高一数学函数的值域与最值(教师版)

学科教师辅导讲义

年 级：高一 辅导科目： 数学 课时数：
课 题
函数的值域与最值
通过归纳总结，让学生熟练地掌握几种求函数的值域方法，并能够在具体 的题目中选择恰当
的方法求解
教学内容
教学目的
【知识梳理】
1、 函数的值域的定义是什么？什么是函数的最大值最小值？
2、 函数的值域主要有哪些求法？
析：1、在函数中，和自变量x的值对应的y的值的集合成为函数的值域
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M；②存
在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存
在x
0
∈I，使 得f(x
0
) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
2、求函数的值 域的方法主要有：配方法、单调性法、数形结合法、判别式法、换元法、反解法、分离常数法等
【典型例题分析】

1．配方法
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
对于求二次函数
y?ax?bx? c(a?0)
或可转化为形如
f(x)?a
?
g(x)
?
? bg(x)?c(a?0)
的函数的值域（最值）一类
2
2
问题，我们常常可 以通过配方法来进行求解.
例1、求二次函数
y??x?4x?2
（
x?< br>?
1,4
?
）的值域.
2
解：函数的定义域为
?< br>1,4
?
，
y??x?4x?2??(x?2)?2
，从而函数为对称 轴为
x?2
的开口向下的二次函数，
22
?y
min
??4
2
?4?4?2??2
，
y
max
?2
.即函数的 值域为
?
?2,2
?
.
注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。
变式练习：求二次函数
y?x?6x?3
（
x?
?
2,7< br>?
）的值域.
2
答案略
2．单调性法
单调性法是求函数 值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值
域．
对于形如
f(x)?ax?b?cx?d
（
a
、
b
、
c
、
d
为常数，
ac?0
）或者形如
f(x)? g(x)?
法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.
例2、求函数y?2x?3?
数的值域为
?
?1,??
?
.

1
而使用不等式
g(x)
x?1
的值域.
解：函数的定义 域为
?
1,??
?
，显然函数在其定义域上是单调递增的，
?
当
x?1
时，函数有最小值
y
min
??1
，故函

变式练习1：求函数
y?3x?6?8?x
的值域.
解: 此题可以看作
y?u?v
和
u?3x?6
,
v??8?x
的复合函数, 显然函数
u?3x?6
为单调递增函数, 易验
3x?6?8?x
也是单调递增函数. 而此函数的定义域为
[?2,8]
.证
v??8?x
亦是单调递增函数, 故函数
y?
故而原函数的值域为
[?10,30]
.
变式练习2： 求函数
y?
提示：
y?
当
x??2
时,
y
取得最小值
?10
.当
x?8
时,
y
取得最大值
30
.
x?1?x?1
的值域。
2
，
x≥1
，∴
x?1,x?1
都是增函数，故
y?x? 1?x?1
是减函数，因此当
x?1
时，
x?1?x?1
y
max
?2
，又∵
y?0
，∴
y?0,2
?
?。
变式练习3：求函数
y?x?1?2x
的值域。
1
?1
???
略解：易知定义域为
?
??,
?
，而
y?x?1?2x
在
?
??,
?
上均为增函数，
2
?
2
???
?
∴
y≤
111
1
???1?2g?
，故
y?
?
??,
?

222< br>2
??
例3、求函数
f(x)?
解：
f(x)?
x< br>2
?5
x?4
2
（
x?R
）的值域.
x< br>2
?5
x
2
?4
?x
2
?4?
1< br>x
2
?4
，若用不等式法，那么等号成立的条件为
x?4?
2
1
x
2
?4
即
x??3
，
2
显然 这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了.
为了简化函数，我们不妨先进行一下换元 ，设
x
2
?4?t
（
t?2
），则函数就转化为
y ?t?
，
t?
?
2,??
?
，现在
我们考查一下函 数
y?t?
的单调性：
函数在
?
?1,0
?
、< br>?
0,1
?
上都单调递减；而在
?
??,?1
?、
?
1,??
?
上单调递增.
那么当
t?
?
2,??
?
，函数是单调递增函数，故当
t?2
即
x
2
?4?2
也即
x?0
时，函数有最小值
1
t
1
t
5
?
5
?
，
?
函数
f(x)< br>的值域为
?
,??
?
.
2
?
2
?
1
2
变式练习：函数
f(x)?x?
，
(x??1)
的值域是 ．
x
1
2
解析：函数
y?x
和
y?
在
(??，?1]
上都是减函数，所以
y
min
?f (?1)?0
，所以函数
f(x)
的值域为
[0，??)
．
x
?
f(x)
?
min
?f(0)?

