高中数学函数模型的应用实例

高中数学函数模型的应用实例(Ⅱ)
课题： 函数模型的应用实例（Ⅱ）
课 型：新授课
教学目标
能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题， 进一步感受运用函数概念
建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.
二、 教学重点
重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.
三、 学法与教学用具
1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.
2. 教学用具：多媒体
四、 教学设想
（一）创设情景，揭示课题.
现实生活中有些实际问题所涉及的 数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及
其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题， 我们要对所确定的数学模型进行分析评
价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
（二）实例尝试，探求新知
例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
1）写出速度
v
关于时间
t
的函数解析式；
2）写出汽车行驶路程
y
关于时间
t
的函数关系式，并作图象；
3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
4）假设这辆汽车的里程表在汽车 行驶这段路程前的读数为2004，试建立汽车行驶这段
路程时汽车里程表读数
s
与时 间
t
的函数解析式，并作出相应的图象.
本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用 问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模
型，此例分段函数模型刻画实际问题.
教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.
注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.
例2. 人 口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有
效控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长
模型：
rt

y?y
0
e

其中
t
表示经过的时间，
y
0
表示
t?0
时的人口数，
r
表示人口的年均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份
人数
年份
人数
195
55196
1955
6

563
1956



1957
563
53
6
1958
65994
1954
60266
1959
67207
1）如果以各年人口增长率的 平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），
用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这 一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际
人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
探索以下问题：
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1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评
价？
如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
rt
本例的题型是利用给定的指数函数模型
y?y
0
e
解决实际问题的一类问题 ，引导学生
认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数
y
0
与
t
.
完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.
在验证问题中的数 据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算
机作出所确定函数的图象，并由表中数 据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据
的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系 的一种形式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定
t
的近似值.
课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数 量分别为1万件，1.2万件，
1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产
品的月产量
t
与月份的
x
关系，模拟函数可以选 用二次函数或函数
y?ab
x
?c(其中a,b,c为常数)
.已知4月份该 产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函
数作为模拟函数较好，并说明理由.
探索以下问题：
1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？
2）如何对所确定的函数模型进行评价？
本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.
引导学生认识到 比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模
评价的依据.
本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.
三. 归纳小结，发展思维.
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；
1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合 函数解决实际问题的一般方法，指
出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重 要思想方法. 利用函
数思想解决实际问题的基本过程如下：

选
求
画择
收

检
符合
函
函
散
数

集
数验
点
数
模
模
实际
图
据
型
型

不符合实际
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从以上各例体会到：根据收集到的数据， 作出散点图，然后通过观察图象，判断问题
适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待 定系数法得出具体的函数解析
式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程 .
图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函
数对应关系的一种形式向另一种转化.
（四）布置作业：教材P
107
习题3.2（A组）第6题.
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