高中数学笔记函数(页完)

高中数学笔记
--------⑵函数
1基础概念 基本性质：

注意：①函数图像与x轴上的垂线至多一个公共点,但与y轴上的垂线的分共点可能没有,也可任意个;
②函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像
2,常见函数图像：
1
y=f（x）=x+；○
2
。y=○
习
（a，c
3
0）；○+
文档收集自网络，仅用于个人学
=2；+=2

1
○
2
文档收集自网络，仅用于个人学习
○

3
○
4

文档收集自网络，仅用于个人学习
○
4
指数函数与对数函数的图象与性质 ○

注意: ①指数函数与对数函数, 当a>1时,都是其定义域上的单调增函数, 当01 18

指数函数 的图象都过点(0,1),对数函数的图象都过点(1,0).
文档收集自网络，仅用于个人学习 2
②设函数
f(x)?log
m
(ax?bx?c)
(a≠0) , 记
??b
2
?4ac
,若f(x)的定义域为R, 则a>0,且
??0
, 若f(x)的值
域为R,则a>0, 且
??0
.
文档收集自网络，仅用于个人学习
.幂函数:
< br>注意：幂指数大于0时,幂函数在(0,+∝)上单调递增;幂指数小于0时,幂函数在(0,+∞)上单 调递减,所有幂函数的
图象都过点(1,1).
文档收集自网络，仅用于个人学习
3图形变换：
高中阶段主要学习了种函数：常数函数，n次函数，幂函数（
x
a

），指数函数，对数函数，三角函数，分
段函数（如含绝对值的函数）
文档收集自网络，仅用于 个人学习
①加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的原则（其中上加下减是在X一方变换的，如果也 针对y则为“下
加上减”即y=f（x）按向量（a，b）平移为y-b=f（x-a）。）
文 档收集自网络，仅用于个人学习
②伸缩变换：y=f(x)→y=f（ax）即沿x轴方向向y轴变为原来的
个人学习
。
3
绝对值的变换：y=f（x），y=f（｜x｜），y=｜f（x）｜，｜y｜ =f（x）的相互转换。
文档收集自网络，仅用于
○
4，函数的常见性质
1
若函数y=f（x）满足f(a+bx)=f(c-bx),，则f（mx）的图像关于x=○
对称
文档收集自网络，仅用于个人学习
2
对一函数y=f（x），有y=f（a+b x）与y=f（c-bx）的图像关于a+bx=c-bx，即x=○
档收集自网络，仅用于个人学习
=
，对称
文
3
若y=f（x+a）的图像关于y轴对称，则有f（x +a）=f（-x+a），及f（x）关于x=a对称
文档收
○
集自网络，仅用于个人 学习
4
函数f（x）=○ （a，c0）值域为 ，图像关于点（
，
）中心对称。
文档收集自网络，仅用于个人学习
（其实该 函数是由反比例函数经过平移或伸缩变换而得，而反比例函数就刚好关于原点中心对
称。）
2 18

5
若f（x）=○
人学习
（a，c0）则f
-1
（x）== ，（a，d对调）
文档收集自网络，仅用于个6
周期函数不一定有最小正周期。如狄利克雷函数D(X)=○ 这是一个周期函
数，任何 正有理数都是它的周期，但是它不存在最小正周期。
文档收集自网络，仅用于个人学习
7
原函数与反函数的奇函数性和单调性相同，原函数与导函数的奇偶性相反。 ○
8
设a为非0常数，若f（x）在定义域内恒有下列条件之一 ：I，f（x+a）=--f(x)，II，f（x+a）○
f(x)=1,III，f（x+a）=
期。
文档收集自网络，仅用于个人学习
IV，f（x+a）=f（x—a）。则f （x）为周期函数，2a为其周
9
若f（x）同时关于x=a和x=b对称，则2b-2a为一 周期 ○
若f（x）关于x=a对称，且关于点（b，0）对称（a与b不相等）则4b-4a为其一周期
若f（x）同时关于点（a，0）和点（b，0）对称，则2b-2a为其一周期。