3．数形结合法
对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象 直观的函数图象来观察其函数值的变化
情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域， 用数形结合法，使运算过程大大简化．

2
?
?
x?2x?3 (?2≤x?0)，
例4、求函数
f(x)?
?
2
的值域．
?
?
x?2x?3 (0≤x≤3)
分析：求分段函数的值域可作出它的图象 ，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．
解：作图象如图所示． < br>∵f(?1)?f(1)??4
，
f(?2)??3
，
f(3)?0< br>，
f(0)??3
，

0]
．
∴
函数的 最大值、最小值分别为
0
和
?4
，即函数的值域为
[?4，
变式练习1：求函数
y?x?1?x?3
的值域.
分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.
Y
y=-2x+4

?
?2x?4,x?(??,1],
?
y?
?
2,x?(1,3),
在对应的区间内,
?
2x?4,x?[3,??),
?
画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为
[2,??)
.
变式练习2：求函数
y?
y =2x-4
4
2
1
O
图1
3
X
x
2
?4x?5?x
2
?4x?8
的值域。
222
解：原函数变形为
f(x)?(x?2)?1?(x?2)?2

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成
12个单位正方形。设HK=
x
,则EK=2
?x
,
KF =2
?x
,AK=
(x?2)
2
?2
2
,KC=< br>(x?2)
2
?1
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
变式练习3：求函数
f
?
x
?
?
解：
f
?
x
?
?
=
x
2
?2x?5?x
2
?2x?2
的最大值
x
2
? 2x?5?x
2
?2x?2
=
?
x?1
?
2
?4?
?
x?1
?
2
?1

?
x?1< br>?
2
?
?
0?2
?
2
?
?
x?1
?
2
?
?
0?1
?
2
，
?
x?1
?
2
?
?
0?2
?
2
= |AB|,
?
x?1
?
2
?
?
0?1
?< br>2
=|AC|,且|BC|=1.
显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分 别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：
显然f(x)=|AB|-| AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C三点共线时取到等号，即当X=-1时
?
?
f
?
x
?
?
max
?1
.
y y
B 2 B 2
C 1 C 1

-1 O 1 x -1 O 1 x

图1 图2

4．判别式法
ax
2
?bx?c
一般地，形如
f(x)?ax?b?cx?dx?e
、
f(x)?ax?b?cx?d
、
f (x)?
2
的函数，我们可以
dx?ex?f
2
将其转化为
p(y)?x?q(y)?x?r(y)?0
（
p(y)?0
）的形式，再通过
??
?
q(y)
?
?4p(y)?r(y)?0
求得
y< br>的范围.
2
2
但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出
y的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误.
5x
2
?8x?5
例5、求函数
y?
的值域.
x
2
?1
5x
2
?8x?5
2
解：
y?可化为
(y?5)x?8x?(y?5)?0

2
x?1
当y?5?0
即
y?5
时，方程在实数范围内有唯一解
x?0
；
?
?
y?5?0
当
y?5?0
即
y?5
时 ，
Qx?R
，
???0
，即
?

2
??
64?4
?
y?5
?
?0
解得
1?y?9< br>，
?
函数的值域为
?
1,9
?

变式练习1 ：求函数
y?
x?1
x
2
?2x?2
的值域.
2
解: 先将此函数化成隐函数的形式得:
yx?(2y?1)x?2y?1?0
, (1)
这是一个关于
x
的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程( 1)的判别式
111
??(2y?1)
2
?4y(2y?1)?0
, 解得:
?
1
2
?y?
2
. 故原函数的值域为:
y?[?
2
,
2
]
.
?b
的值域为
?
?1,5
?
，求a,b . 变式练习2：设函数
y?f
?
x
?
?
ax
x
2
?2
解法 ：化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解.
yx
2
?ax?2y?b?0,???a
2
?4y
?
2y?b< br>?
??8y
2
?4by?a
2
?0解集为
?
?1，5
?
，解得a??210,b?8.

