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高中数学函数求参数范围2018年高三专题复习-函数专题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:00
tags:高中数学函数

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高中数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习
2018年高三专题复习- 函数专题(4)
一、变换“主元”思想,适用于一次函数型
处理含参不等式恒成立的某些问 题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”
思考,往往会使问题降次、简化。
例1 .对于满足0
?p?4
的一切实数
p
,不等式x
2
+px> 4x+p-3恒成立,求x的取值范围.
分析:习惯上把x当作自变量,记函数y= x
2< br>+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p
?
?
0,4
?

y>0恒成立,求x的范围.若把x与p两个量互换一下角色,即p视为变量,x为常量,则
上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
解:设f(p)=(x-1 )p+x
2
-4x+3,当x=1显然不满足题意.由题设知当0
?p?4
时 f(p)>0恒成立,
∴f(0)>0,f(4)>0即x
2
-4x+3>0且x< br>2
-1>0,解得x>3或x<-1.∴x的取值范围为x>3或
x<-1.
例2.对任意
a?[?1,1]
,不等式
x
2
?
(
a?
4)
x?
4
?
2
a?
0
恒成立,求< br>x
的取值范围。
答案:
(??,1)?(3,??)

2
例3.若不等式
2x?1?m(x?1)
,对满足
?2?m?2
所有 的x都成立,求x的取值范围。
?
?1?71?3
?
??

?
22
?
?
答案:
?
?
f(
?
)?0
注:一般地,一次函数
f(x)?kx?b(k?0)

[
?
,
?
]
上恒有
f(x)?0
的充要条件为
?
?
f(
?
)?0
二、分离变量
对于一些含参数的 不等式问题,如果能够将不等式进行同解变形,将不等式中的变量
和参数进行分离,即使变量和参数分别 位于不等式的左、右两边,然后通过求函数的值域
的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

1




例1.若对于任意角
?
总有
sin
2
?
?2mcos
?
?4m?1?0
成立,求
m
的范围.(注意分式求最值
得方法)
分析与解:此式是可分离变量型,由原不等式得
m(2cos
?< br>?
4)
?
cos
2
?

cos
2
?
cos
2
?

cos
?
?2?0
,则原不等式等价变形为
2
m?
恒成立.即
2m
必须小于的最小< br>cos
?
?2cos
?
?2
cos
2
?cos
2
?
(cos
?
?2)
2
?4(cos
?
?2)?4
?
值,问题化归为求的最小值.因为
cos
?
?2
cos
?
?2cos
?
?2
?cos
?
?2?
4
cos
?
?2
?4?4?4?0

cos
?
?0
时,有最小值为0,故
m?0

例2.已知函数
f
(
x
)
?ax?
4
x?x
2
,
x?
(0,4]

f(x)?0
恒成立,求实数a
的取值范围。
解: 将问题转化为
a?
4x?x
2

x?(0,4]
恒成立。
x

g(x)?
4x?x
2
,则
a?g(x)min

x

g(x)?
4x?x
2
?
x
4
?
1
可知
g(x)

(0,4]
上 为减函数,故
g(x)
min
?g(4)?0

x

a?0

a
的取值范围为
(??,0)

2
例 3.已知二次函数
f(x)?ax?x
,如果x∈[0,1]时
|f(x)|?1,求实数a的取值范围。


解:x∈[0,1]时,
|f(x)|? 1??1?f(x)?1
,即
?
1
?
ax
2
?x
?
1

①当x=0时,a∈R
2
?
?ax??x?1
1111
?
2
a?????
1]
时,问 题转化为
?
?
ax??x?1
恒成,由②当x∈
(0,
x< br>2
x
恒成立,即求
x
2
x

2
11 1
?
11
?
1
u(x)??
2
???
?< br>?
?
?
x?(0,1],?[1,??),u(x)
xx24
x
??
x
最大值。设。因为减函数,所以当x=1
时,
u(x)max
??2
,可得
a??2

11
?
11
?
1
11
11
v(x)?????
??
?
a?
2
?
4
。因
x
2
x
?
x2< br>?

x
恒成立,即求
x
2
x
的最小值。设< br>x
2

2




1
x?(0,1],?[1,??),v(x)
为增函数,所以当x=1时,
v(x)
min
?0
,可得a≤0。
x
由①②知
?2?a?0

评析:一般地,分离变量后有下列几种情形:
①f(x)≥g(k)
?
[f(x)]min≥g(k) ②f(x)> g(k)
?
g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k)
?
[f(x)] max≤g(k) ④f(x)?
[f(x)] max < g(k)
三、数形结合
1)
f(x)?g(x)?
函数
f(x)
图象恒在函数
g(x)
图象上方;
2)
f(x)?g(x)?函数
f(x)
图象恒在函数
g(x)
图象下上方。
0]
,若不等式
x
(
?
4
?x
)
?
例1.设
x?[?4,
4
x?1?a
恒成立,求a的取值范围.
3
分析与解:若设函数
y
1
?x
(
?
4
?x
)
,则
y

22
(x?2)?y
1
?4(y
1
?0)
,其图象为上半圆.设函数 y
2
y
1


4
y
2
?x?1?a
,其图象 为直线.在同一坐标系内作出函数图

3
象如图, 依题意要使半圆恒在直线下方,只有圆心
(?2,0)
到直线
4x?3y?3?3 a?0
的距离
d?

