最新高一数学必修一函数讲义

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第二章、函数
第一节、函数
一、函数
1、函 数的定义：
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一
确定 的数y与它对应，这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作
y?f
?
x
?
，
x?A
。其中，x
叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。所有 函数值构成的集合，即
yy?f
?
x
?
,x?A
叫做这个函 数的值域。
??
2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：
（1）定义域和对应法则是否给出；
（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y。
例1、下列图形中，能表示y是x的函数的是（ ）

y




o
A
x
o
B
x
C D
o
x
o
x
y
y
y
例2、下列等式中，能表示y是x的函数的是（ ）
2
A.
y??x
B.
y?x?1
C.
y??1?x
2
D.
y?1?x
2

3、如何判断函数的定义域：
（1）分式的分母不能为零；

（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；
（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集；
（4）函数
x
中
x
不为零。
例3、求下列函数的定义域
（1）
f(x)?

0
3?2x
； （2）
f(x)?2x?1
；
3?2x
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20
（3）
f(x)?(x?4)
； （4）
f(x)?x
2
?4?
1

x?2

例4、求下列函数值域
（1）
f(x)?2x?1,x?
?
1,2,3,4
?
（2）
f(x)?x
2
?2x?1,x?
?
0,3
?


（3）

f(x)?
1
2x?1
,x?(?1,??)
（4）
f(x)?,x?
?
1,??
?

x
x?1
4、函数的3要素：
定义域、值域和对应法则。
判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。

注：在函数关系式的表述中，函数的定 义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是
使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集 合。
例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ）
A.
f(x)?
C.
f(x)?
x,g(x)?x
B.
f(x)?x,g(x)?x

x
2
,g(x)?x
D.
f(x)?x,g(x)?x

2
2
2
5、区间：
设a，b
?
R，且a＜b，

满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a,b]；
满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间，记作﹙a,b﹚；
满足a≤x＜b或a＜ x≤b的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b﹚或﹙a,b ]；
分别满足x ≥a,x＞a,x≤a,x＜a的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ],
﹙﹣∞,a﹚。
6、映射：
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合
A
中的任意一
个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 ，那么就称对应f：A→B为从集合A到集
合B的一个映射．其中x叫做原象，y叫做象。
注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A中元素不可剩余，B中元素可以剩余。特
别的，集合B中的 任意元素在集合A中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。
7、映射个数的确定：
若集合 A有m个元素，集合B中有n个元素，则A到B的映射有
n
m
个。
例6、已知集合
A?{1,2,3},B?{a,b}
。问：
(1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：
A?B
有多少个？
(2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：
B?A
有多少个？
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8、映射与函数的关系：
函数是特殊的映射。
9、复合函数：


二、函数的表示方法
1、列表法：
通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系；
2、图像法：
用图像表示函数关系；
3、解析法（公式法）：
用代数式表示函数关系。
三、分段函数
在函数的 定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的
函数叫做分段函数。
例7、已知函数
f(x)?1?
|x|?x
(?2?x?2)

2
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图像；
（3）写出该函数的值域。


四、函数的单调性
1、增函数和减函数的定义：
设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果对于定义域
I
内的某个区间
D
内的任 意两个自变量
x
1
,x
2
，当
x
1
?x< br>2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么 就说
f(x)
在区间
D
上是增函
数.区间
D
称为< br>y?f(x)
的单调增区间；如果对于区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
< br>时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间
D
称为
y?f(x)
的单调 减区
间。
2、图像特点：

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增函数：自左向右图象是上升的 减函数：自左向右图象是下降的
3、函数单调性的判定方法
（1）定义法：
任取< br>x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x2
，判断
?y?f
?
x
2
?
?f
?< br>x
1
?
的符号，若
?y
＞0，
f
?
x
?
在D上单调递增，若
?y
＜0，
f
?
x
?
在D上单调递减；
（2）图像法：
根据图像直观地判断函数的单调性；
（3）直接法：
根据一些特殊函数的性质，直接得出函数的单调性，如一次函数中的k＞0,直
接得出函数为增函数；
（4）结论：
①
f(x)与-f(x)
具有相反的单调性；②
f( x)
与
f(x)?c
（c为常数）具有相同
的单调性；③a＞0时，
af(x)
与
f(x)
具有相同的单调性，a＜0时，
af(x)
与
f(x)
具有相反的单调
性；④若
f(x)?0
，则
1与f(x)
具有相反的单调性；⑤
f(x)?0
时，
f(x)
f (x)
与
f(x)
具有相同
的单调性；⑥若
f(x)
与g(x)
具有相同的单调性，则
f(x)?g(x)
与
f(x)
和
g(x)
都具有相同的单调
性。
例8、讨论下列函数的单调性
（1）
y?x
（2）
y?|x|?1
（3）
y?


