高中数学-函数与导数

典型例题：

基本函数的图象与性质

例1． 已知函数
，则其反函数的图象大致为（



A
D

练习：若函数
（
且
）的定义域和值域都是




）

B




C

，则实数
的值为 。

分段函数与复合函数

例2. 已知函数
，则
。

练习：已知函数
的对称中心是
,则函数
的单调减区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

抽象函数与函数性质

例3. 若函数

是定义域为
的奇函数，则函数
必过点（ ）

A．（

，1） B．（1，1） C．（2，1） D． （

，1）

练习：已知定义在
上的函数
满足下列条件：（1）对任意的

，都有

；（2）对于任意
，都有
成立；（3）
是偶函数。则
由小到大依次为 。

函数图象及其应用

例4. 已知

满足

，且当

时
，

与

的图象的交点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4


练习：已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
为
的导函数，函数
的图象如右图所示，

则不等式
的解集为 。

导数的几何意义

例5. 已知曲线
在点
处的切线与直线
平行，则

。

练习：若曲线
上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数
等于( )

A.

B.0 C.1 D.

导数的应用

例6.若函数

存在极小值,则实数

的取值范围为 .

练习：已知函数
。

（I）求函数的单调区间与极值。

（II）对于任意的
，证明：
；

（III）若
有三个相异的实数根，求

的取值范围。

函数与导数的综合应用

例7.已知函数
，且函数
在区间
满足
。

（I）若
，求
的值；

（II）求证：
；

（Ⅲ）设函数
，当
时，
的最小值为
，求
的值。

练习：设函数

(1)求函数
的单调区间;

(2)当
时，不等式
恒成立,求实数
的取值范围;

(3)关于
的方程
在
上恰有两个相异实根，求
的取值范围.

练习：已知函数
是
上的单调函数.

（I）求
的取值范围；

（II）求不等式

的解集。

（III）若对任意的

，都有不等式

成立，求实数

的取值范围。

课后作业：

1．函数

的零点所在的区间
为

A．（－1，0） B．（0，1）
2） D．（1，e）

2．若函数

在区间

上为减函数，则

的取值范围是 ( )

A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1，2

) D．(0，1)∪(1，2

)


．（1，
） （
C

3．已知函数
反函数
，且
的图象过定点（3，1），则



的图象一定过点 （

A．
B．
C．
D．


4．若
，则
（ ）

A、
B、1
D、

5．曲线









C、


）

在点


处的切线与坐标轴围成三角形面积为 （ ）

A、

B、

C、

D、



6．函数

的定义域为（a,b），其导函数

内的图象如图所示，则函数

在区间（a,b）内极小值点的个数是

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

7. 已知函数
）（

定义域为
，则下列命题：
①若
为偶函数，则
的图象关于
轴对称.
②若
为偶函数，则
关于直线
对称.
③若函数
是偶函数，则
的图象关于直线
对称.
④若
，则则
关于直线
对称.
⑤函数
和
的图象关于
对称.
其中正确的命题序号

是
( )
A、①②④ B、①③④ C、②③⑤ D、②③④

8．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产 品的情况是：前四年年产
量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的 产
量

与时间

的函数图像可能是
( )



9． 函数

在定义域R内可导，若

，且当

时，

，设

则

A．

B．

C．

D．

）

（

10.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为
“同族函数” ,那么函数解析式为

，值域为{1,4}的“同族函数”共有______个.

11.设
是定义在

上且以3为周期的奇函数，若
，

，则实数
的取值范围是 ．

12、设函数
的定义域为

，对于任意实数

，总有
，且当
时，
．

(1)求
的值；(2)证明：当

时，

；

(3)证明：
在
上单调递减；

13．已知二次函数
设方程
有两个实数根
.

(Ⅰ)如果
，设函数
)的对称轴为
,求证：
;

(Ⅱ)如果
，且
的两实根相差为2，求实数

的取值范围.