?4
O x


|?8?3?3a|
?2

1?a?0
时 成立,即a的取值范围为
a??5

5
例2.当x
?
(1 ,2)时,不等式(x-1)
2
a
x恒成立,求a的取值范围。 < br>分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,故可以
采用数形 结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范
围。
y
y
1
=(x-1)
2

y
2
=log
a
x
1
o 2
x < br>解:设T
1
:
f(x)
=
(x?1)
2
,T
2
:
g
(
x
)
?
log
a
x
,则T
1
的图象为
右图所示的抛物线,要使对一切x
?
(1,2),
f(x)
<
g(x)
恒成
立即T
1
的图象一定要在T
2
的图象所的下方,显然a>1,并且

3




必须也只需
g(2)?f(2)

故log
a
2>1,a>1,
?
1?
2.
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处 理,分类
讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件。
例1. 当
x?[2,8]
时,不等式
log
2a
2
?1
x ??
1
恒成立,求a的取值范围.
解:(1)当
2
a
2< br>?
1
?
1
时,由题设知
1
2a
2
? 1
?2
解得
a?(??,?1)?(1,??)

1
2a?1
2
1
2a
2
?1
?x
恒成立,即
1
2a
2
?1
?x
min
,而
x?[2,8]
(2)当
0
?
2
a
2
?
1
?
1
时,由题设知
1
2a
2
?1
?8
?x
恒成立,即
1
2a?1
2
?x
max
,而
x?[2,8]

解得
3223
a?(?,?)?(,
)4224
.∴a的取值范围是
3223
a?(??,?1)?(?,?)?(,) ?(1,??)

4224
五、二次函数类型
㈠ R上恒成立问题
f
(
x
)
?ax
2
?bx?c
(< br>a?
0)

(1)
f(x)?0在x?R
上恒成立
?a?0且??0

(2)
f(x)?0在x?R
上恒成立
?a?0且??0

例1.对于x∈R,不等式
x
2
?
2x
?
3
?< br>m
?
0
恒成立,求实数m的取值范围。

2
解:不 妨设
f(x)?x?2x?3?m
,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使
f(x) ?0(x?R)

2
2]
。 只需
??0
,即
(? 2)?4(3?m)?0
,解得
m?2?m?(??,


变形:若 对于x∈R,不等式
mx
2
?
2mx
?
3
?
0
恒成立,求实数m的取值范围。
2
此题需要对m的取值进行讨论,设
f (x)?mx?2mx?3
。①当m=0时,3>0,显然成立。
3)
。②当m>0时 ,则△<0
?0?m?3
。③当m<0时,显然不等式不恒成立。由①②③知
m?[0 ,


4




2x
2
?2mx?m
?
1
,对一切
x
恒成 立,求实数
m
的取值范围. 例2.不等式
2
4x?6x?3
33< br>解:∵
4x
2
?6x?3?(2x?)
2
??
0在R上恒成立,
24
2x
2
?2mx?m
22
?1
?
2
x?
2
mx?m?
4
x?
6< br>x?
3
?2x
2
?(6?2m)x?3?m?0

x?
R

2
4x?6x?3

??
( 6
?
2
m
)
2
?
8(3
?m
)< br>?
0
,解得
1?m?3
故实数
m
的取值范围是
1?m?3
.
例3.已知函数
y?
lg[
x
2
?
(
a?
1)
x?a
2
]
的定义域为R,求实数< br>a
的取值范围。
解:由题设可将问题转化为不等式
x
2
?< br>(
a?
1)
x?a
2
?
0

x?R
恒成立,
1
即有
??
(
a?
1)
2?
4
a
2
?
0
解得
a??1或a?

3
1
所以实数
a
的取值范围为
(??,?1)?(
,
??
)

3
㈡二次函数在闭区间上恒成立问题
f
(
x
)
?ax
2
?bx?c
(
a?
0)

b
?
b
??
b
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
( 1)当
a?0
时,
f(x)?0在x?[
?
,
?
]
上恒成立
?
?
2a


?