例9、证明函数
f(x)?x?


例10、求函数
f(x)?x?


3
1
(x?0)
（4）
y?x
2
?2x?3

x
1
在
(0,1)
上是减函数。
x
1
在区间
(0,2)
上的最小值。
x
4、复合函数单调性判断：同增异减
(x?2)
2
?4
例11、判断函数
y?
2
在（-2，+∞）上的单调性
x?4x?4


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五、函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的定义：
一般地，对于函数
f(x)
的定义域
D
内的任意一个
x
，都有
?x?D
，且
f(?x)??f(x)
，那么
f(x)
就叫做奇函数,
f( ?x)?f(x)
，那么
f(x)
就叫做偶函数。
例12、判断奇偶性
2
3
（1）
f(x)?x?1
（2）
f(x)?x?x
（3）
f(x)?x
（4）
f(x)?x?1



?
x
2
? 2,x?0
?
例13、判断函数
f(x)?
?
0,x?0
的 奇偶性
?
?x
2
?2,x?0
?


2、图像特征：
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
（2）奇函数
y?f(x)
的定义域为D，若
0?D
，则
f(0)? 0
。
3、函数奇偶性的判定：
（1）根据定义：①首先确定函数的定义域，并判断 其是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则
函数没有奇偶性；
②若定义域关于原定对称，再确定
f(?x)
与
f(x)
的关系；
③最后作出相应结论：若
f(?x)??f(x)
或
f(?x)?f(x) ?0
，则
f(x)
是奇函数,
若
f(?x)?f(x)
或
f(?x)?f(x)?0
，则
f(x)
是偶函数。
（2）根据图像：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；
若函数的图象关于
y
轴对称，则函数为偶函数。
（3）根据性质：奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数+偶函数=偶函数；

奇函数?奇函数?偶函数
；
偶函数?偶函数?偶函数
；

奇函数?偶函数?奇函数

（4）函数的分拆：任何一个函数
f(x)
都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和，即
f(x)?F(x)?G(x)
，其中
F(x)?

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f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
（偶 函数），
G(x)?
（奇函数）。
22

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4、复合函数
y?f
?
g(x)
?
的奇偶性
若函 数
f(x),g(x),f
?
g(x)
?
的定义域都是关于原点对称 的,那么由
u?g(x),y?f(u)
的奇偶性
得到
y?f
?g(x)
?
的奇偶性的规律是:
函数 奇偶性
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
u?g(x)

y?f(u)

y?f
?
g(x)
?

即当且仅当
u?g(x)< br>和
y?f(u)
都是奇函数时,复合函数
y?f
?
g(x)< br>?
是奇函数.
5、利用奇偶性求函数解析式：
例14、若函数
f( x)
是定义在
R
上的偶函数，当
x?0
时，
f(x)?x? 2x
，求当
x?0
时，函数
f(x)
的解析式。

2
6、函数奇偶性与单调性综合应用：
例15、函数
f(x)
是定 义在
R
上的奇函数，在
(0,??)
上是增函数，且
f(1)?0< br>，则满足
f(x)?0
成
立的
x
的取值范围是。

例16、定义在
[?2,2]
上的偶函数
g(x)
，当
x? 0
时，
g(x)
为减函数，若
g(1?m)?g(m)
成立，求m
的取值范围。




第二节、一次函数和二次函数
一、一次函数的性质与图像
1、一次函数的概念：< br>函数
y?kx?b(k?0)
叫做一次函数，定义域和值域都为R，它的图像是直
线，其中
k
叫做该直线的斜率，
b
叫做该直线在
y
轴上的 截距。
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2、一次函数的性质与图像：
一次函数
y?kx?b(k?0)


y

图像
性质
单调性
增函数
奇偶性
奇函数
b?0

k?0

b?0



O

x


y

y



O

x

O

x


y



O

x


y

y

增函数 非奇非偶函数
b?0

k?0

b?0

减函数 奇函数

减函数

O

x

O

x

非奇非偶函数
例1、已知函数
y?(2m?1)x?1?3m,m
为何值时，
（1）这个函数为正比例函数；
（2）这个函数为一次函数；
（3）函数值
y
随
x
的增大而减小；
（4）这个函数的图像与直线
y?x?1
的交点在
x
轴上。


例2、如果一次函数
y?kx?b(k?0)
的图像经过一、三、四象限，那么（ ）
A、
k?0,b?0
B、
k?0,b?0
C、
k?0,b?0
D、
k?0,b?0

例3、直线
y?kx?b
过点
(





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22
,)
和
(0,2)
，求直线y?kx?b
与坐标轴围成三角形的面积。
22

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二、二次函数的性质与图像
1、二次函数的概念：
形如
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的函数叫做二次函数．其定义域是R。
2、二次函数的解析式：
一般式：
f(x)?ax?bx?c(a?0)
；

