高中数学阶段常见函数性质汇总

高中阶段常见函数性质汇总
函 数 名 称：常数函数
解析式 形 式：
f
(
x
)=
b
(
b
∈R)
y
b
f(x)=b
图象及其性质：函数
f
(
x
)的图象是平行于
x
轴或与
x
轴重合（垂直于
y
轴）的直线
定 义 域：R
值 域：{b}
x
O
单 调 性：没有单调性
奇 偶 性：均为偶函数[当
b
=0时，函数既是奇函数又是偶函数]
反 函 数：无反函数
周 期 性：无周期性


函 数 名 称：一次函数
y
解析式 形 式：
f
(
x
)=
kx
+
b
(
k
≠0,
b
∈R)

f(x)=kx+b 图象及其性质：直线型图象。
|k|
越大，图象越陡；
|k|
越小，图象 越平缓；
当
b
=0时，函数
f
(
x
)的图象过原点；
x
O
当
b
=0且
k
=1时，函数
f< br>(
x
)的图象为一、三象限角平分线；
当
b
=0且
k
=-1时，函数
f
(
x
)的图象为二、四象限角平分线；
定 义 域：R
值 域：R
单 调 性：当
k>
0时，函数
f
(
x
)为R上的增函数；
当
k<
0时，函数
f
(
x
)为R上的减函数；
奇 偶 性：当
b
=0时，函数
f
(
x
) 为奇函数；当
b
≠0时，函数
f
(
x
)没有奇偶性；
反 函 数：有反函数。[特殊地，当
k
=-1或
b
=0且
k
=1时，函数
f
(
x
)的反函数为原函数
f(
x
)本身]
周 期 性：无


函 数 名 称：反比例函数
解析式 形 式：
f
(
x
)=
k

(
k
≠0)

x
图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐 标轴相交，当
k>
0时，函数
f
(
x
)的
图象分别 在第一、第三象限；当
k<
0时，函数
f
(
x
)的图象分别
在第二、第四象限；
双曲线型曲线，
x
轴与
y
轴分别是曲线的两条渐近线；
图象成中心对称图形，对称中心为原点；
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为
y
=
x
、
y
=-
x
；
定 义 域：
(??,0)?(0,??)

值 域：
(??,0)?(0,??)

单 调 性：当
k>
0 时，函数
f
(
x
)为
(??,0)
和
(0,??)
上的减函数；
当
k<
0时，函数
f
(
x
)为
(??,0)
和
(0,??)
上的增
奇 偶 性：奇函数
反 函 数：原函数本身
y
f(x)=
y
f(x)=
O
k

x
x
函数；
ax?b

cx?d
x
O

周 期 性：无


函 数 名 称：变式型反比例函数
解析式 形 式：
f
(
x
)=
ax?b

(
c
≠0且
d
≠0)

cx?d
ad< br>、直线
x??
相交，当
k>
0时，函数
f
(
x
)的图象分
cc
图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线
y?
别在直线
y?
ad
与直线
x??
形成的左下与右上部分；当
k<
0时，函数
f
(
x
)的图象分别
cc
ad在直线
y?
与直线
x??
形成的左上与右下部分；
cc
ad
双曲线型曲线，直线
y?
与直线
x??
分别是曲线的两条渐近 线；
cc
da
图象成中心对称图形，对称中心为点
(?,)
； < br>cc
a?da?d
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为
y?x?
、
y??x?
；
cc
aadad
bc?ad
(cx?d) ?b?b?
2
ax?b
c
aa
ccc
?????
由于
f(x)?
d
cx?dcx?dccx?dc
x?
c
令
k?
ka
bc?ad
f(x)??
，则
2
dc
c
x?
c
ka
d
向左平移个单位，向上平移 个单位 得
xc
c
进而函数
f
(
x
)的图象可以看成是由函 数
y?
到的
dd
)?(?,??)

cc
aa
值 域：
(??,)?(,??)

cc
定 义 域：
(??,?
单 调 性：当
bc ?ad?0
时，函数在
(??,?
当
bc?ad?0
时，函数在(??,?
奇 偶 性：非奇非偶函数
反 函 数：
y?
dd
)
和
(?,??)
上均为减函数；
cc
dd
)
和
(?,??)
上均为增函数；
cc
?dx?b

cx?a
周 期 性：无
x??
b

2a


函 数 名 称：二次函数
y

f(x)=
ax?bx?c

2
O
x

解析式 形 式：一般式：
f(x)?ax?bx?c(a?0)

