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学科教师辅导讲义
年 级:高一
辅导科目:数学 学科教师:
课 题
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
函数的周期性
掌握周期函数的定义及最小正周期的意义
了解常见的具有周期性的抽象函数
函数的基本性质,如函数的定义域值域,单调性
,奇偶性,求最值等一直是高考中的重点
与难点,常以二次函数、指数函数、对数函数和三角函数为载体
与不等式、平面向量、解
析几何、线性规划、数列、概率,甚至立体几何联系起来,也以实际应用题形式
考查。高
考中对函数性质应用的情景和方法考查的也越来越新,越来越灵活,所以切实掌握好函数
性质的基本方法和技巧,才能以不变应万变。
教学内容
一、基础知识点:
1
.
周期函数的定义:对于
f(x)
定义域内的每一个
x
,都存在非零
常数
T
,使得
f(x?T)?f(x)
恒成立,则称函数
f(x)
具有周期性,
T
叫做
f(x)
的一个周期,
则
k
T
(
k?Z,k?0
)也是
f(x)
的周期,所有周期中的最小正数
叫
f(x)
的最小正周期.
2.
几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:
函数
y?f
?
x
?
满足对定义域内任一实数
x
(其中
a
为常数)
,
1.
f
?
x
?
?f
?
x?a?
,则
y?f
?
x
?
是以
T?a
为周
期的周期函数;
2.
f
?
x?a
?
??f
?
x
?
,则
f
?
x
?
是以
T?2a
为周期的周期函数;
3.
f
?
x?a
?
??
4.
f?
x?a
?
?f
?
x?a
?
,则
f<
br>?
x
?
是以
T?2a
为周期的周期函数;
5.
f(x?a)?
1
,则
f
?
x
?
是以
T?2a
为周期的周期函数;
f?
x
?
1?f(x)
,则
f
?
x
?<
br>是以
T?2a
为周期的周期函数.
1?f(x)
6.
f(x?a)??
7.
f(x?a)?
1?f(x)
,则
f
?
x
?
是以
T?4a
为周期的周期函数.
1?f(x)
1?f(x)
,则
f
?
x
?
是以
T?4a
为周期的周期函数.
1?f(x)
8. 函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(
a?x)
(
a?0
),若
f(x)
为奇函数,则其周期为
T
?4a
,
若
f(x)
为偶函数,则其周期为
T?2a
.
9.函数
y?f(x)?
x?R
?
的图象关于直线
x?a
和
x?b
?
a?b
?
都对称,则函数
f(x)
是以
2
?
b?a
?
为周期的周期函数;
10.函数
y?f(x)
?
x?
R
?
的图象关于两点
A
?
a,y
0
?
、<
br>B
?
b,y
0
??
a?b
?
都对称,则函数
f(x)
是以
2
?
b?a
?
为周期的周
期
函数;
11.函数
y?f
(x)
?
x?R
?
的图象关于
A
?
a,y
0
?
和直线
x?b
?
a?b
?
都对称,则函数f(x)
是以
4
?
b?a
?
为周期的周期
函数
;
二、主要方法:
1.
判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定
义域中任意的
x
恒有
f(x?T)?f(x)
;
二是能找到适合这一等式的非零常数
T
,一般来说,周期函数的定义域均为无限集.
2.
解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还
要注意根据所要解决的问
题的特征来进行赋值。
三、典型例题分析:
1.已知定义在
R
上的奇函数<
br>f(x)
满足
f(x?2)??f(x)
,则
f(6)
的值为
A.
?1
B.
0
C.
1
D.
2
2.
?
1
?
设
f(x)
的最小正周期
T?2
且
f(x)
为偶函数, <
br>它在区间
?
0,1
?
上的图象如右图所示的线段
AB
,则在区间
?
1,2
?
上,
y
A
?
2
?
1
?
B
0
1
2
x
f(x)?
_______
?
2
?
已知函数
f(x)
是周期为
2
的函数,当
?1?x?1
时,
f(x)?x
2<
br>?1
,
当
19?x?21
时,
f(x)
的解析式是
________
?
3
?
f
?
x
?
是定义在
R
上的以
2
为周期的函数,对
k?Z<
br>,用
I
k
表示区间
?
2k?1,2k?1
?
,
2
已知当
x?I
0
时,
f
?
x
?
?x
,求
f
?
x
?
在
I
k<
br>上的解析式。
3.
