高中数学函数的周期性练习

高中数学函数的周期性练习
典例分析
题型一：求周期问题
【例1】
已知
f(x)
是定义在
R
上的函数，
f (10?x)?f(10?x)
且
f(20?x)??f(20?x)
，则
f (x)是

（ ）
A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数
C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数


【例2】
求函数
y?tan
?
?cot
?
的最小正周期






3
??
【例3】
定 义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x?3)?f(x)?0
，且函数
f
?
x?
?
为奇函数．给出以下3个命
2
??
题：
①函数
f(x)
的周期是6；
②函数
f(x)
的图象关于点
?
?，0
?
对称；
2
③函数
f(x)
的图象关于
y
轴对称，其中，真命题的个 数是（ ）．
A．3


【例4】
若y=f(2x)的图像关于直线
x?
B．2 C．1 D．0
?
3
?
?
?
ab
和
x?(b?a)
对称 ，则f(x)的一个周期为（ ）
22
A．



a?bb?a
B．
2(b?a)
C． D．
4(b?a)

22
【例5】
已知 函数
f(x)
对于任意
a,b?R
，都有
f(a?b)?f(a?b )?2f(a)
?
f(b)
，且
f(0)?0
．
⑴求证：
f(x)
为偶函数；
⑵若存在正数m使得
f(m)?0< br>，求满足
f(x?T)?f(x)
的1个T值（T≠0）．





- 1 -

1
【例6】
设
f(x)
是定义在R上的偶函数，其图象关于直线
x?1
对称．且 对任意
x
1
,x
2
?[0,]
，都有
2
f (x
1
?x
2
)?f(x
1
)
?
f(x< br>2
)
，
f(1)?a?0
．
11
⑴求
f()
及
f()
；
24
⑵证明
f(x)
是周期函数；






题型二：求值问题
?
3
?
【例7】
已知定义在
R
上的函数
f(x)
的图象关于点
?
?，0
?
成中心对称图形，且满足
?
4
?
3
??
f(x)??f
?
x?
?< br>，
f(?1)?1
，
f(0)??2
．那么，
f(1)?f( 2)?L?f(2006)
的值是（ ）
2
??
A．1 B．2 C．
?1
D．
?2


【例8】
（200 5天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且
y?f
?
x
?
的图 象关于直线
x?
1
对称，则f (1)+
2
f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.


【例9】
（2006年安徽卷理）函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2
?
?
f
?
f
?
5
?
?
?
__________ 。
1
，若
f
?
1
?
??5,
则
f
?
x
?

【例10】
(2006年山东卷）已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=
－
f(x),则,f(6)的值为 ( )
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

【例11】
（1996全国，15）设
f
?
x
?
是
?
??,??
?
上的奇函数，
f
?
x?2
?
??f
?
x
?
，当0≤x≤1时，
f
?
x
?
?x
，
则f（7.5）等于（ ）
A.0.5 B.－0.5

C.1.5 D.－1.5
【例12】
已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x )＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求
f(2004)




- 2 -

【例13】
函数f(x)
在
R
上有意义，且满足：⑴
f(x)
是偶函数；⑵f(0)?999
；⑶
g(x)?f(x?1)
是奇函
数，求
f (2008)
．




【例14】
f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意的x∈
R
，都有
f(x?3) ≤f(x)?3
和
f(x?2)≥f(x)?2
，
设
g(x)?f( x)?x
，
⑴求证
g(x)
是周期函数；
⑵如果f（998）=1002，求f（2000）的值．




【例15】
数列{a
n
}中，a
1
＝a，a
2< br>＝b，且a
n
＋
2
＝a
n
＋
1
－a
n
(n
∈
N)
＋
①求a
100
；
②求S
100
.



题型三：其他综合问题
【例16】
（2006福建卷）已知
f(x)
是周期为2的奇函数，当0?x?1
时，
f(x)?lgx.
设
635
a?f(),b? f(),c?f(),
则
522
（A）
a?b?c
（B）
b?a?c
（C）
c?b?a
（D）
c?a?b



【例17】
（2005福建卷< br>f(x)
是定义在R上的以3为周期的偶函数，且
f(2)?0
，则方程
f(x)
=0在区
间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．5


B．4 C．3 D．2
【例18】
已知函数
y?f(x)
是定义在
R
上的周期函数，周期
T? 5
，函数
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数又
知
y?f(x)
在
[0,1]
上是一次函数，在
[1,4]
上是二次函数，且在x?2
时函数取得最小值
?5
。
- 3 -

①证明：
f(1)?f(4)?0
；
②求
y?f(x),x?[1,4]
的解析式；
③求
y?f(x)
在
[4,9]
上的解析式。






【例19】
（05广东卷）设函数
f( x)
在
(??,??)
上满足
f(2?x)?f(2?x)
，
f(7?x)?f(7?x)
，且在闭
区间［0，7］上，只有
f(1)?f(3) ?0
．
（Ⅰ）试判断函数
y?f(x)
的奇偶性；
（Ⅱ）试求方 程
f(x)
=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．





【例20】
对每一个实数对x,y, 函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a 的
所有整数a.







【例21】
已知
f(x)
为定义在区间
(??
，
??)
上以2为周期的函数，对
k?Z
，用
I
k
表示区间< br>(2k?1
，
2k?1]
，已知
x?I
0
时，
f(x)?x
2
．
⑴求
f(x)
在
I
k
上的解析式；
⑵对自然数k ，求集合
M
k
?
?
a|
使方程
f(x)?ax在
I
k
上有两个不相等的实根
}
．



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