高中数学函数建模

函数建模
一、教学内容
教材使用版本：北京师范大学出版社
课题出处：数学必修1第四章《函数应用》第二节《实际问题的函数建模》第三课《函数建模案例》 < br>学习内容简介：在学生掌握了实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题的基础上，进一步学习
函数建模案例。本课主要学习内容是：创设问题情境，对问题进行分析讨论、收集数据、模型建立与求解、模型评价检验、练习巩固、总结升华。并且在解决问题的过程中,借助信息技术处理数据（例如画散点图、< br>解方程组等），将数学与信息技术进行整合。
二、学生分析
１．学生的认知起点：学 生已经掌握了函数的概念，掌握了二次函数、幂函数、指数函数、对数函数
等基本初等函数的图象和性质 ，对函数知识有初步的应用能力。此外，学生掌握了基本的信息技术知识，
能利用信息技术处理一些简单 的数学问题。
２．学生的学习兴趣：本课是解决与实际生活密切相关的数学问题，学生表现出浓厚的学 习兴趣，他
们的积极性和主动性都很高。
３．学生的学习障碍：学生掌握了一定的数学知识， 但应用意识、应用能力比较弱。本课恰好体现的
是数学知识的应用方面，而从数学知识到数学应用常常成 为学生学习上的障碍。
４．学生的学习难度：正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括 能力，较强的分析能
力，较好的全局运筹能力和局部处理能力，这些要求对学生的学习造成了一定的困难 。
三、设计思想
１．教育理念：高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用 价值，开展“数学建模”
的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学 生体验数学在解决实际问
题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识， 提高实践能力。
２．教学原则：教学过程中应体现学生的主体作用和教师的主导作用，倡导积极主动、 勇于探索的学
习方式。在教学过程中应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学 生运用计算机、
计算器等进行探索和发现，以达到信息技术与数学课程的有机整合。
３．教学 方法：本课是通过做实验收集数据，对数据进行分析、处理，进而建立数学模型，进行问题
解决的，所以 应采用“实践——建模”的教学方式。
四、教学目标
根据新课程标准的要求，结合学生认知结构的特点以及素质教育的要求，确定本节课的教学目标如下：
１．知识和技能
（１）把实际问题转化为数学问题，建立恰当的函数模型并求解，学会对函数 模型的评价分析，掌握
数学建模的一般过程。
（２）通过把实际问题抽象为数学问题，逐步把 数学知识应用到生产生活的实际中去，形成应用数学
的意识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的 能力。
２．过程和方法
（１）通过把实际问题转化为数学问题来解决，使学生经历和体验了 通过函数建模的方式来解决实际
问题过程。
（２）通过运用信息技术画散点图、解方程组等， 使学生认识到信息技术在解决数学问题过程中所起
到的作用和影响。
３．情感态度和价值观
（１）体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验函数与世界的密切联系，体验函数在刻画现实问题中的作用。
（２）通过实际问题的解决，培养学生科学的态度、合作的意识和实事求是的精神。

五、教学的重点和难点
１．重点：把实际问题转化为数学问题，建立恰当的函 数模型并求解，懂得对函数模型进行评价分析
的方法。
２．难点：是如何将实际问题转化为数学问题，恰当地选择数学模型，将文字语言转化为数学语言。
六、教学过程
教学
内容
课
题
引
入
教学 活动
环节 时间
创
设
情
境
2
分
钟
教师活动
陈述：现在很多家庭都以燃气
作为烧水炒菜的燃料,节约用
气是非常现实的问题。
提问：以烧开一壶水为例，怎
样烧法最省燃气？
教学活动
学生活动 因石油、天燃气等能源
短缺以及价格升高，造
成家庭燃气价格的攀
升，学生议论纷 纷。
（思考分析后）回答：
烧开一壶水所用燃气量
应该与燃气炉上控制燃
气 流量的旋钮的位置有