2
变式练习3：已知函 数y=f(x)=
2x?bx?c
?
b?0
?
的值域为[1,3],求实数b,c的值.
x
2
?1
解法同上，变形有 （ y-2）x
2
-bx+（y-c）=0，⊿=b
—
4（y-2）（y-c）= 4y
2
-4（2+c）y+8c-b
2
＞0，
其解集为[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2时也适合.
1?x?x
2
变式练习5：求函数
y?
的值域．
2
1?x
解：原函数化为关于
x
的一元二次方程
(y?1)x?x?y?1? 0
．
（1）当
y?1
时，
x?R
，
??(?1) ?4(y?1)(y?1)≥0
，解得
（2）当
y?1
时，
x?0< br>，而
1?
?
，
?
．
22
故函数的值域为
?
，
?
．
22
评注 ：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在
x?R
或仅有个别值 （个别值是指使
2
2
13
≤y≤
；
22
?
13
?
??
?
13
?
??

分母 为
0
的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的
y
值，若在求出的值域中则 应除去此
y
值）不能取的情况下，
1?x?x
2
否则不能使用，如求 函数
y?
，
x?(2，3)
的值域，则不能使用此方法．
1?x
2
5．换元法
有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个 （几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化
高次为低次、化分式为整式、化无理式为有 理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩
盖着的实质，发现解题方向，这 就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函
数，从而求得原函数 的值域．
例6、（整体换元） 求函数
y?3x?2?5x
的值域.
2
?
2?t
2
?
解：函数的定义域为
?
??,
?
，令
t?2?5x
，那么
t?0
，
x?
5
?
5
?
5517
2?t
2
11
?< br>5
?
49
?y?3??t??
?
t
2
?5t ?6
?
??
?
t?
?
?
。
?
当< br>t?
即
2?5x?
也即
x??
时，函数有最大
222 0
555
?
2
?
20
49
?
49
?
值；函数无最小值.
?
函数的值域为
?
??,
?
.
20
?
20
?
点评：对于形如
f(x)?ax?b?c x?d
（
a
、
b
、
c
、
d
为常数 ，
ac?0
）的函数，我们可以利用换元法求其值域.
变式练习1：．求
f(x)?x?1?x
的值域．
2
解：令
1?x?t?0
，则
x?1?t(t≥0)
， < br>2
?
1
?
55
f(x)?f(1?t)?1?t?t?
?
t?
?
?≤
，
?
2
?
44
22
2
所以函数值域为
?
??，
?
．
变式练习2 ：已知函数
f(x)
的值域为
?
3
,
5
?
，求函数
y?f(x)?1?2f(x)
的值域。
?
89
?
??
?
?
5
?
4
?
1?t
2
1 1
1?t
2
?y??t??t
2
?t?
解：令
1 ?2f(x)?t,则f(x)?
222
2
，
5
?
3
?
?f(x)?
31
1
17
?
?
17
?
由
?
8
?y?
?
,
?
∴所求值域为
?
,
?
。
9
得：
?f(x)??0?t?
?
28
82
2
2
??
?
8
?
，
?
?
1?2f(x)?0

评注：利用引入的 新变量
t
，使原函数消去了根号，转化成了关于
t
的一元二次函数，使问题得 以解决．用换元法求
函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．
6．反解法
就是用
y
来表示
x
，利用其变形形式求得原函数的值域．
例7、求函数
y?
x?3
的值域．
x?1

解： 函数
y?
y?3
x?3
可化为
x?
，可得
y?1< br>，
1?y
x?1
所以原函数的值域为
y?Ry?1
．
7．分离常数法
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量， 利用函数单调性确定其值域较困难，因
此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个 分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变
量，进而可利用函数性质确定其值域．
??
1?x
的值域。
2x?5
1777
?
?2x?5
?
?
1?x
2
??
1
?
2< br>，因为
2
?0
，则
y??
1
，
?
2
解：
y?
2x?52x?522x?52x?5
2
1
?< br>1?x
?
故函数
y?
的值域为
?
y|y??
?
。
2
?
2x?5
?

例8、求函数
y?
【课堂小练】
1、求函数
y?



2、求函数
y?



3、求函数
y?2x?




4、求函数
y??2x?5x?6
的值域。
?
??,



5、求函数
y?