顶点式：
f(x)?a(x?k)?h(a?0)

两根式：
f(x )?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)

2
2
b4ac?b
2
b
图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为
x? ?
，顶点坐标为
(?,)
或
(k,h)
，与
y
轴的
2a4a
2a
交点为
(0,c)
；
b4ac?b
2
②当
a?0
时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点
(?
当
a?0
时，
,)
；
2a4a
b4ac?b
2
,)
； 抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点
(?
2a4a
③当??b?4ac?0
时，函数图象与
x
轴有两个交点，当
??b?4ac ?0
时，函数图象
2
与
x
轴有一个交点，当
??b?4ac ?0
时，函数图象与
x
轴没有交点；
④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相 等；当
a?0
时，横坐标距对称轴近则函数值小，
当
a?0
时，横坐 标距对称轴近则函数值大；
⑤函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
均可由函数
f(x)?ax(a?0)
平移得到；
定 义 域：R
2222
4ac?b
2
4ac?b
2
,??)
；当
a?0
时，值域为
(??,)
值 域：当
a?0
时 ，值域为
(
4a4a
bb
]
上为减函数，
[?,??)上为增函数；
2a2a
bb
当
a?0
时，
[?,?? )
上为减函数，
(??,?]
上为增函数；
2a2a
奇 偶 性：当
b?0
时，函数为偶函数；当
b?0
时，函数为非奇非偶函数
单 调 性：当
a?0
时，
(??,?
反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数
周 期 性：无


x
a(0?a?1)

y
f(x)=
函 数 名 称：指数函数
解析式 形 式：
f(x)?a(a?0,a?1)

图象及其性质：①函数图象恒过点
(0,1)
，与
x
轴不相
交，只是无限靠近；
x?x
②函数
f(x)?a
与
f(x)?()?a
的图象关于
y
轴对称；
x
x
f(x)=
a(a?1)

x
O
x
1
a
③当
a?1
时，
y
轴以左的图象夹在在直线< br>y?1
与
x
轴之间，
y
轴以右的图象在直线
y?1< /p>

以上；当
0?a?1
时，
y
轴以左的图象在直线
y?1
以上，
y
轴以右的图象夹在在直线
y?1
与
x轴之间；
④第一象限内，底数大，图象在上方；
定 义 域：R
值 域：
(0,??)

单 调 性：当
a?0
时，函数为增函数；当
a?0
时，函数为减函数；
奇 偶 性：无
反 函 数：对数函数
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)

周 期 性：无


函 数 名 称：对数函数
解析式 形 式：
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)

O
图象 及其性质：①函数图象恒过点
(1,0)
，与
y
轴不相交，只是无限
靠近；
②函数
f(x)?log
a
x
与
f(x)?log
1
x??log
a
x
的
a
y
f(x)=
log
a
x(a?1)

x
f(x)=
log
a
x(0?a?1)

图象关于
x
轴对称；
③当
a?1
时，
x
轴以下的图象夹在在直线
x?1
与
y
轴之间，
x
轴以上的图 象在直线
x?1
以右；当
0?a?1
时，
x
轴以下的图象在 直线
x?1
以右，
x
轴以上的图象夹在在直线
x?1
与y
轴之间；
④第一象限内，底数大，图象在右方；
定 义 域：R
值 域：
(0,??)

单 调 性：当
a ?0
时，函数为增函数；当
a?0
时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因
为两函数互为反函数]
奇 偶 性：无
y
反 函 数：指数函数
f(x)?a(a?0,a?1)

周 期 性：无


函 数 名 称：对钩函数
2
O
x
f(x)=
x?
1
x
1

x
1

x
图象及其性质：①函数图象与
y
轴及直线
y?x
不相交，只是无限靠近；
解析式 形 式：
f(x)?x?
②当
x?0
时，函数
y?f(x)
有最低点
(1,2)
，即 当
x?1
时函数取得最小值
f(1)?2
；
③当
x?0< br>时，函数
y?f(x)
有最高点
(?1,?2)
，即当
x?? 1
时函数取得最大值

f(?1)??2
；
定 义 域：
(??,0)?(0,??)

