E, AB=2
。
（1）
求
cosZCBE
的值；
（
2）
求
AEo
12.
在
AA BC
中，
a
、
b
、
c
分别是角
A
、
B
、
C
的对边,
cos
B _ b
JI cos C
2
Q
+ c
。
ks5u
E
（
1）
求角
B
的大小；
（2）
若=
+ c =
求
a
的值。
13.
已知
S
△佔产
10
盯,一个角为
60°
,这个角的两边之比为
5 : 2,
求三角形内切圆的
半径.
6F
2
+b
-C
22
2 II
D
,
人
------------ =L,H
GCOS
3

=

bcosA

14.
形状.

己知
ZVIBC
中，
a + h-c
,试判断
AABC
的
15.
求值：
sin
2CP
+ cos 8(T + V3sin 2(Tcos8(T
16
.在
AABC
中，
a=
愿
,
b=2 ,c=
求
A
、
B
、
C
及
S
」 < br>17
.已知：
R
是整数，钝角△
ABC
的三内角
A< br>、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
Jx
2

+ y = 7R
22
（
1
）若方程组
U
也
+（
匕+
1）
有实数解，求灼勺 值.
sin

（
2）
对于
（1）
屮的
M
直，若
血’且有关系式
(
c-Qsin? A+Z?sin
B = csin
C

22
B
、
第四节指数函数
1-4-1
知识点回顾
1-4-1-1
無函数
形如y二为常数)的函数，称为幕函数。
性质：
(1) 所有的图形都通过
(
1, 1)这点.QHO)
(2) 当a大于0时，無函数为单调递增的，而a小于0时, 無函
数为单调递减函数。
(3) 当a大于1时，幕函数图形下凸；当a小于1大于0 时，幕
函数图形上凸。
(4) 当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5) 显然幕函数无界限。
(6) a二0,该函数为偶函数{x|xH0} o
1-4-1-1
反比例函数
幕函数中，沪-1时，为双曲线。画图，研究渐进线。重温习本章 1-1-1
中的第二题。
1-4-1-2
指数函数定义与性质
指数函数的一般形式为y=a
x
(a>0,a^l)
性质：

(2)
指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（
4）
Q
大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则 为单调
递减的。
（5） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
（6） 函数总是通过
（
0, 1）点
（
8） 显然指数函数无界。
（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（
10） 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y 轴
对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
1-4-1-3
指数函数的应用
比较大小
1、 同幕不同底
「、丁「一
2、 同底不同幕
方法
以
y
轴为分界线分情况讨论
1、 比（差）商法
2、 函数单调性应用法
3、 中值法

第五节对数函数
1-5-1
对数定义及性质
定义:
一般地，如果a (a大于0,且a不等于1)的b次幕等于N, 那么数b
叫做以a为底N的对数，记作log
a
N = b,其中3叫做对
做
真数。
底数a则要大于0且不为1
对数的运算性质
当 a>0 且 aHl 时,M>0,N>0,那么：
(1)
log
a
MN = log
a
M + log
a
N
(2) log
M
a
—= log
a
M-log
a
N
(3)
log
a
M
n
^nlo^M
(
n
eR)
(4)
换底公式：
log
a
M = M ^
gbM
log
(b>0 且 bHl)
b
a
(5)
lo% b
log,
a


(6)
a
%a
:
(7)
log


—

=
-log°N
= -log
1 * —
(8)
logM
a
M r

数的
底数，
N叫

对数与指数之间的关系
当 a〉0 且 aHl 时，
aX = N^x = log
a
N

对数函数的常用简略表达方式：
（1）
常用对数:
lgb = log
10
b
（
2
）

自然对数
：
lnb = logeb
e=2. 718281828... 通常情况下只取e二2. 71828 对数函数 的定
义。
1-5-2
对数函数定义及性质
对数函数的一般形式为y=log（a）x,它实际上就是指数函数的反
函数（图象关于直线y二x对称的两函数互为反函数），可表示为
x=a
y
o 因此指数函数里对于a的规定
（
a〉0且aHl）,同样适用于对数函
数。
性质
定义域：
（0, +OO
）
值域：实数集
R
定点：函数图像恒过定点
（
1, 0）o
单调性：
a>l时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；
0奇偶性：
非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
周期性：
不是周期函数
零点:
x二1
例题
1.
色型的值是

?og
2
3
（
）

A.-
2
B. 1
3
D. 2
2

2.
若
log
2
[l
O
g, (10
§2
^)] = 10
&
[10
§
|(10
&
^)] = 10g
5
ri0g, (10
&
Z
)
]=0,
则兀、
y
、
z
的大小
2 3 5
关系是
A
?

