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高中数学函数的思想方法学法指导

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:46
tags:高中数学函数

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函数的思想方法

孟兆福 杨继

函数的思想方 法就是运用运动和变化的观点,集合和对应的思想,去分析问题的数量
关系,通过类比、联想、转化合理 地构造函数,运用函数的图象和性质,使问题获得解决。
函数的思想方法,是最重要的、最基本的数学思 想方法之一,它是贯穿于整个高中数学的
一条主线.作为函数这一章的小结与复习,下面运用函数的思想 方法来研究一些问题。
一、利用函数的定义域和值域:分离参数,视参数为变元的函数,转化为变元的 定义域或
值域求解。
例1. 已知方程
ax
2
?2(2a?1 )x?4a?7?0
中,a为正整数,问a取何值时,方程至少有
一个整数根。
分析:用求根公式解出x,讨论x的整数值,将十分繁难。“反客为主”视参数为变元
的函数来试试。
解:将原方程改写为
a(x?2)
2
?2x?7
。由于
x? ?2
时,上式不成立。故
2x?7
a?(x??2)

(x ?2)
2
若要a为正整数,则须
2x?7?(x?2)
2
。解得?3?x?1(x?Z,且x??2)

所以x只能在
?3,?1,0,1中取值,代入①中,可知仅当
x??3,?1,1
时,能保证a为正整
数,此时< br>a?1或a?5
。故当a为1或5时,原方程至少有一个整数根。
4(a?1)(a? 1)
2
2a
?0
都成
?2xlog
2
?log2
例2. 设对于任意实数x不等式
xlog
2
2
aa?14a
立,求实数a的取值范围。
8(a?1)
a?1a?1
解:原不等 式化为
x
2
lo
2
g?2xlo
2
g?2lo2
g?0
。即
2a2a2a
a?1
2
,得
3x
2
?(log
2
)(x?2x?2)?0,由x
2
?2x? 2?(x?1)
2
?1?0
2a
a?1?3x
2
?3x2
,构造函数
f(x)?
,则
f(x)?0
,因为对于任意实数 x
l
2
?og
2a
(x?1)
2
?1(x?1)< br>2
?1
2
原不等式都成立,不妨取
f(x)?0
,故
log
2
a?1a?1
?0
,即
?1
,解得
0?a ?1

2a2a
例3. 函数
f(x)?log
2
x?1 (x?4)
的反函数
f
?1
(x)
的定义域是什么?
解: 要求反函数的定义域,可以转化为求原函数的值域。由
x?4
,得
log
2< br>x?2,log
2
x?1?3

所以
f(x)
的值 域为
[3,??)
,从而
f
?1
(x)
的定义域为
[3,??)


二、利用函数的单调性:有些数学问题,若能与函数的单调性联系 ,常能获得简捷、直观
的解法。
例4. 解方程:
3
y?5
5x?2y
?5
y?5
?2

5x?2y
解:由
y?a
x
(a?1)
在R上是增函数,且
5x?2y?0,y?5?0
,得
3?3
0
?1

5?5
0
?1
,当且仅当
5x?2y?0且y?5?0
时取等号。解 之得:
x?2,y?5
为原方
程的解。

三、利用函数的奇偶性: 利用奇偶性可把高次式转化为一次式,也可使求解问题避开复杂


的讨论。
例5. 已知
(4x?y)
7
?x
7
?5x?y?0
,求< br>5x?y
的值。
解:条件等式可变形为
(4x?y)
7
?(4x?y)??(x
7
?x)

构造函数
f(x)?x
7
?x
,上式转化
f(4x?y)??f( x)
,由
f(x)
是奇函数,可得
f(4x?y)?f(?x)

根据
f(x)
在R上单调递增,对应法则f是一一对应的,可得
4x?y?? x
,所以
5x?y?0


四、利用二次函数的性质:巧妙构造二 次函数,使本来复杂的问题,转化为二次函数的简
单的问题。
(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)
???1
例6. 求证:
(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)
分析:若将 左边直接通分化简,计算量大。但其每一项均为x的二次式,且轮换对称,
可构造辅助函数。
(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)
???1
,则
f( x)
是二证明:构造函数
f(x)?
(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b ?c)(b?a)
次函数。
f(?a)?0,f(?b)?0,f(?c)?0
,且由 定义域知:a,b,c互不相等。这说明二次函

f(x)
至少有三个不同的零点而二 次函数最多与x轴有两个交点,即最多只有两个零点。
所以
f(x)?0
。故原等式成 立。
例7. 若a,b,c,d,e均为实数,且满足条件
a?b?c?d?e?8,a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?e
2< br>?16

试确定e的最大值。
解:构造函数
f(x)?4x
2
?2(a?b?c?d)x?(a
2
?b
2
?c
2
?d
2
)
。由
f(x)?(x?a)
2
?


??4(a?b?c?d)
2
?16(a
2
?b2
?c
2
?d
2
)?0
。又由
(x?b)2
?(x?c)
2
?(x?d)
2
?0

已知
a?b?c?d?8?e,a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?16?e
2
,即得
(8?e)
2
?4(16? e
2
)?0
,解得
0?e?
16
16
,故e的最大 值为。
5
5
点评:以上各例道理都很简单,但构造函数却很巧妙,要结合题目的实际 条件进行构
造。
练习题
1. 已知
log
a
x??1
有实数解,求参数a的取值范围。
2x?
x
2. 已知
f(x)
的定义域关于原点对称,求证:< br>f(x)
可以用一个奇函数与一个偶函数的和表示.
并试用
e
x
构造一个奇函数与一个偶函数.
3. 若方程
x
2
?(m?1)x?4?0
的两个根都比1大,求m的取值范围.
参考答案
1.
(??,?1)?(?1,1)

1
x
1
(e?e
?x
)
为偶函数,
y?(e
x?e
?x
)
为奇函数;
22
3.
(?6,?5]

2.
y?




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