高一数学 函数单调性与最值(含解析)

函数单调性
引入
对于二次函数





，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的



也随

着增大”；在区间（0， ）上，任取两个

，

，得到






，






，当



时，有









.这
时，我们就说函数





在区间（0， ）上是增函数.

一、 函数单调性的判断与证明
1、函数增减性的定义
一般地，设函数



的定义域为 ：
如果对于定义域 内某个区间D上的任意两个自变量的值

，

，当



时，都有









，
那么就说函数在区间D上是增函数（increasing function）
如果对于定义域 内某个区间D上的任意两个自变量的值

，

，当



时，都有









，
那么就说函数在区间D上是减函数（decreasing function）.
【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x
2
－3x C．f(x)＝－
1
D．f(x)＝－|x|
x＋1
3
2
?
3
，＋∞
?
0，
?
时，【解析】选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈
?
f(x)＝x－3x为减函数，当x∈
?
2
??
2
?< br>1
时，f(x)＝x
2
－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为
x＋1
减函数．故选C.
－2x
【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．
x－1
【 解】任取x
1
，x
2
∈(1，＋∞)，且x
1
2
，则g(x
1
)－g(x
2
)＝
－2x
1
－2x
2
2?x
1
－x
2
?
－＝，
x
1
－1x
2
－1?x
1
－1??x
2
－1 ?
因为11
2
，所以x
1
－x
2
<0，(x
1
－1)(x
2
－1)>0，因此g(x
1)－g(x
2
)<0，即g(x
1
)2
)．
故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
【例3】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x
2
＋2x－3|； (3)y＝－x
2
＋2|x|＋1.
?
?
3x， x≥0，
【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝
?
图象如图所示．
?
?
－3x， x<0.
f(x)在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数．

(2)令g(x)＝x
2
＋2x－3＝(x＋1)
2
－4.

先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方
的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x
2
＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；
函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
22
??
?
－ x＋2x＋1，x≥0，
?
－?x－1?＋2，x≥0，
(3)由于y＝
?< br>2
即y＝
?

2
?
－x－2x＋1，x＜0，
?
－?x＋1?＋2，x＜0.
??

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
【例4】求函数y＝x
2
＋x－6的单调区间．
【解】令u＝x
2
＋x－6，y＝x
2
＋x－6可以看作有y＝u与u＝x
2
＋x－6 的复合函数．
由u＝x
2
＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
∵u＝x
2
＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．
∴y＝x
2
＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
【例5】证明：函数





在R上是增函数





【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数





在区间



上是增函数。




【例6】讨论函数







的单调性，请作出当a=1时函数的图像。






【变式2】讨论










的单调性

2、函数的单调区间
如果函数



在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数



在这一区间具有（严格的）
单调性，区间D叫做



的单调区间.
（1）区间端点的确认
函数在其定义域内某一点处的函数 值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义。因此，书写函
数的单调区间时，若函数在区间端点处 有意义，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端
点处无意义，则必须写成开区间。
（2）多个单调区间的写法
当同增（减）单调区间有多个时，区间之间不一定能写成并集。
【注意】一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连 接。

【例7】求下列函数的单调区间：
（1）











；（2）














【变式3】（1）作出函数









的图像，并指出函数



的单调区间
（2）求函数









的单调区间。





【例8】求解下列问题：
（1）求函数





的单调区间
（2）求函数










的单调区间

【练习1】
1、设函数
f(x)
为定 义在
R
上的偶函数，且
f(x)
在
[0,??)
为减函数， 则
f(?2),f(?
?
),f(3)
的大小顺
序
2、
y?f(x)
在(0,2)上是增函数，
y?f(x?2)
是偶 函数，则
f(),f(),f()
的大小关系
3、判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( )
(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )
1
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )
x
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( )
4．(人教A版教材习题改编)函数y＝x
2
－2x(x∈[2,4])的增区间为____ ____．
5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是__ ______．

1
2
5
2
7
2
二、函数最值
1、函数最值定义
一般地，设函数



的定义域为，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的 ，都有




（2）存在

，使得





那么，我么称M是函数



的最大值（maximum value）

请你模仿函数最大值的定义，给出函数



的最小值（minimum value）的定义。






1
?
?
x
，x≥1，
【例9】函数f (x)＝
?
的最大值为________．
?
?
－x
2< br>＋2，x＜1
1
【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1 处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，
x
易知函数f(x)＝－x
2
＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.

【例10】函数





在区间



（ ）上的最大值是1，最小值是

，则

【变式4】函数













的最大值为
【例11】写出函数

的单调区间，并求其最值。





【练习2】
1．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值( )
11
(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为( )
x3
2
2 ．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．
x－1




2、二次函数的单调性与最值
【例12】若函数









的单调区间是



，则实数a的取值范围是






【变式5】若函数









在区间



上单调递减，则实数a的取值范围是

【例13】已知二次函数






（1）当



时，求



的最值
（2）当



时，求



的最值
（3）当



时，求



的最小值














【变式6】设函数





，



， ，求函数



的最小值。







三、小结
1、设x
1
，x
2
∈[a ，b]，如果
[a，b]上是单调递减函数．
2、确定单调性的方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．
(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
3、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自 变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关 的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具
体的不等式求解．此时应特别注 意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.
f?x
1
?－f?x
2
?f?x
1
?－f?x
2
?>0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果<0，则f(x)在
x
1
－x
2
x
1
－x
2

四、课后练习
一、选择题
1．下列说法中正确的有( )
①若x
1
，x2
∈I，当x
1
2
时，f(x
1
)2
)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x
2
在R上是增函数；
11
③函数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
xx
A．0个
C．2个






B．1个
D．3个
【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x
1
，x
2
，强调的是任意，从而①不
1
对；②y＝x
2
在x≥0时是增函数 ，x<0时是减函数，从而y＝x
2
在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在
x1
整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不 是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
x
而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2]
C．[0,2]
B．[－1,0]
D．[2，＋∞)
2
?
?
x－2x，x≥2，
【解析】选A 由于f(x)＝|x－2|x＝
?
2
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
?
－x＋2x，x<2.
?