值 域：
(??,?2]?[2,??)

单 调 性：在
(??,?1]< br>和
[1,??)
上函数为增函数；在
[?1,0)
和
(0,1 ]
上函数为减函数；
奇 偶 性：奇函数
反 函 数：定义域内无反函数
周 期 性：无

2．3函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）2．3函数单调性

【典型例题】
例1．(1)
设函数f(x)?(2a?1)x?b是R上的减函数,
则a的范围为( D)
A．
a?
1111
B．
a?
C．
a??
D．
a?

2222
2
提示：2
a
?
1<0时该函数是R上的减函数.
(2)函数
y?x?bx?c(x?[0,??)
)是单调函数的充要条件是( A )
A．
b?0
B．
b?0
C．
b?0
D．
b?0

提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象
(3)已知
f(x)
在区 间
(??,??)
上是减函数，
a,b?R
且
a?b?0
， 则下列表达正确的是（ D ）
A．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

C．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

提示：
a?b?0可转化为
a??b
和
b??a
在利用函数单调性可得.
(4) 如下图是定义在闭区间上的函数
y?f(x)

的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5]
提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.
(5) 函数
y?x
2
?2x?3
的单调减区间是
(??,?3]

提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.
例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
22
（1）
y??x?2|x|?1
（2）
y?|?x?2x?3|

22
??
?
?x?2x? 1(x?0)
?
?(x?1)?2(x?0)
解：(1)
y?
?2
即
y?
?

2
??
?
?x?2 x?1(x?0)
?
?(x?1)?2(x?0)
如图所示，单调增区间为
(??,?1]和[0,1]
，单调减区间为
[?1,0]和[1,??)

222
（2）当
?x?2x?3?0,得?1?x?3
，函数
y??x?2 x?3??(x?1)?4

当
?x?2x?3?0,得x??1或x?3
， 函数
y?x?2x?3?(x?1)?4

2
?
?
?(x? 1)?4(?1?x?3)
即
y?
?

2
?
?(x?1)?4(x??1或x?3)
222

如图所示，单调增区间为[?1,1]和[3,??]
，单调减区间为
(??,?1]和[1,3]





(1) (2)
例3．根据函数单调性的定义，证明函数
证明：设x
1
,x
2
?R且x
1
?x
2

3322
则
f(x
1
)?f(x
2
)?x
2
?x
1
?(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
x
2
?x
1
)

在 上是减函数．

因为x
1
?x
2

所以x
2
?x
1
?0
，且在
x
1
与
x
2
中至少有一个不为0，
22
不妨设
x
2
?0
，那么
x
2
?x
1
x
2
?x
1
?(x
1
?
x
2
2
3
2
)?x
2
?0
，
所以 f(x
1
)?f(x
2
)

24
故
f(x)
在
(??,??)
上为减函数
例4.设
f(x )
是定义在R上的函数，对
m
、
n?R
恒有
f(m?n)? f(m)?f(n)
，且当
x?0
时，
0?f(x)?1
。
（1）求证：
f(0)?1
； （2）证明：
x?R
时恒有
f(x)?0
；
（3）求证：
f(x)
在R上是减函数； （4）若
f(x)?f(2?x)?1
，求
x
的范围。
1
111
则
f(?0)?f()gf(0)
，因为
f()?0
所以
f(0)?1

2
2
22
(2)设
x?0
则
?x?0

由条件可知
f(?x)?o

又因为
1?f(0)?f(x?x)?f(x) gf(?x)?0
，所以
f(x)?0

∴
x?R
时，恒有
f(x)?0

（3）设
x
1
?x
2
则
解：(1)取m=0，n=
f(x
1
)?f(x
2
)?f (x
1
)?f(x
2
?x
1
?x
1
) =
f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)f(x< br>1
)

=
f(x
1
)[1?f(x
2
?x
1
)]

因为
x
1
?x
2
所以
x
2
?x
1
?0
所以
f(x
2
?x
1
)?1< br>即
1?f(x
2
?x
1
)?0

又因为
f(x
1
)?0
，所以
f(x
1
)[1?f(x< br>2
?x
1
)]?0

所以
f(x
1)?f(x
2
)?0
，即该函数在R上是减函数.
2
(4) 因为
f(x)?f(2?x)?1
，所以
f(x)?f(2?x)?f(2x?x)? f(0)

所以
2x?x
2
?0
，所以
x的范围为 x?2或x?0


【课内练习】
1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( D ).
A．
y??3x?2
B．
y?
提示：根据函数的图象.
2.函数
y??x
2
?2x?3
的增区间是（ A ）.
A． [
?
3,
?
1] B． [
?
1,1] C．
(??,?3)
D．
[?1,??)