（赞赏地）陈述：分析的有道
设
疑
激
趣
提
出
问
题
理。我们现在要研究的问题是
3
分
钟
旋钮在什么位置时烧开一壶
水所用的燃气量最少。
提问：那么烧开一壶水所用燃
气量与旋钮位置能建立起什
么关系呢？
提问：那么旋钮位置这个量用
什么数学知识来描述比较恰
当？
陈述：设想， 当旋钮转角非常
小时，燃气流量也非常小，甚
至点火后的热量不足以将一
壶水烧开，如 果一直烧下去，
讨
论
与
交
流
燃气量将无止境；随着旋钮转
分
析
问
题
5
分
钟
角增大，即燃气流量增大，烧
开一壶水所用燃气量会有所
在 减小；当旋钮转角很大时，
燃气流量会很大，但燃气不一
定充分燃烧，过分的热量不能
充分作用于水壶，会产生浪
费，烧开一壶水所用的燃气量
也会比较大。
回答：可用角度来描述。
具体来说可用旋钮转角
的大小来表示。
思考 了解燃
气炉的
特性，为
后面的
试验作
理论上
的铺垫。
关。
回答：烧开一壶水所用
燃气量与旋钮位置应该
能建立起函数关系。
设计
意图
提出实
际情境，
引发学
生思考。
提出问
题，培养
让学生
分析问
题的能
力。

提问：同学们知道燃气炉上旋
钮位置与火力的关系吗？
回答：燃气炉上旋钮转
角越大火力越大，当旋
钮转角为90°时火力
最大。
陈述：因此我们在做试验时旋
钮转角不妨选择为18°、
36°、54°、72°、9 0°。

陈述：我们做试验时记录相关
数据如下
位置
18°
36°
54°
72°
90°
收
集
数
据
归
纳
与
猜
想
10
分
钟
燃气量（m）
0.130
0.122
0.139
0.149
0.172
3
观察、思考

回答：还不能。因为旋
钮在其它位置时烧开一
壶水所用的燃气量不知
道。
培养培
养学生
实际操
作能力
和数据
处理能
力。
提问：观察以上数据，你能得
出旋钮转角为多少时烧开一
壶水所用燃气最小吗？
提问：那么你能不能根据以上
数据得出任意位置与燃气量
的关系吗？
回答： 我们可以假设以
位置为横坐标，相应燃
气量为纵坐标的点均在
某个函数图像上，进而< br>求这个函数的解析，即
得到位置与燃气量的函
数关系。
提问：那么这个函数怎样选择
呢？
利用信息技术作出散点图如
下：
回答：画散点图，观察
散点的分布特点就可以
选择函数模型了。
回答：从散 点图看出随
着旋钮角度的增大，燃
气用量有一个从大到小
又从小到大的过程，二
10
分
钟

提问：请同学们观察散点的分
布特点，选择那一种函数模型
比较合理？
次函数的图像与之最接
近，可以用二次函数近
似地表示这种变化。
渗透数< br>形结合
的思想，
培养学
生观察、
归纳的
能力。
模
型
建
立
与
求
解
操
作
与
探
究

提问：设二次函数式为回答：取三对数据代入< br>表达式，列出方程组即
可求得系数。
运用信息技术解方程
组。
y?ax
2
?bx?c
，如何求出
表达式中的系数？
陈述 ：不妨取(18,0.130)、
(36,0.122)、(90,0.172)，得
到方程组
?
18
2
a?18b?c?0.130
?
2
?36?36b?c?0.122

?
90
2
?90b?c?0. 172
?
解得
a?
0.00002，
b??
0.00147，
c?
0.15033
所以函数的解析式为
y=0.00002x-0.00147x

