高中数学导函数及其应用

学员个性化教学方案
授课时间： 2012 年 12月 16 日 学科： 数学 授课方式： 一对一 授课老师：丁红 老师
学员姓名 凤来仪 年级 高三 性别 女 总课时 次 第 1 次授课
教学主题： 导数与函数
教学目标： 理解导数定义，熟练使用求导法则，掌握导数基本应用
重点难点： 导数应用
一 、导数的定义：设函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义，如果
?x?0
时，
?y
与
?x
的比
平均变化率）有极限 即
记作
y
'
?y
（也叫函数的
?x
x?x
0
?y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)
在x?x
0
处的导数，
?x
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
'
，即
f(x
0
)?lim
．
?x?0
?x
二、常见函数的导数公式：
C
'
?0
；
(x
n
)'?nx
n?1
；
(e
x
)'?e
x

(a
x
)'?a
x
lna
；
(lnx)'?
1
11

(log
a
x)'?log
a
e
=；
x
x
xlna
(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx

和差的导数：
[u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)
．
积的导数：
[u(x)v(x)]
?
?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
,
'''
?
u
?
u'v?uv'
商的导数：
???(v?0)
．
2
v
?
v
?
?
?f
?
?
g(x)
?
?g
?
(x)

fg(x)
?
复合求导： 若
y?f
?
g(x)
?
，则
y
?
?
?
??
??
巩固
求下列函数的导数，(1)
y
=sin
x
+sin3
x
；（2）
y?
33
'
sin2x
2
2
;( 3)
log
a
(x?2)
（4）
ln(2x?3x?1)

2x?1
三、导数应用
（一）曲线的切线
例题：求曲线
y?





巩固 1、已知直线
y?kx
是
y?x?2
的切线，则切点坐标为______ __
2、函数
f(x)?x?4x?5
的图像在
x?1
处的切线在 x轴上的截距为_____________
3
3
2x
在点（1，1）处的切线方程.
2
x?1

（二）用导数研究函数的单调性
1．利用导数求函数的单调区间
（1）求
f
?
(x)
；（ 2）确定
f
?
(x)
在
(a,b)
内符号；（3）若
f
?
(x)?0
在
(a,b)
上恒成立，则
f(x)在
(a,b)
上是增函
数；
若
f
?
(x)? 0
在
(a,b)
上恒成立，则
f(x)
在
(a,b)
上是减函数

例题：设函数
f(x)?





巩固
1、已知函数
f(x)?x?ax?x?1
，
a?R
．
①讨论函数
f(x)
的单调区间；
32
1
3
x? (1?a)x
2
?4ax?24a
，其中常数
a?1
.讨论
f(x)
的单调性;
3
?
?
内是减函数，求
a
的取值范围． ②设函数
f(x)
在区间
?
?，



2、已知函数
f(x)?x?






2．已知函数的单调性，利用导数求参量
例题：
f(x)??
?
2
?
3
1
?
3
?
2
?a(2?lnx),( a?0)
，讨论
f(x)
的单调性.
x
1
2
x? bln(x?2)
在
(-1,+?)
上是减函数，则
b
的取值范围是
2
A.
[?1,??)
B.
(?1,??)
C.
(??,?1]
D.
(??,?1)

巩固
1 、已知
a?0
,函数
f(x)?x?ax
在
[1,??)
上 时单调函数，则
a
的取值范围是____________+
2、已知函数
f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b

(a,b ?R)
．若函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上不单调，求
a
的取
．．．
值范围．


（三）导数研究函数的极值
1极大值： 一般地，设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义 ，如果对
x
0
附近的所有的点，都有
f(x)?f(x
0
)
，就说
f(x
0
)
3
32
是函数
f(x)
的一个极大值，记作
f
极大值
(x)?f(x
0
)
，
x
0
是极大值点；相反则是极小值点。
3极大值与极小值统称为极值
（1）极值不是最值；（2）极值不唯一的；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系；（4）极值 点在区间内部，
端点不是极值点
4判别
f(x
0
)
是极大 、极小值的方法：若
x
0
满足
f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)
的
极值点
5 求函数
f(x)
的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数
f
?
(x)
； (2)求方程
f
?
(x)?0
的根；
(3)列表定号，如果左正右负—极大值；如果左负右正—极小值；如果左右同号—无极值
三、强化训练（课后作业）
1
3
x?2x?1
的导函数，则
f
?
(?1)
的值是 。
3
1< br>2、已知函数
y?f(x)
的图象在点
M(1，f(1))
处的切线方 程是
y?x?2
，则
f(1)?f
?
(1)?
。
2
1、
f
?
(x)
是
f(x)?
32
3、已知曲线C：
y?x?3x?2x
，直线
l:y?kx
，且直线
l
与曲线C相切于点
?
x
0
,y
0
?x
0
?0
，求直线
l
的
方程及切点坐标。
x
2
1
4、已知曲线
y?
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
4
2
A．1
3

2
B．2 C．3 D．4
5、 曲线
y?x?3x?1
在点（1，－1）处的切线方程为（ ）
A．
y?3x?4
B．
y??3x?2
C．
y??4x?3
D．
y?4x?5

6、 函数
y?(x?1)(x?1)
在
x?1
处的导数等于 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2
7、 已知函数
f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)
的解析式可能为 （ ）
A．
f(x)?(x?1)?3(x?1)
B．
f(x)?2(x?1)
C．
f(x)?2(x?1)
D．
f(x)?x?1

3
22
8、 在函数
y?x?8x
的图象上，其切线的倾斜角小于
A．3 B．2 C．1
?
的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
4
D．0
9、已知 曲线
y?
10、已知
f
(n)
1
3
4
x?
，则过点
P(2,4)
“改为在点
P(2,4)
”的切线方程是__ _。
33
(x)
是对函数
f(x)
连续进行n次求导，若
f(x)?x
6
?x
5
，对于任意
x?R
，都有
f
(n)
(x)
=0，则n
的最少值为 。
11、曲 线
f(x)?x?ax?b
与直线
y?2x
相切于点
(2,4),则
a?______
,
b?______

12、设
f(x)?(ax?b)sinx?(cx?d)cosx,
若
f
?
(x)? x?cosx
，
则
a?______
,
b?______

c?______
,
d?______

13、设
t?0
，点P（
t
，0）是函数
f(x)?x?ax与g(x)?bx?c
的图象的一个公共点，两函数的图象在点P
处有相同的切线。
（1）用
t
表示
a,b,c
；
（2）若函数
y? f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，求
t
的取值范围。
32
2
教师
课后
总结




学员签字： 教务主任签字： 教师签字：