5.抽象函数问题
抽象函数性质 特殊函数模型
f（x
1
+x< br>2
）=f（x
1
）+f（x
2
）
f（x
1
+x
2
）=f（x
1
）.f（x
2
）
或 f（x
1
-x
2
）=f（x
1
）f（x
2
）
f（x
1
x
2
）=f（x
1
）+f（x
2
）
或f（x
1
x
2
）=f（x
1
） -f（x
2
）
f（x
1
）+f（x
2
）=2f
f


f（x）=kx
x
f（x）=
a

f（x）=log
a
x

f（x）=cosx
抽象函数问题的”原型”解法例析
例1，设函数
f(x)
满足
f( x)?f(y)?2f(
周期函数，并指出它的一个周期。
3 18
x?yx? y
?
)f()
，且
f
()=0，
x
、
y< br>∈R；求证：
f(x)
为
222

分析与简证：由
f(x)?f(y)?2f(
x?yx?y
)f()

22
想：
cosx
1
?cosx
2
=2cosx
1
?x
2
x?x
2
cos
1
22
原型：
y
=
cosx
，为周期函数且2π为它的一个周期。
猜测
：
f(x)
为周期函数，2π为它的一个周期
令
x< br>1
=
x
+
?
，
x
2
=
?< br> 则
f(x?
?
)?f(x)?2f(x?
∴
f(x?
?
)??f(x)?f(x?2
?
)?f(x)

∴
f(x)
为周期函数且2π是它的一个周期。
例2，已知函数
f (x)
满足
f(x?1)?
?
)f()
=0
22
?
1?f(x)
，若
f(0)?2004
，试求
f
(200 5)。
1?f(x)
1?f(x)
分析与略解：由
f(x?1)?

1?f(x)
想
：
tan
(
x
+
?
1?tanx
)=
41?tanx
原型：
y
=
tan< br>x
为周期函数且周期为4×
猜测
：
f(x)
为周期函数且周期 为4×1=4
?
=π。
4
f(x)
f(x)
1
=-
f(x)
f(x)< br>f(x)
1?
1?
1?f(x?1)
∵
f(x?2)?f[( x?1)?1]?
=
1?
1?f(x?1)
1?
1?
1?< br>∴
f(x?4)?f[(x?2)?2]?
1
?f(x)
?
f
(
x
+4)=
f(x)

f(x?2)
∴
f(x)
是以4为周期的周期函数
又∵f(2)=2004
∴
f(2005)?f(2004?1)?
1?f (2004)
1?f(0)
1?20042005
===-
1?f(200 4)
1?f(0)
1?20042003
∴f(2005)=-
2005
2003
例3.已知函数
f(x)
对于任意实数
x
、
y
都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，且当
x
＞0 时，
f(x)
＞0，
f
(-1)=-2，求函数
f(x)
在 区间[-2，1]上的值域。
文档收集自网络，仅用于个人学习
分析与略解：由：
f(x?y)?f(x)?f(y)

想
：
k
(
x
+
y
)=
k
x
+
ky

原型：
y
＝
k
x
（
k
为 常数）为奇函数。
k
＜0时为减函数，
k
＞0时为增函数。
猜测< br>：
f(x)
为奇函数且
f(x)
为R上的单调增函数，且
f( x)
在[－2,1]上有
f(x)
∈[－4,2]
4 18

设
x
1
<
x
2
且
x
1
，
x
2
∈R 则
x
2
－
x
1
>0 ∴
f
(
x
2
－
x
1
)>0
∴< br>f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
?x
1
)?f(x
1
)
=
f(x
2
?x
1
)?f(x
1
)?f(x
1
)
=
f(x
2
?x
1
)
＞0
∴
f(x
2)?f(x
1
)
,∴
f(x)
为R上的单调增函数。
令
x
=
y
=0,则
f
(0)=0,令
y
= －
x
，则
f
(－
x
)=－
f(x)

∴
f(x)
为R上的奇函数。
∴
f
(-1)=-
f
(1)=-2 ∴
f
(1)=2，
f
(-2)=2
f
(-1)=-4
∴-4≤
f(x)
≤2(x∈[-2,1])
故
f(x)
在[-2,1]上的值域为[-4，2]
例4.已知函数
f(x)
对于一切实数
x
、
y
满足
f
(0)≠0 ，
f(x?y)?f(x)f(y)
，且当
x
<0时，
f(x)
＞1；（1）当
x
＞0时，求
f(x)
的取值范围
（2）判断
f(x)
在R上的单调性
分析与略解：由：
f(x?y)?f(x)f(y)