+0.15033
陈述：上面的二次函数当运用信息技术计算二次
函数的最小值。
2
x
0
?39
时有最小值
3
（m），所以当旋y
0
?0.1218
钮转角大约为39°时烧开一
壶水所用的燃气量最小 。
提问：这个函数模型能反映旋
钮在任何位置时烧开一壶水
所用的燃气量吗？
探
模
型
评
价
检
验
究
发
现
，
揭
示
本
质
5
分
钟
提问：那该如何纠正这个函数
模型？
回答：不能。前面分 析
当旋钮转角非常小时，
其火力不能将一壶水烧
开，长时间燃烧的燃气
量却非 常大，这说明贴
近纵轴的点的位置就会
很高，不在这个二次函
数的图像上。
回答：我们的试验是在
旋钮转角18°至90°
这个范围内进行的，因
此函数模型只适 用旋钮
转角在18°至90°这
个范围。
培养学
生透过
现象揭
示本质
的能力。

陈述 ：我们应当再做一次试
验，取旋钮转角为39°位置
烧开一壶水，测量实际燃气用
量是 不是0.1218 m，如果基
本吻合，就可以依此作结论
了。如果相差较大，特别是燃
气用量大于0.122 m时（实验
数据中的最小值），说明三对
数据取得不好，可以换另外 的
数据重新计算，然后再检验，
直至结果与实际比较接近就
可以了。
3
3
思考反思 培养学
生科学
的态度
和实事
求是的
精神。
练习：某地区今 年1月，2月，借助信息技术动手计算
3月患某种传染病的人数分别
为52，61，68。为了 预测以
后各月的患病人数，甲选择了
练
习
巩
固
深
化
理
解
3
分
钟
模型
y?ax
2
?bx?c
，乙选
择了模型
y?pq
x
?r，其中
进行对比。
深化函
数建模
的构建
和求解。
y
为患病人数，
x
为月份，
a,b,c,p,q,r
都是常数。结果< br>4月，5月，6月份的患病人
数分别为74，78，83，你认
为谁选择的模型较好？
数学建模的过程可用如下的
框图来表示：
思考反思 培养学
生注重
提炼方
法的习
数
学
建
模
的
一
般
过
程
总
结
升
华
2
分
钟
惯，把经
验内化
为能力。

七、学习评价表

评价等级
评价内容
优
角色意识强，主
兴趣浓厚
动参与课堂交
流，表达有见
解。
情感
参与
轻松愉快
师生之间配合
密切、和谐。
勇于表达自己
的见解，虚心学
合作交流
分享相互交流
的精华。
积极参与
讨论
积极参与
解答
在活动中具有
理性质疑、科学
探究的品质。
积极主动对有
关数据进行思
考和运算。
积极主动运用
积极参与
操作
信息技术进行
数据处理,操作
熟练。
对实际问题的
对问题的
分析评价
抽象概括能力
强，转化为数学
问题的能力高。
认知
参与 对数据的
选择预测
积极搜集数据，
能理性地思考
问题，有思辨
力；观点有创新
性。
对假设的
推理论证


逻辑性强，思维
严密，科学性
好。
对问题进行质
疑和探究时比
较积极主动。
较主动对有关
数据进行思考
和运算。
主动运用信息
技术进行数据
处理。操作较熟
练。
对实际问题的
抽象概括能力
较强，转化为数
学问题的能力
较强。
有能力搜集数
据，观点有一定
的深度，比较理
性。
逻辑性较强，思
维较严密，科学
性较好。
有一定的质疑
和探究。
对有关数据能
进行思考和运
算。
被动地运用信
息技术进行数
据处理。
对实际问题有
一定的抽象概
括能力，能转化
为数学问题。
对实际问题的
抽象概括能力
较弱，不能转化
为数学问题。
基本不操作。
基本不解答。
基本不思考。
积极沟通，同时
观点。
习别人的经验，能表达自己的
与别人有一定基本上没有交
良
有一定的角色
意识，能够参与
课堂交流。
师生之间配合
比较密切、和
谐。
中 差
角色意识一般，没有角色意识，
被动地参与课
堂交流。
师生之间配合
不够密切、和
谐。
不参与课堂交
流。
师生之间不配
合。
的交流与沟通。 流与沟通。
行为
参与
观点有个性，但
缺乏思辨力和
理性。
逻辑性较强，思
维较严密，有一
定的科学性。
自己不做准备，
人云亦云。
逻辑性不强，思
维不严密，没有
科学性。