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高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:46
tags:高中数学函数

各种高中数学竞赛-高中数学椭圆基础知识大全


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函数的值域与最值
【基本概念】
求函数最值的基本方法:
1、配方法(二次函数)
2、分离常数法(分式函数)
3、反函数法(分式函数)
4、基本函数性质法
5、换元法[换元必换限](无理函数、高次函数等)
6、基本不等式法(耐克函数)
7、单调性法(单调区间上的值域与最值)
8、数形结合法
【典型例题】
例1:求下列函数的值域。
(1)
y?
2x?1

2x?1
(2)
y?lg
?
1?2cosx
?

(3)
y?2x?2x?1

x
2
?2x?1
(4)
y?

x?1
(5)
y?lgx?x
2
?6x
?
1?x?2
?

(6)
y?
3?sinx

2?cosx< br>2x?12x?1?22
??1??1?y?
?
??,1
?
?
?
1,??
?

2x?12x?12x?1
2x?1y?1
?
?
2y?2
?
x??1?y?x???y?1
[解二]反函数法:
y?
2x?12y?2
解:(1)[解一]分离常数法:
y?
(2)基本函数性质法:
cosx?
?
?1,1
?
?1 ?2cosx?
?
?1,3
?

1?2cosx?0
?1?2cosx?
?
0,3
?
?y?
?
??,lg3
?

(3)换元法:令
t?2x?1?0
,则
2x?t2
?1

?
1
?
3
y?2x?2x?1?t? 1?t?
?
t?
?
?又t?0?y?
?
1,??
?

?
2
?
4
2
2
(4)基本不等式法:令
t?x?1?0
,则
x?t?1?y?

t?0
时,
y?2t?
?
t?1
?
2
?2
?
t?1
?
?1
t
?t?
4
?4

t
4
? 4?0
,当且仅当
t?2

x?1
时取等号
t
- 1 -


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t?0
时,
y??2t?
4
?4 ??8
,当且仅当
t??2

x??3
时取等号
t

y?
?
??,?8
?
?
?
0,??
?

(5)单调性法:
y
1
?lgx

?
1 ,2
?
上单调增且
y
2
??x
2
?6x

?
1,2
?
上单调增
?y?y
1
?y
2

?
1,2
?
上单调增
?y?
?
5,8? lg2
?

(6)数形结合法:设
P
?
cos
?< br>,sin
?
?

Q
?
2,3
?
,则
k
PQ
?

y?3?k
?
x?2
?
?
3?2k
3?sinx
?y

2?cosx
??
2323
?
2323
?

y?
?
2??1?k?
?
2?,2?,2?
??

2
3333
k?1????
例2:函数
f
?
x
?
?ax?2a?1
在区间
?
?1,1
?
上的值有正有负,求实数a的取值范围。
解:令
f
?
x
?
?ax?2a?1?0

①若
a?0?f
?
x
?
?1
显然不符题意
②若< br>a?0?x?
?2a?1?2a?11
??
??1??1?a?
??1,?
?

aa3
??
1
??
∴综上所述,
a?
?
?1,?
?

3
??
例3:已知函 数
f
?
x
?
?tx?
1?x
?
t?0?

g
?
t
?

f
?
x?

?
0,1
?
上的最小值,求函数
g
?t
?
的最
t
大值并画出
g
?
t
?的图象。
1
?
1
?
解:
f
?
x?
?
?
t?
?
x?

t
?
t
?
11

t??0
t?1
时,
f
?
x
?

?
0,1?
上递增
?g
?
t
?
?f
?
0
?
?

tt
1

t??0

t ?1
时,
f
?
x
?
?1?g
?
t
?
?1

t
1

t??0

0? t?1
时,
f
?
x
?