想
：
a
x?y
?a
x
a
y
原型
：
y
=
a
x
（
a
＞0,

a
≠1），
a
0
=1≠0。当
a
＞1时为单调增函 数，且
x
＞0时，
y
＞1，
x
＜0
时，0＜
y
＜1；0＜
a
＜1时为单调减函数，且
x
＜0时，
y< br>＞1，
x
＞0时，0＜
y
＜1。
文档收集自网络，仅
用于个人学习
猜测
：
f(x)
为减函数，且当
x
＞0时，0＜
f(x)
＜1。
（1）对于一切
x
、
y
∈R，
f(x?y)?f(x)f( y)
且
f
(0)≠0
令
x
=
y
=0，则
f
(0)=1，现设
x
＞0，则-
x
＜0，∴f(-
x
) ＞1
又
f
(0)=
f
(
x
-
x
)=
f(x)f(?x)
=1 ∴
f(?x)
=
∴0＜
f(x)
＜1
（2）设
x
1
<
x
2
，
x
1
、
x
2
∈R，则
x
1
－
x
2
<0，
f
(
x
1
－
x
2
)＞1且
1
＞1
f(x)
f(x
1
)f(x
1
?x
2
?x
2
)f(x
1
?x
2
)f(x
2
)
?? ?f(x
1
?x
2
)
＞1
f(x
2
)f (x
2
)f(x
2
)
∴
f(x
1
)?f( x
2
)
， ∴f(x)在R上为单调减函数
例5.已知函数
f(x )
定义域为(0,+∞)且单调递增，满足
f
(4)=1，
f(xy)?f( x)?f(y)

（1）证明：
f
(1)=0；(2)求
f
(16)；（3）若
f(x)
+
f
(
x
-3)≤1，求
x
的范围；
（4）试证< br>f
(
x
)=
n
f(x)
（n∈N）
分析与略解：由：
f(xy)?f(x)?f(y)

n
想
：
log
a
xy?log
a
x?log
a
y
（
x
、
y
∈R
+
）
原型
：
y ?log
a
x
（
a
＞0，
a
≠0）
猜测
：
f(x)
有
f
(1)=0，
f
(16)=2，… …
（1）令
x
=1，
y
=4，则
f
(4)=f
(1×4)=
f
(1)+
f
(4)∴
f
(1 )=0
5 18

（2）
f
(16)=
f
(4×4)=
f
(4)+
f
(4)=2
(3)
f(x)
+
f
(
x
－3)=
f
［
x(
x
－3)］≤1=
f
(4)
f(x)
在（0，+∞）上单调递增
?
∴
?
x(x?3 )?4
?
x?3?0?
?
?
?
?1?x?4
?3? x?4

?
x?0
?
x?3
∴
x
∈（3，4]
（4）∵
f(xy)?f(x)?f(y)
∴
f(x
n
)?f(
1
x?
4
x
4< br>?
2
x?
4
L
43
?x)?nf(x)
< br>n个
例6.已知函数
f(x)
对于一切正实数
x
、
y
都有
f(xy)?f(x)f(y)
且
x
＞1时，
f(x)
＜1，
(1)求证：
f(x)
＞0；（2）求证：
f(x
? 1
)?[f(x)]
?1

（3）求证：
f(x)
在（0，+∞）上为单调减函数
（4）若
f(m)
=9，试求
m
的值。
分析与简证：由
f(xy)?f(x)f(y)
，
想
：
( x
nn
1
x
2
)?x
n
1
x
2< br>
原型
：
y?x
n
（
n
为常数（
y
=
x
?2
）
猜测
：
f(x)
＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……
(1 )对任意
x
＞0，
f(x)
=
f(x?x)
)=
[ f(x)]
2
≥0
假设存在
y
＞0，使
f(y)
=0，则对任意
x
＞0
f(x)
=f(
f(
x
y
?y)
=
f(
x
y
)f(y)
=0，这与已知矛盾
故对任意
x
＞0，均有
f(x)
＞0
（2）∵
f (x)?f(x?1)?f(x)f(1)
，
f(x)
＞0, ∴
f
(1)=1
∴
f(x)f
(
1
x
) =
f
(
1
x
·
x
)=
f
(1)= 1 ∴
f(x
?1
)?[f(x)]
?1

(3)x
1
、
x
2
∈(0,+∞)，且
x
x
2
1
＜
x
2
，则
x
＞1，∴
f
(
x
2
)＜1，
1
x
1
∴
f(x
x
2
2
)?f(
x
?x)?f(
x
2
1< br>)f(x
1
)?f(x
1
)
即
f(x
2
)?f(x
1
)