?
2a2a
??
?
f(
?
)?0
?
?
??0
?
f(
?
)?0
?
f(
?
)?0
f(x)?0在x?[
?
,
?
]
上恒成立
?
?

f(
?
)?0
?
?
f(
?
)?0
(2)当
a?0
时,
f(x)?0在x?[
?
,?
]
上恒成立
?
?

f(
?
)?0< br>?
b
?
b
??
b
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
f(x)?0在x ?[
?
,
?
]
上恒成立
?
?
2a


?

?
2a2a
??
?
f(
?
)?0
?
?
??0
?
f(
?
)?0
例1.设
f
(
x
)
?x
2
?
2
mx?
2
,当
x?[?1,??)
时,
f(x)?m
恒成立 ,求实数
m
的取值范围。
解:设
F(x)?x
2
?2mx ?2?m
,则当
x?[?1,??)
时,
F(x)?0
恒成立
??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1
时,
F(x)?0
显 然成立;

??0
时,如图,
F(x)?0
恒成立的充要条件为:
-1
O
x
y
x

5




?
?
??0
?
?
F(?1)?0
解得
?3 ?m??2
。 综上可得实数
m
的取值范围为
[?3,1)

?
?2m
?
???1
2
?
六、构造函数(有时需要 移项和分离)
1)
f(x)?a
恒成立
?a?f(x)
min
2)
f(x)?a
恒成立
?a?f(x)
max

例1.已 知
f(x)
?
7x
2
?
28x
?
a,g( x)
?
2x
3
?
4x
2
?
40x
,当
x?[?3,3]
时,
f(x)?g(x)
恒成立,
求实数a
的取值范围。
解:设
F(x)?f(x)?g(x)??2x
3?3x
2
?12x?c

则由题可知
F(x)?0
对任意
x?[?3,3]
恒成立

F
'
(
x
)
??
6
x
2
?
6
x?
12
?
0
,得
x??1或x?2


F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a ,


F
(
x
)
max
?
45< br>?a?
0


a?45
即实数
a
的取值范围 为
[45,??)

x
2
?2x?a
,
x?[1,
??
)
,若对任意
x?[1,??)

f(x) ?0
恒成立,求实数
a

例2.函数
f(x)?
x
取值范围。
解:若对任意
x?[1,??)

f(x)?0
恒成立,
x
2
?2x?a
?
0
恒成立,
即对
x? [1,??)

f(x)?
x
考虑到不等式的分母
x?[1,??)
,只需
x
2
?
2
x?a?
0

x ?[1,??)
时恒成立而得
而抛物线
g(x)?x
2
?2x?a

x?[1,??)
的最小值
g
min
(
x
)
?g
(1)
?
3
?a?
0

a??3

a
?2
,讨论其单调性从而求出
f(x)
最小值。 x
111112
???
?
?log
a
(a?1)?对于一切大于1的自然数
n

例3.已知不等式
n?1n?2n?32n 123
注:本题还可将
f(x)
变形为
f
(
x
)?
x
?

6




成立,求实数
a
的取值范围.(借助函数的单调性分析)
分析:注意到不等 式仅仅左边是与
n
有关的式子,从函数的观点看,左边是关于
n
的函数,要使原不等式成立,即要求这个函数的最小值大于右式.如何求这个函数的最小值呢?这又是
一个非 常规问题,应该从研究此函数的单调性入手.
解:设
f(n)?
f(n?1)?f( n)?
(
1111
????
,
(n?
N
,n?2)

n?1n?2n?32n
1111
111
??
??)
??
?
)?
(
n?1n?2n?32n
n?2n?32(n?1 )

?
1111
????
0

2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

f(n)
是关于
n
(n?
N
,n?2)
的递增函数,则
f(n)?f(2)
=
∴要使不等式成立,只须
7
.
12
712
1?5?log
a
(a?1)?
,解之得
1?a?
.
121 23
2
∴实数
a
的取值范围是
1?a?
1?5

2
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法,在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法,应灵活处理.



7




求参数范围问题针对性练习
1、 对于满足|p|
?
2的所有实数p,求使 不等式x
2
+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。


2、 设函数是定义在
(??,??)
上的增函数,如果不等式
f(1?ax ?x
2
)?f(2?a)
对于任意
x?[0,1]
恒成立,求实数< br>a
的取值范围。



3、 设f(x)=x
2< br>-2ax+2,当x
?
[-1,+
?
)时,都有f(x)
?< br>a恒成立,求a的取值范围。



4、 已知关于x的方程lg( x
2
+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解,求实数a的取值范围。



5、 已知当x
?
R时,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立,求实数a的取值范围。


1?2
x
?a4
x
,
其中
a ?R
,如果
x?(??.1)
时,
f(x)
恒有意义,求
a
的取值范围。
6、设
f(x)?lg
3

8




求参数范围问题针对性练习答案
1、解:原不等式可化为 (x-1)p+x
2
-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x
2
-2x+1,则原问题等价于f(p)>0
在p∈[-2,2]上恒成立,故有:
?
x?1?0
?
x?1?0
方法一:
?