?
0,1
?
上递减
?g
?
t
?
?f
?
1
?
?t

t
?
?
t,0?t?1
?
∴综上所述,
g
?
t
?
?
?
1,t?1

?
1
?
,t?1
?
t
图象如图5-1所示 ,由图象可知
g
?
t
?
max
?1

例4:根据下列条件,求实数a的值。
(1)函数
y??x< br>2
?2ax?1?a
在区间
?
0,1
?
上有最大值2 ;
图5-1
- 2 -


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(2)函数
y?ax
2
?4a x?3
在区间
?
?4,2
?
上有最大值7;
(3)函数
y?ax
2
?
?
2a?1
?
x?1在区间
?
?
3
?
?
?
2
,2
?
?
上有最大值3。
解:(1)
y??x
2
?2ax?1 ?a??
?
x?a
?
2
?a
2
?a?1

①若
a?0

y
max
?f
?
0
?
?1?a?2?a??1
符合题意
②若
0?a?1

y
max
?f
?
a
?
?a
2
?a?1?2? a?
1?5
2
均不符题意(舍)
③若
a?1

y
max
?f
?
1
?
??1?2a?1?a?3?a?3符合题意
∴综上所述,
a??1

a?3

(2)< br>y?ax
2
?4ax?3?a
?
x?2
?
2
?3?4a

①若
a?0

y?3
不符题意(舍)
②若
a?0

y
?
2
?
?16a?3?4a?7 ?a?
1
max
?f
3
符合题意
③若
a?0
y
max
?f
?
?2
?
?3?4a?7?a ??1
符合题意
∴综上所述,
a??1

a?
1
3

2< br>2
(3)
y?ax
2
?
?
2a?1
?
x?1?a
?
?
2a?1
?
?
x?
2a
?
?
?1?
?
2a?1
?
4a

①若y?f
?
?
?
?
3
?
2
?
9 32
7
max
?
?
4
a?3a?
2
?1? 3?a??
3
此时对称轴
x??
4
符合题意
②若
y
max
?f
?
2
?
?4a?4a?2?1?3?a?1
2
此时对称轴
x?0
符合题意
2
③若
y? f
?
?
?
?
2a?1
?
?
2a?1
?
2a
?
?
?1?
4a
?3?a??
1
max
2
此时对称轴
x??2
不符题意
∴综上所述,
a? ?
2
1
3

a?
2

例5:已知函数f
?
x
?
?
3
4
x
2
?3x ?4
在区间
?
a,b
?
上的值域为
?
a,b
?
,求实数a、b的值。
解:
f
?
x
?
?
3
2
3
4
x?3x?4?
4
?
x?2
?
2
?1

①区间
?
a,b
?
在直线
x?2
左侧时,
f
?
x
?

?
a,b< br>?
上递减
?
3

?
?
?
4
a
2
?3a?4?b
?a?b?
4
(舍)
?
3
?
?4
b
2
?3b?4?a
3
- 3 -


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②区间
?
a,b
?
在直线
x?2< br>右侧时,
f
?
x
?

?
a,b
?< br>上递增
?
3
2
4
a?3a?4?a
?
?< br>?
4
?
a??2
?
?

?
(舍)
3
3
?
b
2
?3b?4?a
?
?
b?4
?
?4
③直线
x?2
落在区间
?
a,b?

?
?a?f
?
2
?
?1
?1
?
?
?
?
b?f
?
b
?
? b?
4
(舍)或b?4
?
?
?
a?1
3
?
?

?
??
b?4
?
?
?
a?f
?
2
?
?1
?
?
?
2
?
?
?
b?f
?
a
?
?b?
7
(舍)
?
?4
?
∴综上所述,
a?1

b?4

例6:对于函数
f
?
x
??
x?D
?
若同时满足 以下条件:①
f
?
x
?
在D上单调递增或单调递减;
②存在 区间
?
a,b
?
?D
,使
f
?
x
?

?
a,b
?
上的值域是
?
a,b
?< br>,则称函数
f
?
x
??
x?D
?

“闭函数”。
(1)求“闭函数”
y??x
3
符合条件②的区间< br>?
a,b
?

(2)函数
y?2x?lgx
是不是 “闭函数”?若是,请求出区间
?
a,b
?
;若不是,
请说明理由;
(3)若函数
y?k?x?2
是“闭函数”,求实数k的取值范围。
?
?a
3
?b
?
?
a??1
解:(1)
y??x
3
在D上单调递减,则
?
?b
3
?a?
?
即区间
?
a,b
?

