高中数学视频课程-高中数学中的否命题
函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法,
本文重点研究函数的解析式的表达形式
与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式,例
一次函数:
y?kx?b
(k?0)
二次函数:
y?ax
2
?bx?c
(a?0)
反比例函数:
y?
k
(k?0)
x
正比例函数:
y?kx
(k?0)
2、分段式
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用n个式子来表示函数,这种形式
的函
数叫做分段函数。
?
2
?x
,x?
?
??,
1
?
1
例1、设函数
f(x)?
?
,则满足
f(x
)?
的x的值
4
?
log
81
x,x?
?
1,??
?
为 。
1
得,
x?2
,与
x?1
矛盾;
4
1
当
x?
?
1,??
?
时,由
log
81
x?
得,
x?3
。
4
∴
x?3
解:当
x?
?
??,1
?
时,由
2
?x
?
3、复合式
若y是u的函数,u又是x的函数,即
y?f(u),u?g(x),x?(a,b)
,那么y关于x
的函数
y?f
?
g(x)
?
,x?
?
a,b
?
叫做f和g的复
合函数。
例2、已知
f(x)?2x?1,g(x)?x?3
,则
f
?
g(x)
?
?
,
g
?
f(x)
?
?
。
2
解:
f
?
g(x)
?
?2g(x)?1?2(x?3)?1?2x
?7
22
g
?
f(x)
?
?<
br>?
f(x)
?
?3?(2x?1)
2
?3?4x
2<
br>?4x?4
2
二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式,常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方
程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求
出系数。
例3、已知二次函数
y?f(x)
满足
f(x?2)?f(?
x?2),
且图象在
y
轴上的截距为1,
被
x
轴截得的线段
长为
22
,求函数
y?f(x)
的解析式。
分析:二次函数的解析式有三种形式:
①
一般式:
f(x)?ax
2
?bx?c
②
顶点式:
f(x)?a(x?h)
2
?k
(a?0)
其中a?0,点
?
h,k
?
为函数的顶点
其中a?0,x
1
与x
2
是方程f(x)?0的两根
③
双根式:
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
解法1:
设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,则
由
y
轴上的截距为1知:
f(0)?1
,即c=1 ①
∴
f(x)?ax
2
?bx?1
由f(x?2)?f(?x?2)
知:
a(x?2)
2
?b(x?2)?1
?a(?x?2)
2
?b(?x?2)?1
整理得:
(4a?b)x?0
, 即:
4a?b?0
②
由被
x
轴截得的线段长为
22
知,
|x
1
?x
2
|?22
,
22
即
(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?8
.
得:
(?)?4
b
a
2
1
?8
.
a
整理得:
b?4a?8a
③
由②③得:
a?
22
11
,b?2
, ∴
f(x)?x
2
?2x?1
.
22
解法2:由
f
(x?2)?f(?x?2)
知:二次函数对称轴为
x??2
,所以设
f(x
)?a(x?2)
2
?k(a?0)
;以下从略。
解法3:由
f(
x?2)?f(?x?2)
知:二次函数对称轴为
x??2
;由被
x
轴截得的线段
长为
22
知,
|x
1
?x
2
|?22
;
易知函数与
x
轴的两交点为
?
?2?2,0,
?2?2,0
,所以设
???
f(x)?a(x?2?2)(x?2?2)
2
、换元法
例4、已知:
f(1?
(a?0)
,以下从略。
11
)?
2
?1
,求
f(x)
。
xx
解:设
t?1?
11
,则
t?1
,<
br>x?
,代入已知得
xt?1
f(t)?1
?
1
?
??
t?1
??
2
?1?(
t?1)
2
?1?t
2
?2t
∴
f(x)?x
2
?2x(x?1)
注意:使用换元法要注意
t
的范围限制,这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法
11
)?x
2
?
2
,求
f(x)
。
x
x
111
22
解:
f(x?)?x?
2
?(x?)?2
xx
x
例5、已知:
f(x?
∴
f(x)?x
2
?2(x?2或x??2)
注意:1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制;
2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用
配凑法求解析式。
4、赋值(式)法
例6、已知函数
f(x)
对于一切实数
x,y<
br>都有
f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x
成立,
且
f(1)
?0
。
(1)求
f(0)
的值;
(2)求
f(x)
的解析式。
解:(1)
取
x?1,y?0
,则有
f(1?0)?f(0)?(1?0?1)1
?
f(0)?f(1)?2?0?2??2
(2)取
y?0
,则有
f(x?0)?f(0)?(x?0?1)x
.
整理得:
f(x)?x?x?2
5、方程法
例7、已知:
2f(x)?f
??
?3x,
2
?
1
?
?
x
?
(x?0)
,求
f(x)
。
解:已知:
2
f(x)?f
??
?3x,
?
1
?
?
x
?
①
1
13
去代换①中的
x
得
:
2f()?f(x)?
②
x
xx
1
(x?0)
.
由①×2-②得:
f(x)?2x?
x
用
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