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高中数学-函数零点问题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:53
tags:高中数学函数

高中数学含参数线性规划题-高中数学含参二次函数


函数零点问题
[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型,一般以选择题 、填空题的形式考查,
难度为中档.其考查点有两个方面:一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函 数零点的个
数或取值范围求解参数的取值范围.
常考题型精析
题型一 零点个数与零点区间问题
例1 (1)(湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f (x)=x
2
-3x,则函数g(x)=f(x)
-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}
C.{2-7,1,3}
B.{-3,-1,1,3}
D.{-2-7,1,3}
?
2
x
-a,x<1,
?(2)(北京)设函数f(x)=
?

?
?
4?x-a??x-2a?,x≥1.

①若a=1,则f(x)的最小值为________;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.
点评 确定函数零点的常用方法:
(1)若方程易求解时,用解方程判定法;
(2)数形结合法, 在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手时,
可以转化为某一易入手的等 价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数
式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟 悉的两个函数图象的交点问题求解.
变式训练1 (东营模拟)[x]表示不超过x的最大整数,例如 [2.9]=2,[-4.1]=-5.已知f(x)=
x-[x](x∈R),g(x)=log4
(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是( )
A.1
C.3
B.2
D.4
题型二 由函数零点求参数范围问题
?
|x
2
+5x+4|,x≤0,
?
例2 (天津)已知函数f(x)=
?
若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实
?
2|x-2|,x>0.
?

数a的取值范围为________.
点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:


(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
变式训练2 (北 京东城区模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当
x∈[0,1 ]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实
数a的取值范围是______.
高考题型精练
1.已知x
1
, x
2
是函数f(x)=e
-
x
-|ln x|的两个零点,则( )
1
A.1
x
2
<1
e
C.11
x
2
<10
B.11
x
2
D.e1
x
2
<10
?
?
2-|x |,x≤2,
2.(天津)已知函数f(x)=
?
函数g(x)=b-f(2-x), 其中b∈R,若函数y=f(x)
?
?x-2?
2
,x>2,
?
-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
7
?
A.
?
?
4
,+∞
?

7
0,
?
C.
?
?
4
?
7
-∞,
?
B.
?
4
??
7
?
D.
?
?
4
,2< br>?

?
2
x
-1,x≤1,
?
3.(福州模 拟)已知函数f(x)=
?
则函数f(x)的零点为( )
?
1+logx,x>1,
?
2

1
A.,0
2
1
C.
2
B.-2,0
D.0
4.函数f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为( )
A.4
C.6
B.5
D.7
5.设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A.[-4,-2]
C.[0,2]
B.[-2,0]
D.[2,4]
6.(课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax
3
-3x2
+1,若f(x)存在唯一的零点x
0
,且x
0
>0,则a的 取值
范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,-2)


C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
?
?
log< br>0.5
?x+1?,0≤x<1,
7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f( x)=
?
则关于x的函数F(x)
?
1-|x-3|,x≥1,
?< br>
=f(x)-a(0A.1-2
a

C.1-2
a


B.2
a
-1
D.2
a
-1
1
?
x
3
?
?
?
+,x≥2,
2??
4
8.(北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=
?
若函数g(x)= f(x)-k有两个不同的零
?
?
log
2
x,0点,则实数k的取值范围是__________.
9.已知函数f(x)=log
ax+x-b(a>0,且a≠1),当20
∈ (n,n+
1),n∈N
*
,则n=________.
10.方程2
x
+x
2
=3的实数解的个数为________.
?
?
0,0<x≤1,
11.(江苏)已知函数f(x)=|ln x|,g (x)=
?
2
则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为
?
| x-4|-2,x>1,
?



________.
1 2.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的 方程f(x)
=kx+k+1 (k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是__________.


答案精析
函数零点问题
常考题型精析
1
?
例1 (1)D (2)①-1 ②
?
?
2
,1
?
∪[2,+∞)
解析 (1)令x<0,则-x>0,
所以f(-x)=(-x)
2
+3x=x
2
+3x.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
所以当x<0时,f(x)=-x
2
-3x.
所以当x≥0时,g(x)= x
2
-4x+3.令g(x)=0,即x
2
-4x+3=0,解得x=1或x =3.当x<0时,
g(x)=-x
2
-4x+3.令g(x)=0,即x
2
+4x-3=0,解得x=-2+7>0(舍去)或x=-2-7.
所以函数g(x)有三个零 点,故其集合为{-2-7,1,3}.
?
2
x
-1,x<1,
?
(2)①当a=1时,f(x)=
?

?
4?x-1??x-2?,x≥1.
?

当x<1时,f(x)=2
x
-1∈(-1,1),
当x≥1时,f(x)=4(x
2
-3x+2)
3
1
x-
?
2

?
≥-1, =4
?
?
?
2
?
4
??
∴f(x)
min< br>=-1.
②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:
当f(x)=2
x
-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0.
当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;
当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
当f(x)=2
x
-a,x<1有一个零点时, 01
f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1, 2a≥1,因此≤a<1.
2
?
1
?
综上知实数a的取值范围是< br>?
a|
2
≤a<1或a≥2
?
.
??
变式训练1 B [函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x )与g(x)图象的交点个数,


?
?
x+1,-1≤x<0,
作出函数f(x)=x-[x]=
?
x,0≤x<1,
x-1,1≤x<2,
?
?