提示：注意函数的定义域.
2
3.
f(x)?x?2(a?1)x?2
在
(??,4]
上是减函数，则
a
的取值范围是（ A ）.
A．
a??3
B．
a??3
C．
a?5
D．
a?3

3
22
C．
y?x?4x?5
D．
y?3x?8x?10

x

提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.
4．若函数
f(x)
在区间[
a
,b]上具有单调性，且
f(a)gf(b)?0,则方程
f(x)?0
在区间[
a
，b]上（D）A．至
少有一 个实数根 B．至多有一个实数根 C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
提示:借助熟悉的函数图象可得.
2
5. 函数
y??x?6x?10
的单调增区间是__
(??,?3]
__，单调 减区间___
[?3,??)
___。
提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.
2
6．若
f(x)?2x?mx?3
当
x?[?2,??)
时是增函数,当
x?(??,?2]
时是减函数,则
f(1)?
13
提示：由题可知二次函数的对称轴是
x??2
可求出m的值.
7．已知f(x)
在定义域内是减函数，且
f(x)
>0，在其定义域内下列函数为单调增 函数的为 ②③
①
y?a?f(x)
（为常数）；②
y?a?f (x)
（
a
为常数）；③
y?
提示：借助复合函数的单调性.
1
；④
y?[f(x)]
2
．
f(x)
1

2
1
提示：
f(x)
是[0,1]上的增函数或减函数,故
f(0)?f(1)?a
，可求得
a
=
2
9．设
f(x)
是定义在
(0,??)
上的单调增 函数，满足
f(xy)?f(x)?f(y),f(3)?1

求：（1）f（1）；（2）当
f(x)?f(x?8)?2
时x的取值范围.
x( x?1)
在[0,1]
上的最大和最小值的和为
a
，则
a
= 8．函数
f(x)?a?log
a
解:(1) 令
x?y?1
可得
f(1)?0
(2)又2=1+1=
f(3)?f(3)?f(9)

由
f(x) ?f(x?8)?2
,可得
f[x(x?8)]?f(9)

因为
f(x)
是定义在
(0,??)
上的增函数,
所以有
x?0
且
x?8?0
且
x(x?8)?9
，解得：
8?x?9

10．求证:函数
f(x)?x?
证明:设
x
1
?x
2
?a
则
a
(a?0)
在
(a,??)
上是增函数.
x
f (x
1
)?f(x
2
)?
(x
1
?
xx? a
aaa
)?(x
2
?)?(x
1
?x
2
)(1?)?(x
1
?x
2
)(
12
)

x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
当
x
1
?x
2
?a
时
x1
?x
2
?0
,
x
1
x
2
?0
,
x
1
x2
?a
，所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0< br>
所以函数
f(x)?x?


a
(a?0)
在
(a,??)
上是增函数.
x
2．4 函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）

【典型例题】
例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）
①偶函数的 图象一定与y轴相交；②函数
f(x)
为奇函数的充要条件是
f(0)?0
； ③偶函数的图象关于y
轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．
A．1 B．2 C．3 D．4
1< br>是偶函数，但其图象与
y
轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可
2
x
能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a
，
a
）〕，答
案为A．
提示：①不对，如函数
f( x)?

2
（2）已知函数
f(x)?ax?bx?3a?b
是 偶函数，且其定义域为［
a?1,2a
］，则（ ）
A．
a?
1
，b＝0 B．
a??1
，b＝0 C．
a?1
，b＝0 D．
a?3
，b＝0
3
2
提示：由
f(x)?ax?bx?3a?b
为偶函数，得b＝0．
1
．故答案为A．
3
2
（3）已知
f(x)
是定 义在R上的奇函数，当
x?0
时，
f(x)?x?2x
，则
f(x)
）在R上的
表达式是（ ）
A．
y?x(x?2)
B．
y?x(|x|?2)
C．
y?|x|(x?2)
D．
y?x(|x|?2)

