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高一数学函数单调性

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:05
tags:高中数学函数

高中数学线面垂直的判定答辩问题-高中数学建模研究与培养



第8课时 2.1.3函数的简单性质——单调性
【学习目标】
理解函数的单调性及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性。
重点:函数单调性的概念及其几何意义
难点:函数单调性的判断和证明.
函数的单 调性是函数的一个重要性质,在比较几个数大小、对函数作定性分析(求函数的
值域、最值,求函数解析 式中参数的范围、绘函数的图象)以及与不等式等其他知识的综
合应用上都有广泛的应用;同时在这一节 中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想
将贯穿于整个高中数学教学.
【自学指导】通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。

【问题情境】
2.1.1节开头的第3个问题中的气温变化图,气温
?
是关于时间t的函数,记着< br>?
?f(t)













?

o
C

?
?f(t),t?
?
0,24
?

th

问题:说出气温在哪些时段内是升高的,怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升
高”这 一特征.
【课本寻宝】
阅读课本(P34——P35),对疑惑之处,做个记号。
单调增函数的定义:
一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
A
,区间
I?A

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1

x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,那么就

y?f(x)
在区 间
I
上是单调增函数,
I
称为
y?f(x)
的单调增区间.
1



y

y?f(x)

y

y?f(x)

f(x
1
)

f(x
2
)

O

f(x
1
)

f(x
2
)

O

x
1

x
2

x

x
1

x
2

x

(1)

(2)


注:① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
② 必须是对于区间D内的任意 两个自变量x
1
,x
2
;当x
1
2
时 ,总有f(x
1
)2
) .
③几何特征:在自变量取值区 间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为
减函数.
问题:如何定义单调减函数呢?(结合图(2),仿照增函数定义叙述).
说明:如果函数y=f(x)在某个区间 I上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一
区间I具有单调性,单调增区间和单调减区间统称为单调区间:
y?
对例1.思考: 函数
1
x
在其定义域
(??,0)?(0,??)
上是减函数吗?
说明:1.单调区间是函数定义域的子集,所以,求函数的单调区间,必须注意函数的定
义域;
2.单调区间是单调增区间和单调减区间的统称,所以,求函数的单调区间时,如
果函数既有单调增区间,又有单调减区间,必须分别写出来。
评注:基本函数的单调性:
①一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;当k<0时, f(x)在
(-∞,+∞)上为减函数。
y?
②反比例函数
1
x
(k≠0), 当k>0时,f(x)在(- ∞,0)和(0,+∞)上为减函数;当k<0时,f(x)
在(-∞,0)和(0,+∞)上为增函数 。
bb
?
2
③二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0),当a>0时 ,f(x)在(-∞,
2a
]上为减函数,在[
2a
,+∞) 上
?
为增函数;当a<0时,同理.
对例2.归纳 :利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤:
① 任取x
1
,x
2
∈I,且x
1
2

② 作差f(x
1
)-f(x
2
);
③ 变形(通常是因式分解和配方);
④ 定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
⑤ 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).
2



说明:判断函数的单调性,可以用图象或单调性的定义;而证明函数的单调性,只能用单
调性的定义.
f(x
2
)?f(x
1
)
?0
x?x
x? x
x,x?(a,b)
21
2
有思考:除了用定义外,如果证得对任意的12
,且
1

能断定函数
f(x)
在区间
(a ,b)
上是增函数吗?



1. 指出函数y=-x
2
+2|x|+3的单调区间.



f(x)?
2.


2x
x?1
的单调增区间是________________.
f(x)?
变式:已知函数


ax
x?1
在区间(-1,+∞)上是增函数,则a的取值范围______。 2
f(x)?x?2ax?2

(??,4]
上是减函数,则实数a的取 值范围是________. 3. 若函数




y=x+
4.证明函数
1
x
在(1,+∞)上为增函数.


【我还有什么问题没弄明白?】
在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向同伴、组长、老师提出.
【总结提升】 本节课主要学习了函数单调性的概念,判断和证明函数单调性的的方法。
3



求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论.

你完成本节导学案的情况为 ( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【当堂检测】时间:5分钟,满分10分,每小题2分。 计分:________
2
f(x)?2x?mx?3
,当
x?[2,??)
时是增函数,当
x?(??,2]
时是减函数,则1. 函数
f(1)?
_____________.
2. 画出下列函数的图像,并写出其单调增区间。
?
x
2
?1, x?0
3x?1
f(x)?
?
f(x)?
1?x
.
?
?2x?2, x?0
(2) y=|x+2|-2|x-1| (3)(1)





3.证明函数
f(x)?




【巩固一下】(每题均需写出过程)
x

[0,??)
上是增函数.
1
1.函数y=
x+1
的单调区间为___________.
2.函数y=3x
2
+6x-12在区间______上为增函数,在区间______上为 减函数.?
3.函数y=-|x|在[a,+∞)上是减函数,则a的取值范围是______.?
2
f(x)?kx?k
4. 若函数为R上的增函数,则实数的k取值范围为__________.
f(x)?x
2
?
5. 判断函数



1
x
在区间
(0,??)
上的单调性,并用定义证明你的结论。
4




6. 已知f(x)=x
3
+x( x∈R),?(1)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明;?
(2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.?








7.已知f(x)是定义在[-1, 1]的增函数,且f(x-1)

5

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