与函数g(x)=log
4
(x-1) 的大致图象如图,由
图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个 数是2.]

例2 1解析 画出函数f(x)的图象如图所示.

函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y
1
=a|x|的图象与 函数f(x)的图象有4个交点(根据图象
知需a>0).
当a=2时,函数f(x)的图象 与函数y
1
=a|x|的图象有3个交点.故a<2.
当y=a|x|(x≤0)与 y=|x
2
+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y
1
= a|x|的图象有5
个交点,
?
?
y=-ax,
此时,由
?
得x
2
+(5-a)x+4=0.
2
?
y=-x-5x-4
?

由Δ=0得(5-a)
2
-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),
则当1故实数a的取值范围是122
变式训练2 53
解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.
由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,
设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,



要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,
则 直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足k
AH
AG

由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),
22
所以k
AH
=,k
AG
=,
53
22
所以53
高考题型精练
1. A [在同一坐标系中画出函数y=e
x
与y=|ln x|的图象,结合图象不难看出,它们的两 个
交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即
在x
1
,x
2
中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间( 1,+∞).不妨设x
1
∈(0,1),x
2
∈(1,
+∞),则有 e-x
1
=|ln x
1
|=-ln x
1
∈(e

1,

1),e-x
2
=|ln x
2
|=ln x
2
∈(0,e
1
),e-x
2
-e-x
1


1

ln x
2
+ln x
1
=ln x
1
x
2
∈(-1,0),于是有e
1
1
x
2
0
,即1
x
2
<1.]
e
2.D [方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)
2

当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;
当x<0时,g(x)=b-x
2
,f(x)=2+x.
由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,
所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.
当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g (x)=0可化为x
2
-5x+8=0,无解;
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;
当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x
2
+x+2=0,无解.
所以b≠0,排除答案B.
当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为( x-2)
2
=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1
解;
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;
当x< 0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x
2
=x+2,得x=0(舍去)或x=-1, 有1解.
所以b≠2,排除答案A.
当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)= 0可化为x
2
-5x+7=0,无解;
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;
当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x
2
+x+1=0,无解.


所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.
方法二 记h(x)=-f(2- x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,
?
?
y=x+b′,
当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由
?

?
y=?x-2?
2

?


997
解得b′=-,--(-4)=,
444
7
所以曲线h(x )向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,
4
7
两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)
4
-g(x)恰有4个零点.选D.]
3.D [当x≤1时,由f(x)=2< br>x
-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log
2
x=0,解 得x
1
=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]
2
4.B [∵2sin πx-x+1=0,∴2sin πx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sin πx与y=x
-1有5个交点,
∴f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5.]

5.A [f(0)=4sin 1>0,f(2)=4sin 5-2,由于π<5<2π,
所以sin 5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;
由于f(-1)=4sin(-1)+1 <0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;
5π-2
令x=∈[2,4],
4
5π-25π-2
18-5π< br>5π
5π-2
则f()=4sin -=4-=>0,
42444
而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]
6.B [f′(x)=3ax
2
-6x,
当a=3时,f′(x)=9x
2
-6x=3x(3x-2),


22
则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x ∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)
33
25
=1,f()=>0,则f (x)的大致图象如图1所示.
39

图1
不符合题意,排除A、C.
43
当a=-时,f′(x)=-4x
2
-6x=-2x(2x+3),则当 x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-
32
335
,0)时,f′(x) >0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致
224
图象如图2所示.

图2
不符合题意,排除D.]
7.A [当0≤x<1时,f(x)≤0.
由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.

函数F(x)=f(x)-a有5个零点.
当-1所 以f(-x)=log
0.5
(-x+1)=-log
2
(1-x),
即f(x)=log
2
(1-x),-1由f(x)=log
2
(1-x)=a,
解得x=1-2
a

因为函数f(x)为奇函数,
所以函数F(x)=f(x)-a(0a
.]
3
?
8.
?
?
4
,1
?


解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点 ,只需y=f(x)与y=k
3
?
的图象有两个不同交点,则图易知k∈
?< br>?
4
,1
?
.

9.2
解析 由于2故f(1)=log
a
1+1-b=1-b<0,
而0a
2<1,2-b∈(-2,-1),
故f(2)=log
a
2+2-b<0,
又log
a
3∈(1,2),3-b∈(-1,0),
故f(3)=log
a
3+3-b>0,
因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.
10.2
1

解析 方程变形为3-x
2
=2
x
=()
x

2
1
令y
1
=3-x
2
,y
2
=()
x< br>.
2
如图所示,由图象可知有2个交点.

11.4
解析 令h(x)=f(x)+g(x),
-ln x,0<x≤1,
?
?
则h(x)=
?
-x
2
+ln x+2,1<x<2,
?
?
x
2
+ln x-6,x≥2.


1
1-2x
2
当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故 当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系
xx
中画出y=|h(x)|和y=1的图象 如图所示.


由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.
1
-,0
?
12.
?
?
3
?
解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,

∴函数y= k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,
即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,
0-1
11
故 k
AB
AB
==-,∴-33
2-?-1?

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