2
提示：由
x?0
时，< br>f(x)?x?2x
，
f(x)
是定义在R上的奇函数得：
又定义域为［
a?1,2a
］，∴
(a?1)?2a?0
，∴
a?
2
当x＜0时，
?x?0
，
f(x)??f(?x)??(x?2x )?x(?x?2)

(x?0)
?
x(x
?
2)
f(x)
?
∴，即
f(x)?x(|x|?2)
，答案为D．
?< br>x(
?
x
?
2)(x?0)
?
53
（4）已 知
f(x)?x?ax?bx?8
，且
f(?2)?10
，那么f（2）等于
?26

53
提示：
f(x)?8?x?ax?bx
为 奇函数，
f(?2)?8?18
，∴
f(2)?8??18
，∴
f( 2)??26
．
，则
f(x)
的解析式为
x
?
1
1
1
提示：由
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇 函数，可得
f(x)
?
g(x)
?
，联立
f(x)
?
g(x)
?
，得：
?
x
?
1
x
?
1
1
111
1
f(x)
?
(?)
?2
， ∴
f(x)
?
2

x
?
1x
?
1
2x
?
1
?
x
?
1< br>例2．判断下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?(x?1)
（5）已知f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇函数，若
f(x)
?
g(x)
?
1
1?x
；(2)
f(x)?1?x
2
?x
2
?1
；
1?x
2
?
(x?0)
l g(1?x
2
)
?
x?x
f(x)?
f(x)?
（ 3）；（4）．
?
2
|x
2
?2|?2
?x?x(x?0 )
?
?
解：（1）由
1?x
?0
，得定义域为
[ ?1,1)
，关于原点不对称，∴
f(x)
为非奇非偶函数．
1?x
2
?
?
1?x?0
(2)

?
2
?x
2
?1?x??1
，∴
f(x)?0
∴
f(x)
既是奇函数又是偶函数．
?
?
x?1?0
2
?
lg(1?x
2
)
?
1? x?0
lg(1?x
2
)
（3）由
?
2
得定义域为
(?1,0)U(0,1)
，∴
f(x)?
，
??
22
x
?(x?2)?2
?
?
|x?2|?2?0
lg[ 1?(?x)
2
]lg(1?x
2
)
?f(x)
∴
f(x)
为偶函数 ∵
f(?x)????
22
(?x)x
（4）当
x?0
时 ，
?x?0
，则
f(?x)??(?x)?x??(x?x)??f(x)
，
当
x?0
时，
?x?0
，则
f(?x)?(?x)?x? ?(?x?x)??f(x)
，
综上所述，对任意的
x?(??,??)
，都有
f(?x)??f(x)
，∴
f(x)
为奇函数．
例3．若 奇函数
f(x)
是定义在（
?1
，1）上的增函数，试解关于
a的不等式：
f(a?2)?f(a
2
?4)?0
．
2
解：由已知得
f(a?2)??f(a?4)

222
因f(x)是奇函数，故
?f(a?4)?f(4?a)
，于是
f(a?2)?f(4?a)
．
又
f(x)
是定义在（
?
1，1）上的增函数，从而
22
22

?
?3?a?2
?
a? 2?4?a
2
?
?
?1?a?2?1??3?a?2

??
1?a?3
?
?1?a
2
?4?1
?
?
?
?5?a?3或3?a?5
即不等式的解集是
(3,2)
．
例4 ．已知定义在R上的函数
f(x)
对任意实数
x
、
y
，恒有
f(x)?f(y)?f(x?y)
，且当
x?0
时，
f(x)?0
，
又
f(1)??
．
（1）求证：
f(x)
为奇 函数；（2）求证：
f(x)
在R上是减函数；（3）求
f(x)
在[
?3
，6]上的最大值与最
小值．
（1）证明：令
x?y?0
，可得
f(0)?f(0)?f(0?0)?f(0)
，从而，f(0) = 0．
令
y??x
，可得
f(x)?f(?x)?f(x?x)?f(0)?0< br>，即
f(?x)??f(x)
，故
f(x)
为奇函数．
（2 ）证明：设
x
1
,x
2
∈R，且
x
1
?x
2
，则
x
1
?x
2
?0
，于是
f (x
1
?x
2
)?0
．从而
2
3
f(x
1
)?f(x
2
)?f[(x
1
?x
2
) ?x
2
]?f(x
2
)?f(x
1
?x
2
)?f(x
2
)?f(x
2
)?f(x
1
?x
2< br>)?0