?
?1,1
?

b?1
?
?
a?b
?
?
?
1
?
f
??
?2.02
?
?
100
?
??
(2)
f
?
1
?
?2
?
?y?2x ?lgx
不是单调函数,故不是“闭函数”
?
f
?
10
?
?19
?
?
?
(3)由题意知方程
x?k?x?2
有两个不同的实数解
9
?
???4k
2
?4k?1?4
?
k
2
?2
?
?0?k??
?
4
?
?
9
?
?k?
?
?,?2
?

?
又x?k?x?2?0?k?x
?
?
?
4
?
?
?k ??2
?
?
x??2
?
?
?
- 4 -


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例7:已知a为实数,函数
f
?
x
?
?x
2
?x?a?1
?
x?R
?

(1)讨论
f
?
x
?
的奇偶性;
(2)求
f
?
x
?
的最小值。
解:(1)当a?0

?f
?
?x
?
?f
?
x?
?f
?
x
?
为偶函数

a?0

?f
?
a
?
?a
2
?a

f?
?a
?
?a
2
?2a?1?f
?
a
?
?f
?
x
?
不具有奇偶性
1
?
3?
①当
x?a

f
?
x
?
?x?x? a?1?
?
x?
?
?a?

2
?
4
?
2
2
1
,则
f
?
x
?
?
??,a
?
上单调递减
?f
?
x
?
min
?f
?
a
?
?a
2
?1

2
1
?
1
?
3

a?
,则
f?
x
?
min
?f
??
??a?f
?
a
?

2
?
2
?
4

a?
1
?
3
?
②当
x?a

f
?
x
?
?x?x?a?1?
?
x?
?
?a?

2
?
4
?
2
2
1
?
1
?
3

a??
,则
f
?
x
?
min
?f
?
?
?
??a?f
?
a
?

2
?
2
?
4
1

a??
,则
f< br>?
x
?

?
a,??
?
上单调递增
?f
?
x
?
min
?f
?
a
?
? a
2
?1

2
1
?
3
?a,a??
?
42
?
11
?
?
?
a
2
?1 ,??a?

22
?
31
?
?
a?
4,a?
2
?
∴综上所述,
f
?
x
?
m in
【一讲一练】
一、填空题(每空格4分,共40分)
1、求下列函数的值域: (1)
y?
?
1
?
(2)
y?
??
?2
?
?x
2
?2x
2?x
?
x?
?< br>?1,1
?
?

2?x
;(3)
y?3?5x?2x
2

x
2?2x?2
(4)
y?log
2
x?log
x
?
2x
?
;(5)
y?
x
2
?1
2、函数
f
?
x
?
??x< br>2
?2ax?1?a

x?
?
0,1
?
时有 最大值2,则
a?

3、已知函数
y?x
2
?2x?3
在区间
?
0,m
?
上的最大值为3、最小值为2 ,则实数m的取值范
围是 。
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4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪 生函数”,
那么函数
f
?
x
?
?2x
2
? 1
,且值域为
?
19,3
?
的“孪生函数”共有 个。
5、若函数
f
?
x
?
?lg
?
1? a
2
x
2
?
?
1?a
?
x?1
?
的定义域为R,则实数m的取值范围
??
是 。
6、若 函数
f
?
x
?
?ax?blog
2
??
?
x?
2

?
??,0
?
上有最小值
?3< br>(a、b为非零常
x?1?1
?
数),则函数
f
?
x
?

?
0,??
?
上的最大值为 。
二、选择题(每小题4分,共16分)
1
?
1
?
7、若函 数
f
?
x
?
的值域是
?
,3
?
, 则函数
F
?
x
?
?f
?
x
?
?< br>的值域是( )
2
fx
??
??
?
38??
10
??
10
?
?
8
?
(A)< br>?
?,
?
(B)
?
2,
?
(C)
?
2,
?
(D)
?
?2,
?

