高中数学函数知识点梳理复习资料

高中数学函数知识点梳理复习指导
1. .函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x< br>1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
? 0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x )
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)< br>为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函 数.
注：如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数,则在公共定义 域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减
函数;如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]< br>是增函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x1
)?f(x
2
)
?
?0
?
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数 的图象关
于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数
y?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(? x?a)
；若函数
y?f(x?a)
是偶
函数，则
f(x?a)?f (?x?a)
.
注：对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
函 数
x?
a?ba?b
;两个函数
y?f(x?a)
与
y?f (b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
a
注：若< br>f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(, 0)
对称;若
2
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)< br>为周期为
2a
的周期函数.
nn?1
3. 多项式函数
P( x)?a
n
x?a
n?1
x??a
0
的奇偶性
多 项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数 全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次 项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x) ?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y? f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?mx)?f(b ?mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.

(2 )函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f(x)
和
y?f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y ?f(x?a)?b
的图
象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图
象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
27.若函数
y?f (kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
?1
[f(x)?b ]
,并不是
k
y?[f
?1
(kx?b)
,而函数
y?[f
?1
(kx?b)
是
y?
1
[f(x)?b]的反函数.
k
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x) ?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数 函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f( x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x< br>,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y) ?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
?
'
x
f(0)?1, lim
x?0
g(x)
?1
.
x
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
1
(f(x)?0)
，
f(x)
1
或
f(x?a)??
(f(x)?0)
, f(x)
1
2
或
?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)?< br>?
0,1
?
)
,则
f(x)
的周期T=2a；
2
1
(f(x)?0)
，则
f(x)
的周期T=3a； ( 3)
f(x)?1?
f(x?a)
f(x
1
)?f(x
2< br>)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
且
f (a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
? x
2
|?2a)
，则
1?f(x
1
)f(x
2)
f(x)
的周期T=4a；
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T=5a；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则f(x)
的周期T=6a.
或
f(x?a)?
8. 分数指数幂 < br>(1)
a
(2)
a
m
n
?
?
1n
?
m
n
a
m
1
m
n
（a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
?
a

9. 根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
10. 有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rs
r
rsr ?s
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
p
注：若a ＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适 用.
33.指数式与对数式的互化式
rr
rs
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
n
推论 log
a
m
b?log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1,

N?0
).
m
log
a
N?
11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
M
?log
a
M?log
a
N
;
Nn
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
.
(2)
log
a
2
2
注：设函数
f(x)? log
m
(ax?bx?c)(a?0)
,记
??b?4ac
.若< br>f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
，且
??0
;若
f(x)
的值域为
R
,则
a?0
，且
??0
.对于
a?0
的情形,需要
单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
11
(1)当
a?b
时,在
(0,)
和
(,??)
上
y?log
ax
(bx)
为增函数.
aa
11
(2)(2)当
a?b
时,在
(0,)
和
(,??)
上y?log
ax
(bx)
为减函数.
aa
若
a?0< br>,
b?0
,
x?0
,
x?
推论:设
n?m? 1
，
p?0
，
a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
（2）
log
a
mlog
a
n?log
a

2
m?n
.
2