所以，
f(x)
为减函数．
（3）解：由（2）知 ，所求函数的最大值为
f(?3)
，最小值为
f(6)
．
f(?3 )??f(3)??[f(2)?f(1)]??[2f(1)?f(1)]??3f(1)?2

f(6)??f(?6)??[f(?3)?f(?3)]??4

于是，
f(x)
在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4．

【课内练习】
1．下列命题中，真命题是（ C ）
1
是奇函数，且在定义域内为减函数
x
30
B．函数
y?x(x?1)
是奇函数，且在定义域内为增函数
2
C．函数
y?x
是偶函数，且在（
?
3，0）上为减函数
2
D．函数
y?ax?c(ac?0)
是偶函数，且在（0，2）上为增函数
1
提示：A中，
y?
在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原 点对称；D中，当
a?0
时，
x
y?ax
2
?c(ac?0 )
在（0，2）上为减函数，答案为C．
2． 若
?
(x)
，g(x)
都是奇函数，
f(x)
?
a
?
(x)
?
bg(x)
?
2
在（0，＋∞）上有最大值5，则
f(x)
在（－
∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
A．函数
y?
提示：
?
(x )
、
g(x)
为奇函数，∴
f(x)
?
2
?
a
?
(x)
?
bg(x)
为奇函数．
又
f(x)
有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴
f(x)
－2在
(??,0)
上有最小值－3，∴
f(x)
在(??,0)
上有最小值－1．答案为C．
3．定义在R上的奇函数
f(x)< br>在（0，+∞）上是增函数，又
f(?3)?0
，则不等式
xf(x)?0的解集为（A）
A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，+∞）
C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3）
提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．

4.已知函数
y?f(x)
是偶函数，
y?f(x?2)
在 ［0，2］上是单调减函数，则（A）
A.
f(0)?f(?1)?f(2)
B.
f(?1)?f(0)?f(2)

C.
f(?1)?f(2)?f(0)
D.
f(2)?f(?1)?f(0)

提示：由
f
（
x
－2）在［0，2］上单调递减，∴
f(x)
在［－2，0］上单调递减.
∵
y?f(x)
是偶函数，∴
f(x)
在［0，2］上单调递增. 又
f(?1)?f(1)
，故应选A.
1
，那么当
x
∈（ －1，0）时，
f(x)
的表达式是
lg(1?x)
．
1?x1
提示：当
x?
（－1，0）时，
?x
∈（0，1），∴
f(x)??f(?x)??lg?lg(1?x)
．
1?x
5．已知
f (x)
奇函数，当
x
∈（0，1）时，
f(x)?
lg
6． 已知
f(x)?log
3
提示：
f(0)?log
3
2? a?x
是奇函数，则
a
2007
＋
2007
a
= 2008．
a?x
2?a2?a
?0
，
?1
，解得：a?1
，经检验适合，
a
2007
?2007
a
?20 08
．
aa
7．若
f(x)
是偶函数，当
x
∈［ 0，+∞)时，
f(x)?x?1
，则
f(x?1)?0
的解集是
{ x|0?x?2}