?
1
?
定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足
f
?
x
?
?f
?
x?2<
br>?
,当
x?
?
3,5
?
时,
f
?
x
?
?2?x?4
,则
?
?
?
A.
f
?
sin
?
?
6
??<
br>2
?
?
C.
f
?
cos
3
?
?
??
f
?
cos
?
;
B.
f
?
sin1
?
?f
?
cos1
?
;
6
??
2
?
???
?fsin
???
D.
f
?
cos2
?
?f
?
sin2?
3
???
?
2
?
设
f(x)<
br>是定义在
R
上以
6
为周期的函数,
f(x)
在
(0,3)
内单调递减,
且
y?f(x)
的图像关于直线
x?3
对称,则下面正确的结论是
A.
f(1.5)?f(3.5)?f(6.5)
B.
f(3.5)?f(1.5)?f(6.5)
C.
f(6.5)?f(3.5)?f(1.5)
D.
f(3.5)?f(6.5)?f(1.5)
4.定义在
R
上的函数
f
?
x
?
,对任意
x?R
,有
f
?
x?y
?
?f
?
x?y
?
?2f
?
x
?
f
?
y
?
,且
f
?
0
?
?0
,
?
1
?
求证:
f
?
0
?
?1
;
?
2
?
判断
f
?
x
?
的奇偶性;
?
?
3
?
若存在非零常数
c
,使f
?
②函数
f
?
x
?
是不是周期函数,为什么?
c<
br>?
?
?0
,①证明对任意
x?R
都有
f
?<
br>x?c
?
??f
?
x
?
成立;
?
2
?
四、课后习题:
p
1.
若存在常数
p?0
,使得函数<
br>f(x)
满足
f(px)?f(px?)
?
x?R
?
,
2
f(x)
的一个正周期为
2.
设函数
f
?
x
?
(
x?R
)是以
3
为周期的奇函数,且
f
?
1
?
?
1,f
?
2
?
?a
,则
A.
a?2
B.
a??2
C.
a?1
D.
a??1
3.
函数
f(x)
既是定义域为
R
的偶函数,又
是以
2
为周期的周期函数,若
f(x)
在
?
?1,0
?
上
是减函数,那么
f(x)
在
?
2,3
?
上是
A.
增函数
B.
减函数
C.
先增后减函数
D.
先减后增函数
<
br>4.
设
f(x)?
x?1
,记
f
n
(x)?
f{f[f???f(x)]}
,则
f
2007
(x)?
14243
x?1
n个f
5.已知函数
f(x)
的图象关于点
?
?
f(1)?f(2)?f(3)?
…
?f(2006)
的值
3
?
3
?
,0
?
对称,且满足
f(x)??f(
x?)
,又
f(?1)?1
,
f(0)??2
,求
2
?
4
?
6
f(x)
是定义在
R
上的以
3
为周期
的奇函数,且
f(2)?0
在区间
?
0,6
?
内解
的个数的最小值是
A.
2
B.3
C.
4
D.
5
<
br>7.定义在
R
上的函数
f(x)
既是奇函数,又是周期函数,
T
是它的一个正周期.
若将方程
f(x)?0
在闭区间
[
?T,T]
上的根的个数记为
n
,则
n
可能为
A.
0
B.
1
C.3
D.5
8
.
已知函数
f(x)
为
R
上的奇函数,且满足
f(x?2)??f(
x)
,
当
0?x?1
时,
f(x)?x
,则
f(
7.5)
等于( )
A.0.5
B.
?0.5
C.
1.5
D.
?1.5
9
.
函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足条件
f?
x?2
?
?
则
f
1
,若
f
?
1
?
??5
,
f
?
x
?
?<
br>f
?
5
?
?
?
10 已知
f(x)
是周期为
2
的奇函数,当
0?x?1
时,
f(x)?lgx.
635
522
A.a?b?c
B.b?a?c
C.c?b?a
D.c?a?b
设
a?f(),b?f(),c?f(),
则
11定义在
R
上的函数
f(x)
既是偶函数又是周期函数,若
f(
x)
的最小正周期
是
?
,且当
x?[0,
?
2<
br>]
时,
f(x)?sinx
,则
f(
5
?
)
的值为
3
3
2
A.
?
1
2
1
B.
2
C.
?
D.
3
2
12.设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,且
y?f(x)
的图象关于直线
x?
对称,则
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)
?
____________
1
2
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