高一数学-重要知识点及典型例题-函数

高中数学重要知识点及典型例题—函数
函 数
一 、知识网络





















反函数 反函数与原函数的关系
集
合
函
数
映
射
二 、重要知识点及典型例题
1. 映射的概念：（任意对唯一）设
f:A?B

① A中所有元素都有象（在B中），并且象是唯一的；
② B中的元素未必有原象（在A中），允许B中的元素有剩余.
函数的概念: （任意对唯一）
函数的三要素: 对应关系,定义域,值域是函数的三要素,缺一不可.
．．．
☆☆ 复合函数的定义域求法：若
y?f(x)
的定义域为[a,b],则
y?f[g(x) ]
的定义域即为
a?g(x)?b
的解集.若
y?f[g(x)]
的 定义域为[a,b]，则
y?f(x)
的定义域即为
g(x)
在[a,b]的
值域. (相同的对应法则整体自变量的取值范围不变)
2.求函数解析式的方法:
(1)代入法:已知一个函数的解析式,求另外的解析式,直接代入.已知
f(x)?x?1
,求
2

初等函数、幂,指,对数、三角函数
函数的三要素
定义域、值域
对应法则
数,式的大
小比较


函数的概念和性质
函数记号及表示法 函数的图象 函数的性质
解析法、表格
法、图象法
平移、翻折
对称、伸缩
单调性
最值
应 用
方程的解法
与讨论
不等式的解法
与讨论
生产实际中
的应用
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f(x?x
2
)
.
☆(2)待定系数法:已知函数的类型,要求 函数解析式时,可根据类型设其解析式,从而确定系数即可.
如:已知
f(x)
是一次函数,且
f[f(x)]?4x?3
,求
f(x)
.
(3)拼凑法:已知y =?[g (x)]的解析式,要求y =?(x)时,可从y =?[g (x)]的解析式中拼凑出“g (x)”,即用g (x)
来表示,再将两边的g (x)用x代替即可. 如:已知:
f(x?1)?x?2x
,求f (x).
☆(4)换元法:象上面的题目,也可以令
t?g(x)
,再求出
f(t)
的 解析式,然后用x代替所有的t即可得
到所求函数的解析式.
(5)方程组法（消去法）:根据题目中的条件,列出所求的y =?(x)所满足的方程组,通过解方程组得到问
题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性. 如:已知
f(x)?2f()?3x?2
,求?(x).
3..函数的图象作法
(1)描点法:①列表;②描点;③用光滑的曲线连线.
(2)变换作图法:

一个函数图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象, 平移、对称、翻
折、伸缩是图象的四种基本变换:
1)平移变换,主要有
☆ ①水平平移:
y?f(x?a)(a?0)
的图象,可由
y?f(x)
的图象 向左
(?a)
或者向右
(?a)
平
移（左加右减）
a
个单位得到; 水平平移不改变函数的值域.
☆②上下平移:
y?f(x)?b(b?0)
的图象,可由
y?f(x)
的图象向上
(?b)
或者向下
( ?b)
平
移（上加下减）
b
个单位得到. 竖直平移不改变函数的定义域.
2)对称变换（函数的对称性）主要有
☆①
y?f(?x)
与
y? f(x)
的图象关于
y
轴对称;
☆②
y??f(x)
与< br>y?f(x)
的图象关于
x
轴对称;
☆③
y??f(?x)
与
y?f(x)
的图象关于原点对称; ☆④
y?f
⑤
y??f
?1
1
x
(x)
与
y?f(x)
的图象关于直线
y?x
对称;
?1
(? x)
与
y?f(x)
的图象关于直线
y??x
对称;
☆⑥
y?f(2a?x)
与
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称;
若
f(x)?f(2a?x)
(或者
f(a?x)?f(a?x))
则
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称;
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⑦
y?2b?f(x)
与
y?f(x)
的图象关于
y?b
对称;
⑧
y?2b? f(2a?x)
与
y?f(x)
的图象关于点
(a,b)
对称; < br>⑨若存在常数
a,b
,使得对于函数
f(x)
的定义域内的每一个x,x?a,b?x
仍在定义域内,且
f(a?x)?f(b?x)
,则
f(x)
的图象关于直线
x?
☆3)翻折变换,主要有
a?b
对称.
2
①
y?f(|x|)
的图象在
y
轴的右侧
(x?0)
的部分与
y?f(x)
的图象相同,在
y
轴左侧部分与
其右侧部分关于
y
轴对称;
②
y?|f( x)|
的图象在
x
轴的上方部分与
y?f(x)
的图象相同,其他部 分图象为
y?f(x)
图象
在
x
轴下方部分关于
x
轴的对称图形.
☆4)伸缩变换,主要有（三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)?B
中）
①
y?af(x)(a?0)
的图象,可将
y?f(x)
的图象上每点的纵坐标伸长
(a?1)
或缩短
(0?a ?1)
为原来的
a
倍(横坐标不变)而得到;
②
y?f(ax)( a?0)
的图象,可将
y?f(x)
的图象上每点的横坐标伸长
(0?a?1 )
或缩短
1
(a?1)
为原来的倍(纵坐标不变)而得到.
a
4. 函数值域（最值）的求法:
(1)观察法:直接根据函数表达式得到函数的值域. 如:求函数
y?
(2)不等式法(部分分式法):根据不等式的性质直接推导得到值域.
如:求函数
y?
4?x
2
的值域.
2x?1
(1?x?2)
的值域.
x?1
☆(3)反表示法(反函数法):将函数表示成另一种形式求值域.
如:求函数
y?
x?1
(x??4)
的值域.
x?2☆(4)中间变量法（方程思想）:借助于中间变量来解决问题.(中间变量的范围已知).
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x
2
?4a
x
?1
(a?0且a?1)
的值域. 如:求函数
y?
2
、
f(x)?
x
x?1a?1
( 5)配方法:通过配成完全平方来求解.如:求函数
y?x?2x?3
的值域.
☆(6)图象法（数形结合法）:根据函数的图象得到函数值域的求解.
如：求
y? |x?3|?|x?1|;钩形函数y?x?
2
(1?x?2)
函数的值域
x
☆(7)换元法:通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.(注意变元的取值范围不 能
改变) 如:求函数
y?2x?x?1
、
y?4
x?
1< br>2
?3?2
x
?5,x?[0,2]
的值域.
2
(8)判别式法:借助于二次函数的判别式来求函数的值域. 如:求函数
y?
2x
2
?2x?5
的值域.
x?x?1
☆5 函数的单调性: 函数的单调性是一个局部概念:单调区间在变换的时候,不 能交,也不能并,在写
法上一定要注意规范性.
（1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意—作差变形—判断正负—得出结论）
（2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域
2
x?3x?2
如：求函数
y??x?2|x|?3
，
y?log
0
，
y? sin(?
.7
2
3
??
x?)
的单调区间
24
（3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等
☆6 函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）
①
f(x)
是偶函数
?< br>对于任意的
x?D,f(?x)?f(x)
恒成立
?
f(x)
的图像关于
y
轴对称
②
f(x)
是奇函数
?
对于 任意的
x?D,f(?x)??f(x)
恒成立
?
f(x)
的图像关 于原点（0，0）
轴对称， ☆ 奇函数若在
x?0
处有意义则
f(0)? 0
；有时用
f(?x)?f(x)?0
来判断奇偶性
☆③奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性
☆7函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）
f(x?2T)?f(x)
或
f(T?x)?f(x?T)
是周期为2T的周期函数
如：
f(x?a)??f(x);f(x?a)?
8 反函数
(1)
f(x),f
?1
1
等
f(x)
(x)
的定义域与值域互换
?1
☆ (2)
f(m)?n?f(n)?m
）
☆（3）y = f ( x )与y = f
1
( x )有相同的单调性、奇偶性（奇）
－
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(4) 函数y = f ( x )的图象关于直线y = x对称
?
f
1
( x )= f ( x )
?
f(x)
为自反函数
－
（5）若函数y = f ( x )是单调递增函数,则y = f ( x )与y = f
1
( x )的图象的交点必在直线y = x.
(注意:原函数与反函数的图象交点并不一定在直线y = x上)
－
附1 ☆☆专题一、 一元二次函数在闭区间上的最值
二 次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种 情况：
(1)若
?
b
＜p，则f(x)在区间[p，q]上是增函数，则f (x
)min
=f(p)、f(x)
max
=f(q)
2a
bb
≤q，则f(x)
min
=f(
?
) 此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
2a2a
p?qp?q
bb
＜时，f(x)
max
=f(q) ②当＜
?
＜q，则f(x)
max
=f(p)
2a222a
(2)若p≤
?
①当p≤
?
(3)若
?
b
≥q， 则f(x)在区间[p，q]上是减函数，则f(x)
min
=f(q)，f(x)
m ax
=f(p)。
2a
三类型：定区间定轴；定区间动轴；定轴动区间
附2 专题二、 一元二次方程的实根分布
二次方程实根的分布问题， 就是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题，
因此，理解交点及二次函数系数（a ─开口方向，a、b—对称轴，c—图象与y轴的交点）的几何意义，
掌握二次函数图象的特点，是解决 此类问题的关健。
设f(x)＝ax
2
＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或
由韦达定理来确定．
如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x) ＝０在区间（m,n）
内必有一个实数根．
9指、对数
(1)指数与对数:分数指数幂: 正数的正分数指数幂的意义：
a?a(a?0,m,n? N*,且n?1
),
a
m
n
n
m
?
mn
?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N*,且n?1)< br>.
对数: 一般地,如果a (a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a
b
=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,
记作:
log
a
N=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. ☆
log
a
1?0,log
a
a?1(a?0,a?1)
;
☆对数恒等式:
a
log
a
N
?N
; ☆对数换底公式:
log
a
N?
log
b
N
; 常用对数
lgN
,自然对数
log
b
a
lnN
. ☆ 关系式:
log
a
N=b
?
a
b
=N;
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☆指数的运算性质（1）
a?a=a
；
(2)
(a)=a
;
(3)
(a·b)=a?b(a>0,b>0,m,n∈
mnm+nmnm?nnnn
R).