z B.
x( )
C. y D
?
zv
3. 已知Xi是方程xxlgx = 3的一个根，X?是方程xxlO =3的一个根,
那么x
l+
x
2
的值是()
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
4. log
2
log
3
log
4
x = log
3
log
4
log
2
y = log
4
log
2
log
3
z = 0,则 x + y + z 的
值为 ()
A. 50 5.当
B. 58 C. 89 在同一
D. Ill
坐标系中,
函数y = 与y = log
a
x的图象是图
a > 1时, 中
的 )
y


6. 设必“叫儿朋匕旳二?严，贝U (
A
?
乃＞刀＞乃B.乃〉
D
?
＞乃＞乃
z
刀＞乃C. ＞乃＞乃
二次函数
y=ax-~ bx~~ c
与函数y=(-)
v
的图象
可
a

能是
)
yjk
8.已知函数代方的定义域是(0,
7. 在下列图象中，
( )
1),那么(2)的定义域是
V
A. (0, 1) B. (1, 1) C. ( — 8, 0) 0. (0, +
◎

9.若
a
= V2-1,

2x
3
JV

-3x
a +a

-x
等于(
a
+
A. 2V2-1 B
?
2-2V2 C
?
2V2+1 D
?
V2+1
x
10.设 O)满足
=f(4 — x)
,且当
x>2
时 O)是增函数，则臼
= A1.1
0
-
9
),
b=
Ao. 9
11
),
C
=
(lo
gl
4)的大小关系是(
2
)
A.
a>b>c
B.
b>a>c
C.
a>c>b
D.
c>b>a

11. 若函数f(x)与g(x) = (^)
的图象关于直线y = x对称，贝Jf(4-x
)的单调 递增区
间是()
A. (—2, 2］ B. ［0, +00
)
C. ［0,
二.填空题
_xx
x2
2) D. (—00, 0］
12. 已知 +2 =5,则 +8 = ______________________
?
13. 若函数y = log2X + 2的反函数定义域为(3, +8
)
,则此函数的定义
域为 ______________ ?
14. 已知y = log
a
(3-ax)在［0, 2］上是x的减函数，则a的取值范围
是 __________________ .
15?函数f(x) = a
x
(a>0, a^l)在［1, 2］上的最大值比最小值大专，则a的 值为 .
16. 已知函数 f(x) = 2-1 的反函数为 f-(x), g(x) = log
4
(3x +1)
?
(1)若 f求X的取值范围
D
；

(2)设函数H(x) = g(x)-lf(x),当
XG
D
时，求函数H(x)的值域.
17. 已知常数a > 1,变数 X、y 有关系 31og
x
a + log
a
x-log
x
y = 3.
l
(1) 若 x = a (tzO),试以 a、t 表示 y
；
(2) 若t在［1, +oo)内变化时，y有最小值8,求此时
Q
和x的值各 为多少？
x
18. 已知函数f(x) = 9-2-3判断f (x)是否有反函数？若有，求出反
函数；若没有，怎么改变 定义域后就有反函数了？
一丄
X
,
2
19
?
设0WW2,求函数尸4、
-a-2
+ —+ 1的最大值和最小值.
2x

第六节函数与方程
1-6-1
理论思想
1、 函数与方程的思想方法是高中数学思想方法的主线，函数思想是 指在解决某些
问题时，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象出变 量间的函数系，再利用函
数的有关性质，使问题得以解决。
2、 方程思想是指将研究的变量设为未知数，根据题意布列方程，通 过对方程的研
究，使问题得以解决。方程与函数是两个不同的概念, 但它们有着密切的联系。对
于同一个问题，可以用不同的观点去分析, 从而引出不同的方法。
3、
重要关系
A、 方程
f(x) = g(x)
的解是两函数y =于(兀)和y二g(x)图象交点的横坐标；
B、 不等式f(x) > g(x)的解集是函数y = (兀)的图象在函数y二g (x)的图象上 方的
取值集合；
C、 不等式( < k的解集的区间端点值要么是函数
y =于(兀)和y二g (x)的公共定义域的区间端点值，要么是相应方程
f(x) = g(x)
的
解。
5. 数形结合是重要的数学思想方法，借助函数的图象，再结合分 析、推理来解决
与函数有关的问题。
6. 函数的思想方法贯穿于高中数学理论和应用的各个侧面，解题 时，一般据题意
先建立目标函数，而后通过对函数性质的研究加以解

决。
7
?
解复杂的方程或不等式时，注意换元化归，分类讨论。
例题解析
函数问题方程化
1、已知函数（兀）=1碍
〃用：张+斤
的定义域为R,值域为[0, 2],求 X +1
实数加、
n
Q

彳马
mx +Sx + n
rl
.
2
=亠。
o
? .
以
f = ---------------
，贝
ijl
< t <
9,
又由
+1） =
mx^
+8x +
〃得
（f
一〃
2
）
x~
-Sx^t-n
= 0
x
2
+1
?
XG
?,. A = 64—4（
-m）（t — ri）>
OEPr
—
（m + n）t
+ m?-16< 0,? 1
< r < 9
2
.m + n =
0
且加
7?-16 = 9
?解得加
=n = 5

方程问题函数化
1、方程lgx+x二3的解所在区间为. （）
A. (0, 1) B. (1, 2) C
?
(2, 2 .如果关于x的
方程”+側-l）x + _2 =
个根大于1,求实数加的取值范围.
方程* +（朋_l）x +血2 _2=0的实扌艮即是于仗）= +
（
叨_1
）
兀+血2 _2的图
象与X轴交点的横坐标.
原方程有一个根小于一1，另一个根大于1的充要条件是函数y=f（x） 的图象与X
轴有两个交点分别在区间（一8, — 1）及
（
1, +8
）
上.

