高中数学函数典型题目参考答案

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高中数学函数典型题目参考答案
一．与指数函数定义域，值域有关的参数问题。
1. 若函数
f
?
x
?
?
解：由题意得:
2
2
2
x
2
?2ax?a
?1
的定义域为R，求实数a的取值范围。
2
x
2
?2ax?a
?1?0
的解集为R，即
2
x
2
?2 ax?a
?1?2
0
的解集为R，
2
即
x?2a x?a?0
的解集为R，
???
?
2a
?
?4
?< br>?a
?
?0
即
a?a?0

??1?a?0
。
?
实数a的取值范围为
?
?1,0
?
。
2.若 函数
f
?
x
?
?
解：由题意得:
2
2x
2
?2ax?a
?1
的值域为
?
0,??
?
，求实数a的取值范围。
x
2
?2ax?ax
2
?2ax ?a
?1
得取遍大于等于0的一切实数，即
2
得取遍大于等于1的
一 切实数。即
x?2ax?a
得取遍大于等于0的一切实数，令
u?x?2ax?a，即u取遍
大于等于0的一切实数
???
?
2a
?
?4
?
?a
?
?0
即
a?a?0

?a??1或a?0

2
2
22
?
实数a的取值范 围为
?
??,?1
??
0,??
?
。

二．与对数函数定义域，值域有关的参数问题。
1.已知函数
f
?
x
?
?lgax
2
?ax?1

⑴若函数
f
?
x
?
的定义域为R,求实数a的取值范围。
?
0,4
?

⑵若函数
f
?
x
?
的值域为R,求实数a的取值 范围。
?
4,??
?

解：⑴由题意得：
ax?ax?1?0
的解集为R。
① 当a=0时，满足
ax?ax?1?0
的解集为R；
2
2
??
?
a?0
?
a?0
② 当a≠0 时，由
ax?ax?1?0
的解集为R得
?
即
?
2

a?4a?0
??0
?
?
2
∴
?
?
a?0
∴
0?a?4
。综上可知：实数a的取值范围为
?
0,4< br>?
。
?
0?a?4
22
⑵法①：令
u?ax?ax ?1
，则
y?lgu
。由题意得：
u?ax?ax?1
的取值范围为
?
0,??
?
即u得取遍大于0的一切实数。则
?
∴实数a 的取值范围为
?
4,??
?
。
精品
?
a?0?
a?0
即
?
2
∴
a?4
。
?
??0
?
a?4a?0

.
法②：令u?ax?ax?1
，则
y?lgu
。由题意得：
u?ax?ax?1< br>的取值范围为
?
0,??
?
22
?
4a?a
2
?
4a?a
2
?0
即
a
2
?4a?0< br>且
a?0
，∴
a?4
。
即
a?0且
?0，??
?
?
?
,??
?
∴
4a
?< br>4a
?
∴实数a的取值范围为
?
4,??
?
。
2. .已知函数
f
?
x
?
?lgax
2
?2x?1

⑴若函数
f
?
x
?
的定义域为R,求 实数a的取值范围。
?
1,??
?

⑵若函数
f
?
x
?
的值域为R,求实数a的取值范围。
?
0,1
?

解: ⑴由题意得：
ax?2x?1?0
的解集为R。
即不等式
ax?2x?1?0
对一切
x?R
恒成立
?
?
∴实数a的 取值范围为
?
1,??
?

⑵由函数
f
?
x
?
的值域为R得，
u?ax?2x?1
的取值范围为
?
0 ,??
?
，即u能取遍大于0
2
2
2
??
?
a?0
?
??4?4a?0
解得
a?1
。
的一切实数。
①当
a?0
时，
u?2x?1
当且仅当
x
取值为< br>?
?
?
1
?
,??
?
时，u能取遍大于0的 一切实数。
?
2
?
2
②当
a?0
且
?? 4?4a?0
时，
u?ax?2x?1
当且仅当
x
取值为
?
??,x
1
?
?
?1?1?a?1?1?a
?
其中 x?,x?
时，能取遍大于0的一切实
x,??
?
2
?
??
12
??
aa
??
数。此时
0?a?1
。综上可知 ：实数a的取值范围为
?
0,1
?
。
3.对于函数
f(
x
)
?
log
1
(
x
2
?
2
ax?
3)
，解答下述问题：
2
（1）若函数的定义域为R，求实数
a
的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求实数
a
的取值范围；
（3）若函数在
[?1,??)
内有意义，求实数
a
的取值范围；
（4）若函数的定义域为
(??,1)?(3,??)
，求实数
a
的 值；
精品

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（5）若函数的值域为
(??,?1]
，求实数
a
的值；
（6）若函数在
(??,1]
内为增函数，求实数
a
的取值范围.
解.令
u?g(x)?x
2
?2ax?3?(x?a)
2
? 3?a
2
，
①
?u?0对x?R
恒成立，
?u
m in
?
3
?a
2
?
0
??
3
?a ?
3
，
?a
的取值范围是
(?3,3)
；
②这 是一个较难理解的问题。从“
log
a
x
的值域为R”，这点思考，“
log
1
u
的值
2
域为R”等价于“
u?g(x)
能取遍
(0,??)
的一切值”，或理解为“
u?g(x)
的值
域 包含了区间
(0,??)
”
?u?g(x)
的值域为
[3
?a
2
,
??
)
?
(0,
??
),

∴命题等价于
u
min
?
3
?a
2
?
0
?a??
3
或a?
3
，
∴
a
的取值范围是
(??,?3]?[3,??)
；
（3）应注意“在
[?1,??)
内有意义”与定义域的概念是不同的，
命 题等价于“
u?g(x)?0对x?[?1,??)
恒成立”，应按
g(x)
的对称轴
x
0
?a
分类，
?
a??1
?
a??1
?
a??1
?
a??1
?
?
或
?
?
?
或
?
，
2
g(?1)?0a??2
?
?
??4a?12?0
?
?
?3?a?3
?a
的 取值范围是
(?2,3)
；
（4）由定义域的概念知，命题
?
不等 式
x
2
?
2
ax?
3
?
0
的解集 为
{x|x?1或x?3}
，
?x
1
?1,x
2
? 3
是方程
x
2
?2ax?3?0
的两根，
?
x? x?2a
?
?
12
?a?2,
即
a
的值为2； < br>?
x
1
?x
2
?3
（5）由对数函数性质易知：g(x)
的值域为
[2,??)
，由此学生很容易得
g(x)?2
，
但这是不正确的.因为“
g(x)?2
”与“
g(x)
的值域为
[2,??)
”并不等价，后者要
求
g(x)
能取遍
[2, ??)
的一切值（而且不能多取）.
精品

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∵
g (x)
的值域是
[3
?a
2
,
??
)
，∴ 命题
?
[g(x)]
min
?3?a
2
?2?a??1即
a
=±1；
?
g(x)在(??,1]为减函数
?
x?a?1
?
a?1
（6）命题
?
?
，即
?
，
?
?
0
?
g(1)?0
?
a?2
?
g(x)?0对x?(??,1]恒成立
得
a
的取值范围是
[1,2 )
.
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精品