1
x
1
∴
f(x)
在（0，+∞）上为单调减函数。 （4）∵
f
(2)=
1
9
，
f
(
m< br>)=9 ∴
f
(2)
f
(
m
)=1
∴< br>f
(2
m
)=1=f(1)，而
f(x)
在(0，+∞)是单 调减函数
6 18
f
(2)=
1
9

∴2
m
=1 即
m
=
1

2
（小结：由抽象函数问题的结构特征，联想已 学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基
本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具 有的性质，可使抽象函数问题顺利获解。）
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6.易错点；
1， 忽略了函数的定义域，造成范围求解是出错。
2， 告知截距相等时，要考虑y=kx的情况，此时截距均为0
3， 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，记得标注该函数的定义域了。
4， 函数连续与可导满足条件的区别
函数连续，要满足①有定义；②任何一点的极限等于函数值。
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函数可导，要满足①连续； ②任何一点的左导数等于右导数
文档收集自网络，仅用于个人学习
5， 设f（x）=x的解集为A,f=f（x）的解集为B;则有
当f（x）单调递增时，A=B
当f（x）单调递减时，AB

7.精题讲解：
例1、在同一坐标系中，函数
y?ax?1
与
y?a



（A） （B）




（C） （D）
例2、设
M?
?
x,y
?
y?x
2
?2bx?1
，
P?
?
x,y
?
y?2a
?x?b
?
，
S?
?
a,b
?
M?P?
?
，则
S
的面积是
（ ）
A. 1 B.
?
C. 4 D. 4
?

x?1
（
a
>0且
a
≠1）的图象可能是
??< br>????
例3、若定义在区间
D
上的函数
f
?
x?
对
D
上的任意
n
个值
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，总满足
1
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
??f
?
x
n
?
?
≤
n
?
x?x
2
??x
n
?
f
?
1
?
，则称
f
?
x
?
为
D
上的凸函数.已知函数
n
? ?
y?sinx
在区间
?
0,
?
?
上是“凸函数” ，则在△
ABC
中，
sinA?sinB?sinC
的最大值是
__ __________________.
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7 18

答案;1，C. 2,B 3,
33
。
2
例4．已知
f(x)?2?log
3
x (1?x?9)
，求
g(x)?[f(x)]
2
?f(x
2
)
的最大值与最小
值。
解：?f(x)?2?log
3
x(1?x ?9),?1?x
2
?9,?1?x?3
?g(x)?(2?log
3
x)
2
?2?log
3
x
2
?log
3
x?6log
3
x?6?(log
3
x?3)
2
?3
2

，
。
?1?x?3,?0?log
3
x?1,?g(x)
max
?13,g(x)
min
?6

例5，设方程
2
?x
?lgx
的两个根为
x
1< br>,x
2
，则 （ ）
A
x
1
x
2
?0
B
x
1
x
2
?1
C
x
1
x
2
?1
D
0?x
1
x
2
?1


由两图象交点的意义，交点的横坐标分别为
x
1
,x
2
,
不妨设
x
1
?< br>?
0,1
?
,x
2
?
?
1,??
?
，利用方程
?
?
1
?
x
1
?
??
??lgx
1
根适合方程，注意绝对值的意义化为
??
2
?

?
x
2
?
?
1
?
?
?
2
?
?lgx
2
?
? ?
如何确定范围？
1
?
2
?
1
?
1?
目标函数变形，
lgx
1
x
2
?
??
?
??
?0,?0?x
1
x
2
?1
，选D.
?
2
??
2
?
xx
例6，
对于三次函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
(a?0)
。
定义：（1）设
f
??
(x)
是函数
y?f(x)的导数
y?f
?
(x)
的导数，若方程
f
??
(x)?0
有实数解
x
0
，则称点
?
x
0
,f(x
0
)
?
为函数
y?f(x)
的“拐点”；
定义：（2）设
x
0
为常数，若定义在
R
上的函数
y?f (x)
对于定义域内的一切实数
x
，都有
f(x
0
?x)? f(x
0
?x)?2f(x
0
)
成立，则函数
y?f(x)
的图象关于点
?
x
0
,f(x
0
)
?对称。
己知
f(x)?x?3x?2x?2
，请回答下列问题：
（1）求函数
f(x)
的“拐点”
A
的坐标
（2）检验函 数
f(x)
的图象是否关于“拐点”
A
对称，对于任意的三次函数写出一个有 关“拐点”的结
论（不必证明）
8 18
32