顶点式 ：
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
，
(h,k)
是二次函数的顶点坐 标；

两根式：
f(x)?a(x?x
1
)(x?x2
)(a?0)
，
x
1
,x
2
是二次函数与< br>x
轴的两个交点的横坐标。
2
2

3、二次函数的性质与图像

二次函数
y?ax?bx?c(a?0)

2
a?0

图像


a?0



定义域

值域
对称轴

顶点坐标
奇偶性
R
4ac?b
2
y?[,??)
4a


4ac?b
2
y?(??,]
4a
x??
b
2a
b4ac?b
2
(?,)
2a4a
b?0?y?ax
2
?bx?c(a? 0)是偶函数

x?(??,?
单调性
b
)
是减函数，< br>2a
x?(??,?
x?(?
b
)
是增函数，
2a< br>x?(?
b
,??)
是增函数
2a
b
,??)
是减函数
2a
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最值
4ac?b
2
b
时，
y
min
?

x??
4a
2a
4ac?b
2
b
时，
y
max
?

x??
4a
2a
例4、设abc＞0，二次函数 f(x)＝ax
2
＋bx＋c的图象可能是（ ）

4、与二次函数有关的不等式恒成立问题：
（1）ax
2
＋bx＋c>0< br>?
?
a>0
恒成立的充要条件是
?
；

?
Δ
<0
?

?
a<0
（2）ax
2
＋
bx
＋
c<0恒成立的充要条件是
?
；
?
Δ<0

例5、设
f(x)?x?2ax?2
，当
x?[?1,??)
时，
f(x)?a
恒成立，求
a
的取值范围。



2
三、待定系数法
一般的，在求一个函数时，如果 知道这个函数的一般式，可先把所求函数写为一般形式，其中
系数待定，然后再根据题设条件求出这些待 定的系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式
的方法叫做待定系数法。
例6、已知一 次函数的图像经过
(5,?2)
和
(3,4)
，求这个函数的解析式。


例7、已知二次函数
y?f(x)
的图像过
A(0,5 ),B(5,0)
两点，它的对称轴为直线
x?2
，求这个二次
函数的解析式 。

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第三节、函数与方程
一、函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做 函数
y?f(x)(x?D)
的零点。即函数
f(x)
的图像与
x< br>轴交点的横坐标叫这个函数的零点。
例1、下列函数中没有零点的是（ ）
2
A.
f(x)?x
B.
f(x)?x
C.
f(x)?
1
2
D.
f(x)?x?x

x
2、零点存在定理
：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f (a)f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内至 少有一个零点。既存在
x
0
?(a,b)
，使得
f
?
x
0
?
?0
，这个
x
0
就是方程的根。
例2、若方程
2ax?x?1?0
在
(0,1)
内恰有一解，则
a
的取值范围是（ ）
A.
a??1
B.
a?1
C.
?1?a?1
D.
0?a?1

2
3、函数零点的性质：
（1）对于二次函数， 图像是连续的，那么当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，这
种零点叫变号零点；当函数通过 二重零点时，函数值的符号不改变，这种零点叫不变号零点；
（2）如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号。
4、二次函数零点个数：
（１）△＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等 实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二次
函数有两个零点；
（２）△ ＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一个
交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
（３）△＜０，方程
ax? bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点。
2
2
2
二、二分法
1、二分法的定义：
每次取区间的中点 ，将区间一分为二再经比较，按需要留下其中一个小区间
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的方法叫做二分法。
注：二分法只能判断变号零点，不能判断不变号零点。
例3、函数图象与
x
轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）

A
B
C
D

2、给定精确度
?
，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：
（1）精确 区间
?
a,b
?
?D
，使
f(a)f(b)?0
；
（2）取区间
?
a,b
?
的中点
x
0
?< br>1
(a?b)
,计算
f(x
0
),f(a),f(b)
，
2
①如果
f(x
0
)?0
,则
x
0
就是
f(x)
的零点, 计算终止，
②如果
f(a)f(x
0
)?0
,则零点位于区间
?
a,x
0
?
, < br>③如果
f(x
0
)f(b)?0
,则零点位于区间
?
x
0
,b
?
；
······
（3）判断是否达到精确度
?
,即如果
a?b?
?
,则得到零点近似值a或b；否则重复上述步 骤。
例4、设
f(x)?3?3x?8,
用二分法求方程
3?3x?8?0 ,
在
x?
?
1,2
?
内近似解的过程中，计算得
x x
f(1)?0,f(1.5)?0,f(1.25)?0
，则方程的根落在区间（ ）
A．
?
1,1.25
?
B.
?
1.25,1.5
?
C .
?
1.5,2
?
D. 不确定

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