☆对数的运算性质: 若
a
>0,
a
≠ 1，M>0，N>0，则:①log
a
(MN)=log
a
M+ log
a
N;
②
log
a
Mm
（n∈R）.
④
log
a
n
b
m
?log
a
b (a?0,a?1,b?0)

?log
a
M?log
a
N
; ③log
a
M
n
=nlog
a
M
Nn
指数函数 对数函数
(2) 指数函数与对数函数:
名称
一般形式
定义域
值域
y?a
x
（
a?0
且
a?1
）
（－∞，＋∞）
（0，＋∞）

y
y=a
x

y=a
x

(0(a>1)
y?log
a
x
（
a?0
且
a?1
）
（0，＋∞）
（－∞，＋∞）

y
y=log
a
x
(a>1)
O
1
y=log
a
x
(0x
图象
1
x
O
单调性
图象
当
a?1
时,函数在R上为增函数; 当
a?1
时,函数在（0，＋∞)上为增函数;
当
0?a?1
时,函数在R上为减函数. 当
0?a?1
时,函数在(0，＋∞)上为减函数.
y?a
x
的图 象与
y?log
a
x
图象关于直线
y?x
对称.
☆(3) 幂、对数的大小比较（注意底数是参数时的分类）
(1)底数相同,指数（真数）不同的两个幂的大小比较（函数单调性法）
(2)底数不同,指数（真数）相同的两个幂的大小比较（作商法）（利用换底公式）
(3)底数与指数（真数）都不同的两个幂的大小比较（中间值法）
10 三角函数
（1）三角的化简（注意“变”）
☆巧变角、变函数名；活用公式（同角、和差、倍角及变形公式）
☆（2）三角函数的最值
①
y?asinx?bcosx
型（和差公式）③
y?asinx?bcos x?c
型（“1”的代换）
②
y?asinx?bsinxcosx?ccosx< br>型（倍角公式将次）④
y?
22
2
asinx?b
型（化①）
ccosx?d
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⑤
y?a(sinx?co sx)?bsinxcosx?c
型（换元令
sinx?cosx?t
化为二次函数）

（3）三角函数的图象的变换和性质（用上面的方法化为
y?Asin(
?
x?
?
)?B
）
对称轴、对称中心，☆单调区间，周期用公式，☆图象的变换

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