（3）写出一个三次函数
G(x)
，使得它的“拐点”是
(?1,3)
（不 要过程）
解：（1）依题意，得：
f
?
(x)?3x?6x?2
，
2
?f
??
(x)?6x?6
。……………………2分
由
f
??
(x)?0
，即
6x?6?0
。∴
x?1
，又
f(1)?2
，
∴
f(x)?x?3x?2x?2
的“拐点”坐标是
(1,2)。……………………4分
（2）由(1)知“拐点”坐标是
(1,2)
。
而
f(1?x)? f(1?x)
=
(1?x)?3(1?x)?2(1?x)?2?(1?x)?3(1?x)? 2(1?x)?2


=
2?6x
2
?6 ?6x
2
?4?4?4
=
2f(1)
，
由定义(2)知：
f
?
x
?
?x?3x?2x?2
关于点
(1,2)
对称。
32
3232
32
一般地，三次函数
f
?
x
?
?ax?bx?cx?d
(a?0)
的“拐点”是
?< br>?
32
3
b
??
b
,f(?)
?
， 它就是
f(x)
的
3a
??
3a
32
对称中心。（ 3）
G(x)?a(x?1)?b(x?1)?3(a?0)
或写出一个具体的函数,如
G(x)?x?3x?3x?4
或
G(x)?x?3x?x
。
32

9 18

10 18

11 18

x
1
?x
2
［解析］（Ⅰ））f(x
1
)＋f(x
2
)－2f( )
2


?ax
2
?x?ax
2
?x ?2[a(
x
1
?x
2
)
2
?
x
1
?x
2
]
1122
22


a(x< br>1
?x
2
)
2
?,
2
∵
a
>0,∴
x?x
2
1
[f(x
1
)?f(x
2< br>)]?f(
1
),
22
12 18

∴当
a
>0时,
f
(
x
)为R上的下凸函数. < br>（Ⅱ）∵|
f
(
x
)|≤1,∴－1≤
ax
＋
x
≤1,

??
1
x
2
?
111?a?
2
?.?x?(0,1),
xx
x
2
∴－2≤< br>a
≤0.

［解析］ (1)证明：
f
(
x＋
y
)=
f
(
x
)＋
f
(
y
)(
x
，
y
∈R)， ①
令
x
=y
=0，代入①式，得
f
(0＋0)=
f
(0)＋
f< br>(0)，即
f
(0)=0.
令
y
=－
x
，代入①式，得
f
(
x－
x
)=
f
(
x
)＋
f
(－
x
)，
又
f
(0)=0，则有0=
f
(
x
)＋
f
(－
x
).
即
f
(－
x
)=－
f
(
x
)对任意
x
∈R成立，所以
f(
x
)是奇函数.
(2)解法1：
f
(3)= log
2
3＞0，即
f
(3)＞
f
(0)，
又< br>f
(
x
)在R上是单调函数，所以
f
(
x
) 在R上是增函数，
又由(1)
f
(
x
)是奇函数.


f
(
k
·3)<－
f
(3－9－2)=
f
(－3＋9＋2),
k
·3<－3＋9＋2,
3－(1＋
k
)·3＋2＞0对任意
x
∈R成立.
令t
=3＞0，问题等价于
t
－(1＋
k
)
t
＋ 2＞0对任意
t
＞0恒成立.
1?k
令
f
(
t< br>)=
t
－(1＋
k
)
t
＋2，其对称轴
x< br>=
2
2
2
x
xxxxxxxx
x
x
2
?0
?
1?k
≥0时，对任意
t
>0,
f(
t
)>0恒成立
?
2
当
2
?
??(1?k)?4?2?0
2
?
1?k
当 <0
2
即
k
<－1时，
f
(0)=2>0,符合题意；
?
1?k
解得－1≤
k
<－1＋2
综上所述当
k
<－1＋2
2
时，
f
(
k
·3）＋
f
(
k
·3－9
13 18
xxx