3
??
23
??3
??
?
3
?
2
?
?
x,x?18、设函数
f
?
x
?
?
?

g
?
x
?
是二次函数,若
f
?
?
g
?x
?
?
?
的值域是
?
0,??
?
,则
g
?
x
?

x,x?1
?
?
值域 是( )
(A)
?
??,?1
?
?
?
1, ??
?
(B)
?
??,?1
?
?
?
0,??
?
(C)
?
0,??
?
(D)
?
1,??
?

?
a,a?b
9、对
a,b?R
,记
max
?
a,b
?
?
?
,函数
f
?
x
?
?max
?
x?1,x?2
?
?
x?R
?
的最小值是
b,a?b
?
( )
(A)0 (B)
13
(C) (D)3
22
10、若函数
f
?< br>x
?
?x
2
?ax?5
对于任意t都有
f
?
t
?
?f
?
?4?t
?
,且在区间
?m,0
?
上有最大值
5、最小值1,则实数m的取值范围是( )
(A)
?
??,?2
?
(B)
?
?2,0
?
(C)
?
?4,?2
?
(D)
?
?4,0
?

三、解答题(共44分)
11、(本大题有2小题,第1小题4分,第2小题4分,共8分)
已知函数
f?
x
?
?lgmx
2
?4x?m?3

(1)若
f
?
x
?
的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)若
f
?
x
?
的值域为R,求实数m的取值范围。
12、(本大题有2小题,第1小题5分,第2小题5分,共10分)
??
1
1
2
已知函数
f
?
x
?
?2
?
log
2
x
?
?2alog?b
,且当
x?
时有最 小值
?8

x
2
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(1)求
f
?
x
?
的解析式;(2 )求
f
?
x
?
?0
的解集。
13、(本大题有2小题,第1小题4分,第2小题8分,共12分)
已知函数
f
?
x
?
?xx?2

(1) 解不等式
f
?
x
?
?3
;(2)求
f
?< br>x
?
在区间
?
0,a
?
?
a?0
?
上的最大值。
14、(本大题有3小题,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分,共14分)
对于定 义域为D的函数
f
?
x
?
,如果满足存在区间
?
a ,b
?
?D
使得
f
?
x
?

?< br>a,b
?
的值域

?
ka,kb
?
k?N< br>*
,那么函数
f
?
x
?
叫做
?
a, b
?
上的“k级矩形”函数。
(1)设函数
f
?
x
?
?x
3

?
a,b
?
上的“1级矩形”函数, 求常数a、b的值;
??
1
?
x??2
?
在区间
?
a,b
?
上是“k级矩形”函
x?2
数?若存在,求出常数a、b 、k的值,若不存在,请说明理由;
(2)是否存在区间
?
a,b
?
使函数
g
?
x
?
?
(3)设函数
h
?< br>x
?
??2x
2
?x

?
a,b
?
上的“3级矩形”函数,求常数a、b的值。
【参考答案】
?
72
?
?
1
??
1
?
1、(1)
?
,3?
(2)
?
,??
?
(3)
?
0,
?

32
4
????
??< br>?
3?53?5
?
(4)
?
??,?1
?
?
?
3,??
?
(5)
?
,
?
2、
?1或2

22
??
3、
?
1,2
?
4、9 5、
?
0,2
?
6、5
7、A 8、C 9、C 10、B
?
?
m?0
11、解:(1)定义域为R
?
?< br>?m?
?
4,??
?

??16?4mm?3?0
??
?
?
(2)值域为 R
?g
?
x
?
?mx
2
?4x?m?3
取 遍一切正数

m?0

g
?
x
?
??4x?3
的值域为R符合题意
?
m?0
m?0
?< br>??
?
?
?
2
?
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m?0

?
?
4
gx?0
g???m?3?0< br>??
?
?
min
?
?
m
?
m
?
??

m?
?
0,4
?
< br>12、解:(1)令
log
2
x?t?R
,则
x?2
t
?0

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2
2
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?
a
?
a
?
a
?f
?
x
?
?2t?2at?b?2
?
t?
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?
?
?1??0
?
a??2
??
2
2
?
2
?