提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出
f(x)
的图 象，由图可知
f(x)?0
的解集为
{x|?1?x?1}
，∴
f( x?1)?0
的解集为
{x|0?x?2}
.
8．试判断下列函数的奇偶性：
1?x
2
（1）
f(x)?|x?2|?|x?2|
； （2）
f(x)?
；
x?3?3
（3）
f(x)?
|x|
(x?1)
0
．
x
解：（1）函数的定义域为R，
f(? x)?|?x?2|?|?x?2|?|x?2|?|x?2|?f(x)
，
故
f(x)
为偶函数．
?
1?x
2
?0
（2）由
?
得：
?1?x?1且x?0
，定义域为
[?1,0)U( 0,1]
，关于原点对称，
?
|x?3|?3?0
2
1?x
2
1?x
2
1?x
f(x)??
，
f(?x)???f( x)
，故
f(x)
为奇函数．
x?3?3x
?x
（3）函 数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．
9．已知函数
f(x)
对一切
x,y?R
，都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，若
f(?3)?a
，用
a
表示
f(12)
．
解：显然
f(x)
的定义域是
R
，它关于原点对称．在
f(x?y)?f(x)?f(y)
中，
令
y??x
，得
f(0)?f(x)?f(?x)
，
令
x ?y?0
，得
f(0)?f(0)?f(0)
，∴
f(0)?0
，
∴
f(x)?f(?x)?0
，即
f(?x)??f(x)
， ∴
f(x)
是奇函数．
∵
f(?3)?a
， ∴
f(12)?2f(6)?4f(3)??4f(?3)??4a
．
ax
2
?1
10．已知函数
f(x)?(a,b,c?Z)
是奇函数，又，
f(1)?2
，
f(2)?3
，求
a
、
b
、c
的值.
bx?c
解：由
f(?x)??f(x)
得
?bx?c??(bx?c)
∴c=0. 又
f(1)?2
，得
a?1?2b
，
4a?1
?3
，解得
?1?a?2
. 而
f(2)?3，得
a?1
又
a?Z
，∴
a?0
或
a?1.
1
若
a?0
，则b=
??Z
，应舍去； 若
a?1
，则b=1∈Z.
2
∴
a?1,b?1,c?0
.


2．5 映射的概念、指数函数作业本A、B卷 （练习题和解析）

A组
1．在M到N的映射中，下列说法正确的是（ D ）
A．M中有两个不同的元素对应的象必不相同 B．N中有两个不同的元素的原象可能相同
C．N中的每一个元素都有原象 D．N中的某一个元素的原象可能不只一个
提示：M中两个不同的元素对应的象可以相同， N中的元素可以没有原象．答案为D．
2x
2．函数
y?(a?3a?3)?a
是指数函数，则有（ C）.
A．
a?1
或
a?2
B．
a?1
C．
a?2
D．
a?0
且
a?1

?
a
2
?3a?3?1
?
提示：
?
a?0
得：
a?2
，答案为C．
?
a?1
?
1
3
?
1
2
1
3．已知
a?()
3
,b?2
2
,c?()
3
，则下列关系中正确的是（ D ）
22
A
a?b?c
B
c?a?b
C
a?c?b
D
1
1
3
提示：
b? ()
2
，有
y?()
x
在R上为减函数知
b?a?c
，答案为D．
2
2
x
4．
y?(2?a)
在定义域内 是减函数，则
a
的取值范围是（1，2）
提示：由
0?2?a?1
解得：
1?a?2

5．若指数函 数
y?a
在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数
a?
x

?1?5?1?5
．
或a?（舍去）
22
1?51?5
若
a?1
，则
a?a
?1
?1
即
a
2< br>?a?1?0
，解得：
a?
．
或a?（舍去）
22
5?1
综上所述；
a?
．
2
6.比较下列个组数的大小：
1
（1）
0.5
0.5< br>与
0.6
0.4
；（2）
4
0.8
,8
0. 45
,()
?1.5
.
2
解：（1）∵
0.5
0.5
?0.6
0.5
且
0.6
0.5
?0.6
0 .4
， ∴
0.5
0.5
?0.6
0.4
.
1
（2）
4
0.8
?2
1.6
，
8
0.4 5
?2
1.35
，
()
?1.5
?2
1.5

2
1
∵
2
1.6
?2
1.5
?2
1.35
，∴
4
0.8
?()
?1.5
?8
0.45

2
1
2
7.求函数
y?()
x?2x
的值域及单调区间.
3
111
解：①令
t?x
2
?2x?(x?1)
2
?1
，则
t??1
，
y?()
t
，
0?()
t
?()
?1
,即
0?y?3

333
∴ 函数
y
的值域为
(0,3]
.
1
②函数
y?()
t
在R上为减函数，
3
22< br>当
x?1
时，
t?(x?1)?1
为增函数，当
x?1
时，
t?(x?1)?1
为减函数
∴ 所给函数的增区间为
(??,1]
，减区间为
[1,??)
.
< br>2xx
8．已知函数
f(x)?x?bx?c
的对称轴为直线
x??1
，且
f(0)?3
，比较
f(b)与f(a)
的大小．
提 示：若
0?a?1
，则
a
?1
?a?1
，即
a2
?a?1?0
，解得：
a?