－2）<0
对任意
x
∈R恒成立.
解法2：分离系数由
k
·3<－3＋9＋2
得
k
<3＋ －1,
x
即
u
的最小值为2
2
－1,
2
x
要使
x
∈R不等式
k
<3＋ －1恒成立，只要使
k
<2 －1
2
x
3
［点评 ］抽象函数的问题常用赋值的方式进行研究，其奇偶性与单调性的证明往往依据定义.已知
函数的单调性 及函数值的大小可以转化研究两个值对应的自变量的大小.问题(2)求参数的范围的解法1
是根据函数 的性质利用
f
(
x
)是奇函数且在
x
∈R上是增函数，把问 题转化成二次函数
f
(
t
)=
t
2
－(1＋
k
)
t
＋2对于任意
t
＞0恒成立.对二次函数
f
(
t
)进行研究求解.解法2是利用分离参数转化求函数的最值.
文档
收集 自网络，仅用于个人学习
xxx
x
2
3
例12.（2007·金陵 中学二模题）已知函数
f
(
x
)＝
x
4
＋
ax
3
＋
bx
2
＋
c
，在
y
轴上 的截距为－5，在区
间［0，1］上单调递增，在［1，2］上单调递减，又当
x
＝0 ，
x
＝2时取得极小值.
文档收集自网络，仅用于个人
学习
（Ⅰ）求函数
f
(
x
)的解析式；
（Ⅱ）能否找到函 数
f
(
x
)垂直于
x
轴的对称轴,并证明你的结论;
（Ⅲ）设使关于
x
的方程
f
(
x
)＝
λ
2
x
2
－5恰有三个不同实根的实数
λ
的取值范 围为集合
A
,且两个非零实根为
x
1
、
x
2
.试问：是否存在实数
m
，使得不等式
m
2
＋
tm
＋2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈［－ 3，
3］,
λ
∈
A
恒成立？若存在，求
m
的取值 范围；若不存在，请说明理由.
文档收集自网络，仅用于个人学习
［解析]（Ⅰ）∵函数f( x)＝x
4
＋ax
3
＋bx
2
＋c，在y轴上
的截距为－5, ∴
c
＝－5.
∵函数
f
(
x
)在区间［0，1］上单调递增，在［1，2］上单调递减,
∴
x
＝1时取 得极大值，又当
x
＝0，
x
＝2时函数
f
(
x)取得极小值.
∴
x
＝0，
x
＝1，
x
＝2 为函数
f
(
x
)的三个极值点，
即
f
′(
x
)＝0的三个根为0，1，2，
∴
f
′(
x)＝4
x
3
＋3
ax
2
＋2
bx
＝4
x
(
x
－1)(
x
－2)＝4
x
3
－12
x
2
＋8
x
.
∴
a
＝－4，
b
＝4,
∴函数
f
(< br>x
)的解析式：
f
(
x
)＝
x
4
－ 4
x
3
＋4
x
2
－5.
（Ⅱ）若函数
f
(
x
)存在垂直于
x
轴的对称轴,设对称轴方程为
x
＝
t
,
则
f
(
t
＋
x
)＝
f
(
t
－
x
)对
x
∈R恒成立.
432432
即: (
t
＋
x
)－4(
t
＋
x
)＋4(
t
＋< br>x
)－5＝(
t
－
x
)－4(
t
－
x
)＋4(
t
－
x
)－5.
文档收集自网络，仅用于个
人学习
化简得(
t
－1)
x
3
＋(
t
2
－3
t
＋2)
x
＝0对
x
∈R恒成立.

?
t?1?0
∴
?
t
2
?3t?2?0
∴
t
＝1
?
即函数
f
(
x
)存在垂直于
x
轴的对称轴< br>x
＝1.
（Ⅲ）
x
4
－4
x
3
＋ 4
x
2
－5＝
λ
2
x
2
－5恰好有三个不 同的根，
即
x
4
－4
x
3
＋4
x
2
－
λ
2
x
2
=0恰好有三个不同的根,
即< br>x
2
（
x
2
－4
x
＋4－
λ
2
）＝0，∵
x
＝0是一个根，
14 18

∴方程
x
－4
x
＋4－
λ
＝0应有两个非零的不相等的实数根，
22
∴
Δ
＝16－4(4－λ
)＝4
λ
>0，且
x
1
x
2
＝4－
λ
2
≠0，
∴
λ
≠0，－2，2.
若存在实数
m
，使得不等式
m
2
＋
tm
＋2≤|
x< br>1
－
x
2
|对任意
t
∈［－3，3］,
λ
∈
A
恒成立.