?
∴x<- 1或x>3.
f(2)?0
f(?2)?0
?
?
2
?x?3或x?1
?
f(?2)?0
?
?
x?4x?3?0
方法二:
?

?
2
解得:
?

?
?
f(2)?0
?
x?1或x??1
?
x?1?0
∴x< -1或x>3.
2、解:
f(x)
是增函数
?f(1?ax?x
2
)?f(2?a)
对于任意
x?[0,1]
恒成立
?1?ax?x
2
?2?a
对于任意
x?[0,1]
恒成立
?x
2
?ax?1?a?0
对于任意
x?[0,1]
恒成立 ,令
g(x)?x
2
?ax?1?a

x?[0,1]
,所 以原问题

g(x
?g(x)
min
?0

)mni
?
1?a,??????a?0
0),??????a0?
?g(
?
2
?
a
?
a
?
?
?< br>g(?),2??a0?

g(x)
min
?
?
?? a?1,?2?a?0
易求得
2
?
4
?
?
, ???????????a??2
?
?
2
?
2,????????? ??a??2
a?1

3、解:设F(x)= f(x)-a=x
2
-2ax+2-a.
ⅰ)当
?
=(-2a)< br>2
-4(2-a)=4(a-1)(a+2)<0时,即-2?< br>[-1,+
?
),F(x)
?
0恒成立;
ⅱ)当
?
=4(a-1)(a+2)
?
0时由图可得以下充要条件:
?
?
??0
?
( a?1)(a?2)?0
?
?

?
f(?1)?0

?
a?3?0
?
?2a
?
a??1,
?
???1 ,
?
?
2
得-3
?
a
?
-2;
综上所述:a的取值范围为[-3,1]。

9
y
-1 o
x




4、解:令T
1
:y
1
= x
2
+20x=(x+10)
2
-100, T
2
:y2
=8x-6a-3,
则如图所示,T
1
的图象为一抛物线,T
2
的图象是一条斜率为定
值8,而截距不定的直线,要使T
1
和T
2
在x轴上有唯一交点,
则直线必须位于l
1
和l
2
之间。( 包括l
1
但不包括l
2
)
当直线为l
1
时,直线 过点(-20,0)此时纵截距为
-6a-3=160,a=
?
-20 o
l
2
x
l
1
y
l

163
;
6
当直线为l
2
时,直线过点(0,0),纵截 距为-6a-3=0,a=
?
1
2
∴a的范围为[
?
1163

?
)。
6
2
5、方法一)分析:在不等式中 含有两个变量a及x,本题必须由x的范围(x
?
R)来求另一
变量a的范围,故可考 虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。
解:原不等式
?4sinx+cos2x<-a+5

当x
?
R时,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立
?-a+5>(4sinx+cos2x)max

f(x)=4sinx+cos2x

f(x)= 4sin x+cos2x=-2sin
2
x+4sinx+1=-2(sinx-1)
2
+3 ?3


-a+5>3?a<2

方法二)题目中出现了s inx及cos2x,而cos2x=1-2sin
2
x,故若采用换元法把sinx
换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式,从而可利用二次函数区间最值求解。
解:不等式a+cos2x<5-4sinx可化为
a+1-2sin
2
x <5-4sinx,令sinx=t,则t
?
[-1,1],
?
不等式a+ cos2x<5-4sinx恒成立
?
2t
2
-4t+4-a>0,t
?
[-1,1]恒成立。
设f(t)= 2t
2
-4t+4-a,显然f (x)在[-1,1]内单调递减,
f(t)
min
=f(1)=2-a,
?
2-a>0
?
a<2
6、分析:如果
x?(??.1)
时 ,
f(x)
恒有意义,则可转化为
1
?
2
x
?a< br>4
x
?
0
恒成立,即参数分
1?2
x
离后< br>a??
x
??(2
?x
?2
?2x
)
x?(??.1)
恒成立,接下来可转化为二次函数区间最值求解。
4

10




解:如果
x?(??.1)
时,
f(x)
恒有意义
?
1
?
2
x
?a
4
x
?
0
,对< br>x?(??,1)
恒成立.
1?2
x
?a??
x
? ?(2
?x
?2
?2x
)
x?(??.1)
恒成立。 4
11

t?
2
?x

g(t)??(t?t
2
)

x?(??.1)

t?(,??)
?a? g(t)

t?(,??)
恒成立,又
22
上为减函数,
g (t)
133
max
?g(
2
)??
4

?a??
4

11
1
g(t)

t?[,??)
2



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