??
??
2
?
b??6
a
1?
??
当x?即t??1 时f
?
x
?
min
??8
??
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2?
?2
2

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?
x
?
?2
?
log
2
x
?
?4log
2
x? 6

2
(2)
f
?
x
?
?0?2t?4t ?6?0?t?
?
??,?3
?
?
?
1,??
?< br>?
?
?
1
?

?x?
??
0,
?
?
?
2,??
?

t
?
8
?
x?2
?
?
2
13、解:(1)
x?2?x
2
?2x?3?x?
?
2,3
?
?
?< br>?
?x?
?
??,3
?

x?2??x
2< br>?2x?3?x?
?
??,2
?
?
?
(2)函数图象如图5-2所示

0?a?1
时,
f?
x
?

?
0,a
?
上递增
?f?
x
?
max
?f
?
a
?
??a2
?2a


1?a?1?2
时,
f
?
x
?
max
?f
?
1
?
?1

?
上递增
?f
?
x
?
?f
?
a
?
?a
2
?2a

1?2,a

a?1?2
时,
f
?
x
?

?
max
??
∴ 综上所述,
f
?
x
?
max
?
?a
2?2a,0?a?1
?
?
?
?
1,1?a?1?2
< br>?
2
?
?
a?2a,a?1?2
14、解:(1)∵
f
?
x
?
?x
3

?
a,b
?< br>上单调递增
?
?
?
f
?
a
?
,f< br>?
b
?
?
?

图5-2
?
?f
?
a
?
?a

f
?
x
?< br>?x
3

?
a,b
?
上为“1级矩形”函数
?
?

?
?
f
?
b
?
?b
?
a、b是
f
?
x
?
?x
的两个不等实根 ?
a??1
?
a?0
?
a??1

?

?

x
3
?x?x??1或0或1?
?

?
b?0
?
b?1
?
b?0
(2)假设存在a、b、k使
g
?
x
?
?
则有
?2?a?b

1
?
x??2
?
在区间
?
a,b
?
上是“ k级矩形”函数
x?2
?
1
?ka
?kab?2?1
?< br>1
?
?
?
b?2
?
?
?
1
,??

g
?
x
?

?
a,b
?
上单调递减且值域为
?

??
?
kba?2?1
?
b?2a?2
?
?
1
??
?
?kb
??
a?2
?
?a?b或k?0

a?b且k?N
*?
不符合题意
∴不存在a、b、k使
g
?
x
?
?
1
?
x??2
?
在区间
?
a,b
?< br>上是“k级矩形”函数
x?2
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(3)∵
h
?
x
?
??2x
2
?x

?
a,b
?
上的“3级矩形”函数
1
?
1
?

h
?
x
?
??2x2
?x??2
?
x?
?
?
?
x?
?< br>a,b
?
?
的值域为
?
3a,3b
?
4
?
8
?
2
1
①当
a?b??
时,< br>h
?
x
?

?
a,b
?
上单调递增 ,值域为
?
?
h
?
a
?
,h
?
b
?
?
?

4
?
?
h
?
a
?
?3a

?
?
a、b是方程
h
?
x
?
?3x
的两个不等实根
?a??2

b?0
(不合题意)
?
?
h
?
b
?
?3b
②当
?
1
4
?a?b
时,
h
?
x
?< br>在
?
a,b
?
上单调递减,值域为
?
?
h< br>?
b
?
,h
?
a
?
?
?

?
?
?
h
?
b
?
?3a
?
?
?
?
h
?
a
?
?3b
?
a? b?1
?
a
2
?b
2
??2
无解
③当< br>a??
1
?
11
4
?b
时,
h
?< br>x
?
1
?
1
max
?h
?
?
?
4
?
?
?
8
?3b?
8
?b?
24

h
?
?
1
??
13
?
1 3
?
24
?
?
?h
?
?
?
24< br>?
?
?a??
24
?h
?
a
?
?3 a?a??2

∴综上所述,
a??2,b?
1
24

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