(x
1
?x< br>2
)
2
?4x
1
x
2
＝2|
λ|＞0， ∵|
x
1
－
x
2
|＝
要使
m
2
＋
tm
＋2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈［－3，3］,
λ
∈
A
恒成立,
只要
m
2
＋
t m
＋2≤0对任意
t
∈［－3，3］ 恒成立,
令
g
(
t
)＝
tm
＋
m
2
＋2 , 则
g
(
t
)是关于
t
的线性函数.

?
g(?3)?0
?
1?m?2
?
?
?2?m??1
∴只要 解得
?
g(3)?0
?
2
∴不存在实数
m
，使得不等式
m
＋
tm
＋2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈［－3，3］,
λ
∈
A
恒成立.
［点评］ 考查多项式的导数、函数的图象性质、二次方程根的判断，等价转换、
化归思想等数学思想方法. < br>1
32
例13.（2007·江苏省盐城市）设函数
f
(
x< br>)=
3
ax
＋
bx
＋
cx
(a
<
b
<
c
)，
其图象在点
A
(1 ,
f
(1)),
B
(
m
,
f
(
m
))处的切线的斜率分别为0,－
a
.

b
（Ⅰ）求证：0≤ <1；
a
（Ⅱ）若函数
f
(
x
)的递增区间为［
s
,
t
］，求|
s
－
t
|的取值范围；
（Ⅲ）若当
x
≥k
时（
k
是与
a
,
b
,
c
无 关的常数），恒有
f
′(
x
)＋
a
<0，试求
k
的最小值.
解： （Ⅰ）
f
′(
x
)=
ax
2
＋2
bx< br>＋
c
，由题意及导数的几何意义得


f
′(1)=
a
＋2
b
＋
c
=0， ①


f
′(
m
)=
am
2
＋2
bm
＋
c
=－
a
， ②
又
a
<
b
<
c
，可得4
a
<
a
＋2
b< br>＋
c
<4
c
，即4
a
<0<4
c
， 故
a
<0,
c
>0,

1b
由①得
c
=－
a
－2
b
，代入
a
<
b
<
c
，再由
a
<0，得 ③
???1
3a
将
c
=－
a
－2
b
代入②得
am
2
＋2
bm
－2
b
=0，

即方程
ax
2
＋2
bx
－2
b
=0有实根
2
故其判别式
Δ
=4
b
＋8
ab
≥ 0得 ④
b
由③，④得0≤ <1；
a

（Ⅱ）由
f
′(
x
)=
ax
2
＋2
bx
＋
c
的判别式Δ ′=4
b
2
－4
ac
>0，
2
知方程
f
′(
x
)=
ax
＋2
bx
＋
c
=0(*)有两个不等实根，设为
x
1
,
x
2
，
又由
f
′(1)=
a
＋2b
＋
c
=0知，
x
1
=1为方程（*）的一个实根，
则由根与系数的关系得


22

2b
2b
x
1
＋
x
2
=－ ,∴
x
2
=－ -1， －1<0<
x
1
，
a

当
x
<
x
2
或
x
>
x
1
时，
f
′(
x
)<0； 当
x2
<
x
<
x
1
时，
f
′(
x
)>0，
故函数
f
(
x
)的递增区间为［
x
2
,
x
1
］，
由题设知［
x
2
,
x
1
］=［
s
,
t
］，

2b
a
a
15 18

因此|
s
－
t
|=|
x
1
－
x
2
|=2 ＋ ，
2b
由（Ⅰ）知0≤ <1， 得 |
s
－
t
|的取值范围为［2,4)；
a

Ⅲ）由
f
′(
x
)＋
a
<0，即
ax< br>2
＋2
bx
＋
a
＋
c
<0 ，
即
ax
2
＋2
bx
－2
b
<0 ，
bb
因为
a
<0，则
x
2
?2·x?2·?0,
aa

b
整理得(2
x
－2) ＋
x
2
>0，
a



g(
b
)?(2x?2)
b?x
2
b
aa
设 ，可以看作是关于
a
的一次函数，
文档收集自网络，仅
用于个人学习
由题意
g
( )>0对于0≤ <1恒成立，
由题意，
?
x
2
?2x?2?0,
得x??
g (1)?0,
?