2
x?1?x?1,
?
x≥1
?
的值域。
?
?
2,??

?
x
2
?6x?10
的值域。
?
1,??
?

1
(x?0)
的值域。
?
3,??
?

2
x
?
?
73
?

?
8
?
2x?1
?
1
?
??,?1?,??
的值域。
??
?

2
?
x?2x?2
?
2
?

6、求函数
y?



7、求函数
y?



8、求函数
y?x?1?2x
的值域。
?
??,
?

2
2x?3
的值域。
3x?2
2
??
2
??
??,?,??
????< br>
3
??
3
??
d
?
ax?b
?< br>，
?
c?0,x??
?
的值域。
c< br>?
cx?d
?
a
??
a
??
??,?,??
????

c
??
c
??
?
?
1
?
?



9、求函数
y?x?3?x?1
的值域。
?
?4,4
?






10、求函数
y?x?



11、求函数
y?
提示：
y?
1
的值域。
?
??,?2
?
?
?
2,??
?

x
x?1?x?1
的值域。
2
，
x≥1
，∴x?1,x?1
都是增函数，故
y?x?1?x?1
是减函数，因此当
x ?1
x?1?x?1
时，
y
max
?

2
，又∵
y?0
，∴
y?0,2
?
?
。
?
12、求函数
y?x?1?2x
的值域。

略解：易知定义域为
?
??,
?
，而
y?x?1?2x
在< br>?
??,
?
上均为增函数，∴
y≤?1?2g?
，故
222
2
?
2
???
?
1
??
1
?
111
1
??
y?
?
??,
?

2
??


13、求函数
y??x
2
?x?2
的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由
?x?x?2≥0
,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时
2
19
?
9
?
?x
2
?x?2??(x?)
2
??
?
0,
?

24
?
4
?
3
?
3
?
2
∴
0≤?x?x?2≤
,函数的值域是< br>?
0,
?
。
2
?
2
?
x
2
?2x?a
14、已知函数f(x)=,x∈［1,+∞
)

x
1
(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.
2
(2)若对任 意x∈［1,+∞
)
,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法 ：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
1
1
时，f(x)=x++2
2
2x
∵f(x)在区间［1，+∞
)
上为增函数，
( 1)解：当a=
∴f(x)在区间［1，+∞
)
上的最小值为f(1)=
7< br>.
2
x
2
?2x?a
(2)解法一：在区间［1，+∞)
上，f(x)= >0恒成立
?
x
2
+2x+a>0恒成立.
x
2
设y=x+2x+a,x∈［1,+∞
)

∵y=x
2
+2x+a=(x+1)
2
+a－1递增，
∴ 当x=1时，y
min
=3+a,当且仅当y
min
=3+a>0时，函数f (x)>0恒成立，故a>－3.
a
+2,x∈［1,+∞
)

x
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)
min
=3+a,
当且仅当f(x)
min
=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x+

【课后练习】
一、选择题
1、函数y=x
2
+
1
1
(x≤－)的值域是( )
2
x

A.(－∞,－
7
]

4










B.［－
7
,+∞
)

4
3
3
2
C.［,+∞
)

2
D.(－∞,－
3
3
2
］
2
2、函数y=x+
1?2x
的值域是( )
A.(－∞,1
]

C.R












B.(－∞,－1
]

D.［1,+∞
)

二、填空题
3、一批货物随17列货车从A市以V千米小时匀速直达B市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全，两列货车间
距离不得小于(
V
2
)千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
20
4、设x
1
、x
2
为方程4x
2
－4mx+m+2=0的 两个实根，当m=_________时，x
1
2
+x
2
2
有最小值_________.
三、解答题
5、某企业生产一种产品时，固定成本为500 0元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商
品年需求量为500台，销 售的收入函数为R(x)=5x－
1
2
x(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出 的数量(单位：百台)
2
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？








6、已知函数 f(x)=lg［(a
2
－1)x
2
+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.

