高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性
一、函数单调性知识结构

【知识网络】
1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用
二、重点叙述
1. 函数单调性定义
(一)函数单调性概念
(1)增减函数定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值x1
、x
2
:
如果当
x
1
＜
x
2
时,都有f(
x
) ＜f(
x
2
),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;
1
如果当
x
1
＜
x
2
时,都有f(
x
) ＞f(
x
2
),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就 说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的
单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延
⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的
x
1
、
x
2
∈D,
1
①
x
1
＜
x
2
,且f(
x
) ＜f(
x
2
),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)
1
② y=f(x)在区间D上是增函数,且
x
1
＜
x
2
, f(
x
) ＜f(
x
2
) (可用于比较函数值的大小)
1
③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(
x
) ＜f(
x
2
),
x
1
＜
x
2
。(可用于比较自变量值的大小)
2. 函数单调性证明方法
证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数 单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函
数或不易求导的函数的单调性。 < br>(1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比< br>1

较)。
⑴转化为求差比较证明程序:
①设任意的
x
、
x
∈D,使
x
1
＜
x
2

②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
③下明确结论。
⑵转化为求商比较证明程序:
①设任意的x
1
、x
2
∈D,使
x
1
＜
x
2
;
②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。
求商:; 变形:化简、因式分解; 判断:小于或大于1。
③下明确结论,要注意商的分母的正负。
(2)导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。
设可导函数在定义域的某个区 间(a,b)内,如果
f
?
?
x
?
?0
,那么函数 f(x)在这个区间内单调递增;如果
f
?
?
x
?
?0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。
求导证明函数单调性的程序:
①求函数的导数;
②把导函数
f
?
?
x
?
变形,化简,因式分解,判断正负;
③下明确结论。
3. 函数单调性的判断方法 (1)判断函数单调性的方法:①定义法(即比较法);②图象法;③复合函数单调性判断法则;④运算法;⑤导数法。
实际上,用导数方法证明,求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是 基本方法,常用来判
定解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(2)判断函数单调性的一些常用的结论:
①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③单调函数必有反函数(现教材没此概念),且单调性一致;
④函数是奇函数,在某区间上递增;则在对称区间上是递减。
(3)函数单调性判断方法介绍
[1]、图象法:画函数y=f(x)的图象,看在某区间D上,y的值随x值的增大而增大还是减少, 从而做出
函数单调性的判断。
[2]、定义法:利用增减函数的定义判断。在判断过程中,把 数式的大小比较转化为求差比较(或求商比
较)。
⑴转化为求差比较判断程序:
①设任意的x
1
、x
2
∈D,使
x
1
＜
x
2

②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形多要“因式分解”。
求差:;变形:化简、因式分解;判断:的符号正或负。
③下明确结论。
⑵转化为求商比较判断程序:
①设任意的x
1
、x
2
∈D,使
x
1
＜
x
2
;
②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。
求商:; 变形:化简、因式分解; 判断:小于或大于1。
③下明确结论,要注意商的分母的正负。
[3]、复合法:复合函数y=f(g(x))在某区间D上的单调性,取决于函数y=f(U)与函数U=g( x)在其相应
区间上的单调性,可归纳为:
g(x) 增 增 减 减
f(U) 增 减 增 减
12

f(g(x)) 增 减 减 增

即奇个“减”为减;偶个“减”为增或同增异减。
复合法判断程序:
①把复合函数分解已知其单调性的基本函数g(x)和f(U);
②判断函数g(x)和f(U)在各自相应区间上的单调性;
③合成(奇个“减”为减;偶个“减”为增或同增异减),下结论。
[4]、运算法:函数f(x)、g(x)在公共定义域内:
增函数+增函数是增函数;
减函数+减函数是减函数;
增函数-减函数是增函数;
减函数-增函数是减函数。
[5]、导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系判断。
设可导函数在定义域的某个 区间(a,b)内,如果
f
?
(x)?0
,那么函数f(x)在这个区间内单 调递增;如果
f
?
(x)?0
,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。
求导判断函数单调性的程序:
①求函数的导数;
②把导函数
f
?
(x)
进行变形,化简,因式分解,判断正负;
③下明确结论。
4. 函数单调性的应用
(1)判断证明函数单调性:
按函数单调性的“判断方法”或“证明方法”的程序进行。
(2)比较大小;
①比较函数值大小:
若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且
x
1< br>＜
x
2
,则 f(
x
) ＜f(
x
2
);
1
若函数y=f(x)在区间D上是递减函数, 且
x
1
＜
x
2
, 则f(
x
)＞f(
x
2
)。
②比较自变量值大小:
若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且f(
x
) ＜f(
x
2
),则
x
1
＜
x
2
;
1
1
若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且f(
x
) ＜f(
x
2
),则x
1
>x
2
。
(3)解方程与不等式
若函数y=f(x)在R上是递增函数,f(g(x))≤f(q(x)), 则g(x)≤q(x);
若函数y=f(x)在R上是递减函数,f(g(x))≤f(q(x)), 则g(x)≥q(x)。
(4)求值域、极值、最值
①求值域:
若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递增,则函数值域为(f(a),f(b));
若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递减,则函数值域为(f(b),f(a))。
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增,则函数值域为 [f(a),f(b)]
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减,则函数值域为 [f(b),f(a)]。
②求极值:
Ⅰ、极值定义:
⑴极大值: 一般地,设函数f(x)在点x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所有的点,都有f(
x
0
)＞
1
f(
x
) ,就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值,记作y
极大值
=f(x
0
),x
0
是极大值点。
⑵极小值:一般地,设函数f(x)在x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所有的点,都有f(x)>f(x
0
),

就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极小值,记作y
极小值
=f(x
0
),x
0
是极小值点。
⑶极值:极大值与极小值统称为极值。
Ⅱ、方法1:
若函数y=f(x)在(a,b)上递增,在(b,c)上递减,且f(b)存 在,则f(b)是函数y=f(x)的极大值,点b是
函数y=f(x)的极大值点;
若函数 y=f(x)在(a,b)上递减,在(b,c)上递增,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极 小值,点b是
函数y=f(x)的极小值点。
Ⅲ、方法2:
若函数y=f(x)在 (a,b)内,在(b,c)内,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极大值,点b是函数y=f (x)
的极大值点;
若函数y=f(x)在(a,b)内,在(b,c)内,且f(b)存在 ,则f(b)是函数y=f(x)的极小值,点b是函数y=f(x)
的极小值点。
③求最值:
Ⅰ、最值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
⑴对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
⑵存在x
o
∈I,使得f(x
o
)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
⑴对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
⑵存在x
o
∈I,使得f(x
o
)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值。
Ⅱ、方法1:
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增,则函数的最大值为f(b),最小值为f(a)
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减,则函数的最大值为f(a),最小值为f(b)。
Ⅲ、方法2:
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上连续,则
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②求函数在端点的函数值f(a),f(b);
③将函数y=f(x)的个极值与端点函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最
小值。
如图,定义在[a,b]上的连续函数y=f(x),求得极值为f(x
1
)、f(x
2
),求得定义域端点的函数值为
f(a)、f(b),则函数的最大值 与最小值分别由f(x
1
)、f(x
2
)、f(a)、f(b) 中的最大最小值确定。