由于y=f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此 以
上条件等价于
{?<0
0,
即{；+
(

朋 一 1) +
m
2
- 2 < 0,
+ - 2 <0.
解得
0 5 C 1
3、若关于x的方程lg (x
2
+20x) -lg (8x-6a-3) =0有惟一的实根,
围.
原方程等价于
x
2
+20x>0, x
2
+20x=8x-6a-3,
即：x<-20 或 x>0,
①
x?+ 12x+6a+3=0
?

②
令 f (x) =x
2
+12x+6a+3.
(1) 若抛物线y二f (x)与x轴相切，有
A =144-4 (6a+3) =0,即 a二(112).
将(112)代入②，得x二-6,不满足①.
???
Q
H
(11 2)
?
(2) 若抛物线y=f (x)与x轴相交(如图2-12),注意到其对
的横坐标有且仅有一个满足①的充要条件为
图 2-12
求实数a的取值范
称轴为x二-6,故交点

f (—20) 20,
解得-
(
1636)WaV-(1 2).

f (0) <0,
???当-(1636) WaV- (12)时，原方程有惟一解.
数型结合思想
上面方程可以等价于
x
2
+ 20x=8x-6a~3 (xV-20 或 x>0).
③
问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x-6a-3与抛物线
y=x +20x (x<-20或x>0)有且仅有一个公共点.
虽然这两个函数的图象都很明确，但在什么情况下它们有且仅有
一个公共点，却并不明显.如果把方程③稍作变形，如
x + 12x+3=-6a (x<-20 或 x>0)
?
再在同一直角坐标系中分别作出抛物线y二x' + 12x+3 (x<-20或
x>0)和直线y二-6a,如图2T3所示.
当且仅当 3<-6a^l63,即-(1636) WaV- (12)时，直线与
抛物线仅有一个公共点.
???当- (1636) WaV- (12)时，原方程有惟一的实根.
2
2
第七节函数与不等式
1-7-1
理论思想
1、不等式的性质及均值定理等重要不等式，是求解函数定义域、

值域、判断函数单调性以及求解函数最值问题的有力工具

2、 利用函数的单调性，是求解比较大小问题或进行某些不等式
证明的重要途径
3、 函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及函数、
方程、不等式之间的相互转化，是灵活处理函数与不等式问题的基本
的思想和方法。
例题解析
1、解关于X的不等式J-只 >a + 2x
分析一：这是解无理不等式，一般思路是化无理不等式为有理不等式
[2x + a < 0
解一：原不等式或
[2x + a
> 0
1.当a>0时:
-a
4
4
a

--a < x <0 - —
O 2
2
II
)
O I 5
a,0]
2. a<0 时
? a>0时原不等式的解集为［—
1)0
a

<
2
4
5
c
II) O
〔

a

2
4
5
???
3〈0时，原不等式的解集为⑷一評
3. a=0时，原不等式化为
J-
兀
2
> 2x

x = 0

此时解集为0
分析二:
用数形结合解不等式
?二血-宀,作直线1
：
解二
：在同一直角坐标系XOY中作曲线C
：

y=2x+a
p =品2_
，
4
由b = 2x+a得77二
7

=

2
X
+
Q
???心入=-产
如图（3）得3〉0时，原不等式的解集为[~a,0]
如图
（
4）得，a〈0时，原不等式的解集为如 当a二0时，解法
同解法一 （略）

例3
?
若对于任意实数x,不等式
a

a + 1 4a
2
怛成立,
求a的取值范围。
a +1 分析一：系数较繁，但有联系，先换元，化简不等式。令t二勿
石, 则原不等式化为：(3+t)X
2
—2tx+2t>0 令 f (x) = (3+t)x
2
—2tx+2t 考
察
3 +1 > 0
二次函数 f(x)的图象知：［
. a +1
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.
?
. 2a >0得0凸函数的概念：
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数xl,x2都 有
(f(xl)+f (x2) )2>=f ((xl+x2) 2),那么 f (x)为凹函数，或下凸 函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数xl,x2都 有
(
f
(xl) +f (x2))2<=f ((xl+x2) 2),那么 f (x)为凸函数，或上凸 函数。
同样，如果不等式中等号只有xl=x2时才成立，我们分别称
它们为严格的凹凸函数
得 t>0