故
?
即
?
2
g(0)?0,
?

?
x?0,

[k,??)?(??,?3?1]?[3?1,??),



故
k
≥
3
－1，因此
k
的最小值为
3
－1.

b
a
b
a
3?1或x?3?1
8，函数与不等式
①恒成立问题
恒成立问题能够很好的考察函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，
在高考中也常常作为压轴题。难度较大，现总结了一些常见方法供同学参考
I确定主元，借助函数单调性解决。
例1、 对于满足|p|
?
2的所有实 数p,求使不等式x
2
+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
解：不等式转化为(x-1)p+x
2
-2x+1>0,
设f(p)= (x-1)p+x
2
-2x+1,
则原题转化为设f(p)= (x-1)p+x
2
-2x+1＞0在[-2，2]上恒成立
2
?
f(?2)?0
?
?
x?4x?3?0
易得
?
即
?
2

f(2)?
?
?
?< br>x?1?0
?
x?3或x?1
解得：
?

x?1或x??1
?
∴x<-1或x>3.
II，转化为二次函数，利用实根分布解决。
例2、 不等式sin
2
x＋acosx＋ a
2
?
1＋cosx对一切x
?
R恒成立，求负数a 的取值范围。
解：原不等即cos
2
x＋（1－a）cosx－a
2
?
0
16 18

令cosx=t，由x
?
R知t
?
[-1，1]，
设f(t)=t
2
＋（1－a）t－a
2

则原题转化为f(t)=t
2
＋（1－a）t－a
2
?
0 在 t
?
[-1，1]上恒成立
?
a?0
?
a?0
?
?
易得
?
f(1)?1?1?a?a
2
?0
?
?
a??2或a?1
?
a
?
-2
?
f(?1)?1?(1?a)?a
2
?0
?
a?0或a?1
?
?
故所求的a的范围为(-
?
,-2].
III，分离变量，借助不等式性质和函数最值解决。
例3．已知数列
{a
n
}
中，
a
n
?6n?5(n?N
*
)
， 设
b
n
?
使得
T
n
?
3
，
T
n
是数列
{b
n
}
的前n项和，求
a
n
a
n?1
m
对所有
n?N
?
都成立的最小正整数 m。（06 湖北卷）
20
mm
分析：
T
n
＜恒成立<= >＞
T
n
max问题转化为求
T
n
的最大值。若求出
T
n
的最大值，则问
2020
题迎刃而解。
解：依题可知
b
n
?
n
311
?
11
?
??
?
?
?
，
a
n
a
n?1
(6n?5)< br>?
6(n?1)?5
?
2
?
6n?56n?1
?11111?
?
?????
故
T
n
?
?
b?
?
?
1????...??
??????
?

2
?
7
??
713
??
6n?56n?1
?1?1
1?
?
11
?
1?
=
?
??< br>。
26n?1
??
11
?
1
1?
易知?
??
p

2
?
6n?1
?
2
11
?
m1m
1?
∴ 要使
?
﹤恒成立，必须满足≤，即m≥10。
n?Ng
??
??< br>26n?1
20220
??
策略四、数形结合，直观求解。
例4、不等式(x-1)
2
a
x 在x
?
(1,2)上恒成立，求a的取值范围。
分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难
y
的，
所以一般来说采用数形结合的方法。
解：设y
1
=(x-1)
2
,y
2
=log
a
x,如右图所示
1
要使对一切x
?
(1,2),y
1
2
恒成立，
显然须a>1, 且log
a
2≥1。
o
?
1?
2
②能成立问题;
17 18
y
1
=(x-1)
y
2
=log
a
x
2
x

能成立问题与恒成立的不同在于恒成立对给定区间 内任何一个数都成立，而能成立则是只要存
在一个数使得不等式成立即可。
文档收集自网络，仅 用于个人学习
常用方法是变量分离 。
例如变量分离后是a>f(x)，则其解为
a>
同理，若是af(x),则其解为a
max
min

若不能分 离变量，化为f(x,a)>0,则其解为
例5.若x在区间（1，+
f(x,a)
m in
>0

上一定存在一点使得xlnx-ax+1<0成立，求a的范围。
解；因为x>1。所以变量分离的
a>lnx+. a>( lnx+)
min

设g(x)= lnx+.
,
因为x>1,所以g(x)>0.所以g(x)的最小值为g(1);
所以a>1.

18 18