3．(2015·黑龙江牡丹江月考) 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，
f(x)＝3
x
－1，则( )
1
??
3
??
2
?
A．f
?
?
3
?
?
2
?
?
3
?

2
??
1
??
3
?
C．f
?
?
3
?
?
3
?
?
2
?

2
??
3
??
1
?
B．f
?
?
3
?
?
2
?
?
3
?

3
??
2
??
1
?
D．f
?
?
2
?
?
3
?
?< br>3
?

【解析】选B 由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时 ，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，
3
??
1
??
1
??
1
?
112132
112
1＋
＝f
1－
＝f，又<<<1，∴f
??
＞f
??
>f
??
，即f< br>??
>f
??
>f
??
. ∴f
?
＝f?
2
??
2
??
2
??
2
??
3
??
2
??
3
??
3
??
2
??
3
?
323
4．
?创新题?
定义新运算⊕：当a≥b时 ，a⊕b＝a；当a2
，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕
x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1
C．6
B．1
D．12
【解析】选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当13
－2.∵f(x)＝x－2，f(x)
＝x
3
－2 在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝2
3
－2＝6.
5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )
A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值

－4 ?x≥3?
?
?
【解析】选C y＝|x－3|－|x＋1|＝
?
－2x＋2 ?－1≤x<3?
?
?
4 ?x<－1?

作出图象可求． 6．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞， 0)上单调递增，如果
x
1
＋x
2
<0且x
1
x< br>2
<0，则f(x
1
)＋f(x
2
)的值( )
A．可能为0
C．恒小于0
B．恒大于0
D．可正可负
【解析】选C 由x
1
x
2
<0不妨设x
1
<0， x
2
>0. ∵x
1
＋x
2
<0，∴x
1
<－x
2
<0. 由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇
函数．又由f(x)在 (－∞，0)上单调递增得，f(x
1
)2
)＝－f(x
2
)，所以f(x
1
)＋f(x
2
)<0.故选C.
二、填空题
?
1
??
?
??
x
??
?
1??
?
1
?
>1，即|x|<1，且x≠0.故 －1?
??
x< br>???
x
?
8．已知函数f(x)＝x
2
－2ax－3在区间 [1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
【解析】函数f(x)＝x
2
－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，
画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，
因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，
只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) < br>1，x>0，
?
?
9．设函数f(x)＝
?
0，x＝0，?
?
－1，x<0，
2

g(x)＝x
2
f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________． < br>x，x>1，
?
?
【解析】由题意知g(x)＝
?
0，x＝1 ，
?
?
－x
2
，x<1.

函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．
ax＋1
10．设函数f(x)＝在 区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
x＋2a
ax＋2 a
2
－2a
2
＋12a
2
－1
【解析】f(x)＝ ＝a－，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．
x＋2ax＋2a
2
?
?
2a
2
－1＞0，
?
2a－1＞0，
∴
?
?
?
?a≥1.答案 [1，＋∞)
?
a≥1
?
?
－2a≤－2


三、解答题
x
1
?
11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)满足f
?
?
x
?
＝f(x
1
)－f(x2
)，且当x>1时，f(x)<0.
2
(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
【解】(1)令x
1
＝x
2
>0，代入得f(1)＝f(x
1
)－f(x
1< br>)＝0，故f(1)＝0.
x
1
(2)证明：任取x
1
，x
2
∈(0，＋∞)，且x
1
>x
2
，则>1，由于当x>1 时，f(x)<0，
x
2
x
1
?
所以f
?
?
x
?
<0，即f(x
1
)－f(x
2
)<0， 因此f(x
1
)2
)，
2
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
x
1
?
9
??
由f
?
＝f(x)－f(x )得，f
12
?
x
??
3
?
＝f(9)－f(3) ，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
2
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
2
12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且 当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
3
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
【证明】(1)设x
1>x
2
，则f(x
1
)－f(x
2
)＝f(x
1
－x
2
＋x
2
)－f(x
2
)＝f(x
1
－x
2
)＋f(x
2
)－f(x
2
)＝f(x< br>1
－x
2
)．
又∵当x>0时，f(x)<0，而x
1－x
2
>0，∴f(x
1
－x
2
)<0，即f(x1
)2
)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．函数f(x) 对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a
2
＋a－5)<2.
【解】(1) 设x
1
2
，∴x
2
－x
1
>0，∵当 x>0时，f(x)>1，∴f(x
2
－x
1
)>1.
f(x< br>2
)＝f[(x
2
－x
1
)＋x
1
]＝f( x
2
－x
1
)＋f(x
1
)－1，
∴f(x2
)－f(x
1
)＝f(x
2
－x
1
)－1> 0?f(x
1
)2
)，
∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，