< br>7、某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空 调器、彩电、
冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下 表：
家电名称
工时
空调器 彩电 冰箱
111

234
产值(千元) 4 3 2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)






8、在Rt△ABC中，∠C=90 °，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之
BC?CA< br>积为S
1
，△ABC的内切圆面积为S
2
，记=x.
AB
(1)求函数f(x)=
S
1
的解析式并求f(x)的定义域.
S
2









(2)求函数f(x)的最小值.
参考答案

一、1.解析： ∵m
1
=x
2
在(－∞,－
∴y=x
2
+
1
11
）上是减函数，m
2
=在(－∞,－）上是减函数，
22
x
1
1
在x∈(－∞,－)上为减函数,
2
x
1
17
∴y=x
2
+ (x≤－)的值域为［－，+∞
)
.
24
x
答案：B
1?t
2
2.解析：令
1?2x
=t(t≥0),则x=.
2
1?t
2
1
∵y=+t=－ (t－1)
2
+1≤1
2
2
∴值域为(－∞,1
]
.
答案：A

二、3.解析：t=
答案：8
V
2
400400
16V< br>+16×()V=+≥2
16
=8.
VV
400
20
m?2m?217
1
,∴x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
－2x
1
x
2
=m
2
－=(m－)
2
－,又x
1
,x
2
为实根，
4
4216
17
1
∴
Δ
≥0 .∴m≤－1或m≥2，y=(m－)
2
－在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)
上是增函数又抛物线y开口
4
16
1
向上且以m=为对称轴. 故m=1时，
4
1
y
min
=.
2
1
答案：－1
2
三、5.解：(1）利润y是指生产数量x 的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产
品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以
4.解析：由韦达定理知：x
1
+x
2< br>=m,x
1
x
2
=
1
2
?
1
2
5x?x?(0.5?0.25x)(0?x?5)
?
?
??
4 .75x?x?0.5(0?x?5)
2
y=
?

?
?2
?
(5?5?
1
?5
2
)?(0.5?0.25x) (x?5)
?
?
12?0.25x (x?1)
?< br>2
?
b
1
(2）在0≤x≤5时，y=－x
2
+4. 75x－0.5,当x=－=4.75(百台）时，y
max
=10.78125(万元），当 x>5(百台）时，
2
2a
y＜12－0.25×5=10.75(万元），
所以当生产475台时，利润最大.
?
0?x?5
?
x?5
?
或
?
(3）要使企业不亏本，即要求
?
1
2

12?0.25x?0
x?4.75x?0.5?0
?
?
?
2
解得5≥x≥4.75－
21.5625
≈0.1(百台）或5＜x＜48(百台） 时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业
不亏本.
6.解：(1）依题意(a< br>2
－1）x
2
+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a
2< br>－1≠0时，其充要条件是
?
a?1或a??1
2
?
?
a?1?0
?
,即
，
??
5
22
a?或a?? 1
?
?
??(a?1)?4(a?1)?0
?
3
?
∴a＜－1或a>
55
.又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－ 1或a>为所求.
33
t=(a
2
－1)x
2
+(a+1 )x+1(2）依题意只要
?
a
2
?1?0
能取到(0，+∞）上的 任何值，则f(x)的值域为R，故有
?
,解得1
?
??0
＜a≤< br>55
,又当a
2
－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合 题意，∴1≤a≤为所求.
33
7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得：
x+y+z=360 ①

111
②x>0,y>0,z≥60.
x?y?z?120

234
③
假定每周 总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z, 得
y=360－3x. ④
将④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再将④⑤代入S中，得S=4 x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080.由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大， 最
大值为S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分别代入④和⑤得y=360－90= 270,z=2×30=60.
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值 最大，最大产值为1050
千元.
ab
8.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,
c
?
aba?b?c
2
∴S
1
=
π
ah+
π
bh=
(a?b),S
2
?
?
(),< br>,
c2
∴f(x)=
S
1
4ab(a?b)

?
S
2
c(a?b?c)
2
① < br>?
a?b
?
a?b?cx
?x
??
?
?又
?
c

c
2
2
ab?(x?1)
?
a
2
?b
2
?c
2
?
2
??
2(x
2
?x)
代入①消c，得f(x)=.
x?1
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜
x=
?
)
,则
2
a?b
?
=sinA+cosA=
2
sin(A +).∴1＜x≤
2
.
c
4
2(x
2
?x)2< br>2
(2)f(x)=
?2[(x?1)?]
+6,设t=x－1,则t∈(0,
2
－1),y=2(t+)+6在(0，
2－1
]
上是减函数，∴
x?1x?1
t
当x=(
2－1)+1=
2
时，f(x)的最小值为6
2
+8.