?
b
?< br>???1
解：由题意：
?
2
，∴
b?2,c?3
，
?
?
f(0)?c?3
2
∴
f(x)?x?2x?3
，
f(x)
在
(0,??)
上单调递增．
xx
当
x?0
时，
2
x
?3
x
?0
，则
f(2 )?f(3)
；
xx
当
x?0
时，
2
x
?3
x
?1
，则
f(2)?f(3)
；
xx
当< br>x?0
时，
0?2
x
?3
x
，则
f(2)? f(3)
．


B组
2xx?1
1．设
f(x)?2?5?2?1,
它的最小值是（ ）
A．
?
19
B．
?3
B．
?
D．0
16
2
5
2
5
4
959
，当
t?
时，
y
min
??
．
16416
x
提示：设
2?t(t?0)
，得< br>y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
2．下列
f
：M→N的对应关系中,不是映射的是（C ）
A．M={α|
0??
?
?90?
} ，N=[0,1]，
f
：取正弦．
B．M={α|
0??
??90?
}，N=[－1,1]，
f
：取余弦．
1
}，
f
：取倒数．
2
D．M ={－3,－2,－1,2,3}，N={1,4,9,16}，
f
：取平方．
C．M={0,1,2}，N={0, 1,
提示：C中，0没有象．
3.函数
y?3
?x?2
的单调递增区间是（ D ）
A、
(??,??)
B、
(??,0]
C、
(2,??)
D、
(??,2]

1
提示：
y?()
|x?2|
,
t?|x?2|
的减区间
(? ?,2]
就是所给函数的增区间.答案为D．
3
4．设
0?a?1
，使不等式
a
x
2
?2x?1
?a
x
2
? 3x?5
成立的
x
的集合是
{x|x?4}

提示：∵
0?a?1
，∴ 原不等式可以化为：
x
2
?2x?1?x
2
?3x?5
，解得
x?4
．
5．若M={－1,0,1} N= {－2,－1,0,1,2}从M到N的映射满足：对每个
x
∈M恒使
x
+
f(x)
是偶数, 则映射
f
有_12__个．
提示：
M
中的元素
a
与其在
N
中的象
b
的和为偶数，故a
为偶数时，
b
为偶数，
a
为奇数时，
b
为奇 数，
故符合条件的映射的个数为
2?3?2?12
（个）
11
42
xx
解 ：由
9
x
?10?3
x
?9?0
得：
(3?1)(3?9)?0
，解得：
1?3
x
?9
, ∴
0?x?2

111
令
()
x
?t
，则
?t?1
,
y?4t
2
?4t?2?4(t?)
2
?1

24 2
1
当
t?
时，
y
min
?1
，此时，< br>x?1
；当
t?1
时，
y
max
?2
，此时 ，
x?0
．
2

7.若
a?0,b?0
，且
a?b?c
，
求证：(1)当
r?1
时，
a
r
?b
r
?c
r
；(2)当
r?1
时，
a
r
?b
r
?c
r
.
ab
ab
证明：∵
a?0,b?0
，且a+b=c，∴
??1
， ∴
0??1,0??1

cc
cc
6．已知
9
x< br>?10?3
x
?9?0
，求函数
y?()
x?1
?4 ?()
x
?2
的最大值和最小值．

a
r
? b
r
a
r
b
r
?()?()
，
c
r
cc
ab
?
a
??
b
?
（1）当r?1
时，
??
?
??
???1
，所以
ar
?b
r
?c
r
；
cc
?
c
??
c
?
rr
ab
?
a
??
b
?
（2）当
r?1
时，
??
?
??
???1
，所以
a
r
?b
r
?c
r
.
cc?
c
??
c
?
2
?m
是奇函数，求常数m的值 ； 8.（1）已知
f(x)?
x
3?1
x
（2）画出函数< br>y?|3?1|
的图象，并利用图象回答：
k
为何值时，方程|
3x
?1
｜＝
k
无解？有一解？
有两解？
x
2 2
13
解:（1）由
f(x)?f(?x)?0
得：
x
?m ?
?x
?m?0
,
m??
x
??1

3? 13?1
3?11?3
x
x
（2）当
k?0
时，直线
y?k
与函数
y?|3?1|
的图象无交点,即方程无解；
当
k?0
或
k?1
时, 直线
y?k
与函数
y?|3?1|
的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当
0?k?1
时,
直线
y?k
与函数
y?|3?1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解.
8．







x
x
rr