高一数学函数的奇偶性知识及例题

高一数学函数的奇偶性
提出问题
① 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.





对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x).
定义：
1 ．偶函数：一般地，对于函数
f(x)
的定义域内的任意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
，那么
f(x)
就叫做偶函数．
2．奇函数：一般 地，对于函数
f(x)
的定义域的任意一个
x
，都有
f(?x)?? f(x)
，那么
f(x)
就叫做奇函数．
1、如果函数
y?f(x )
是奇函数或偶函数，我们就说函数
y?f(x)
具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函
数也不是偶函数；
3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定 义域内的任意一个
x
，则
?x
也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于 原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”
（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；
4、偶函数的图象关于y轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶
函数 且
f(x)?f( |x|)
。奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点
对称，那么这个 函数为奇函数.
且f(0)=0
5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法 ，也可以利用奇偶函数的定义判断函数
的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断
f(?x)??f(x)
或
f(?x)?f(x)
是否恒成立；

（3）、作出相应结论.
若
f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是偶函数
；
若
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是奇函数


例．判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?x
2x
3
?x
2
x?[?1,2]

为非奇非偶函数；（2）
f(x)?
为非奇非偶函数
x?1
x?1

x?1
3
（3）
f(x)?x?x
奇函数；（4）
f(x)?(x?1)
1
1?x
2
（5）f(x) =x+； 奇函数；（6）
f(x)?
奇函数
x
2?|x?2|< br>（7）
f(x)?1?x
2
?x
2
?1
既是奇函数又是偶函数
（8）
f(x)?a,a?0
为非奇非偶函数
常用结论：
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.


一．分段函数奇偶性的判断
?
1
2
x?1(x?0)
?< br>?
2
例1.判断函数的奇偶性：
g(x)?
?

1< br>?
?x
2
?1(x?0)
?
?2
解：当
x< br>＞0时，－
x
＜0，于是
11
g(?x)??(?x)
2< br>?1??(x
2
?1)??g(x)

22
当
x
＜0时，－
x
＞0，于是
111
g(?x)?(?x)
2
?1?x
2
?1??(?x
2
? 1)??g(x)

222
综上可知，

g(x)
是奇函数．

?
x
2
?2x?3
?
0
练习：1.证明
f(x)?
?
?
?x
2
?2x?3
?



(x?0)
，是奇函数.
(x?0)
例2.
f(x)
为R 上的偶函数，且当
x?(??,0)
时，
f(x)?x(x?1)
，则当x?(0,??)
时，
f(x)?
x(x+1) 若f(x)是奇函数呢？

二．已知函数的奇偶性求参数值：
例3、已知函数f(x)?(m?2)x?(m?1)x?3
是偶函数，求实数
m
的值．
解：∵
f(x)?(m?2)x?(m?1)x?3
是偶函数，∴
f(?x)?f( x)
恒成立，
即
(m?2)(?x)?(m?1)(?x)?3?(m?2)x?( m?1)x?3
恒成立，
∴
2(m?1)x?0
恒成立，∴
m?1 ?0
，即
m?1
．
练习：
1. 如果二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
是偶函数，则
b?
0． 2．已知函数
f
（
x
）＝
ax
＋
bx
＋3
a
＋
b
是偶函数，且其定义域为［
a
－1，2
a
］，则a=
三．构造奇偶函数求值
例4、已知函数
f(x)?x?ax?bx?8
，若
f(?2)?10
，求
f(2)
的值。
【解】方法一：由题意得
f(?2)?(?2)?a(?2)?b(?2)?8
①
53
53
2
2
2
22
2
1
b= 0
3
f(2)?2
5
?a?2
3
?b?2?8
② ①＋②得
f(?2)?f(2)??16

∵
f(?2)?10
，∴
f(2)??26

方法二：构造 函数
g(x)?f(x)?8
，则
g(x)?x?ax?bx
一定是奇函数， 又∵
f(?2)?10

∴
g(?2)?18
因此
g(2)??18
所以
f(2)?8??18
，即
f(2)??26
．
练习 1.已 知
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx< br>－5，且
f
(－3)＝5，则
f
(3)＝( -15 )
2 .若
?
(x)
，
g
（
x
）都是奇函数，
f (x)
?
a
?
(x)
?
bg(x)
?
2< br>在（0，＋∞）上有最大值5，
则
f
（
x
）在（－∞，0）上有最小值－1

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