高一数学函数单调性

第8课时 2.1.3函数的简单性质——单调性
【学习目标】
理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性。
重点：函数单调性的概念及其几何意义
难点：函数单调性的判断和证明.
函数的单 调性是函数的一个重要性质，在比较几个数大小、对函数作定性分析（求函数的
值域、最值，求函数解析 式中参数的范围、绘函数的图象）以及与不等式等其他知识的综
合应用上都有广泛的应用；同时在这一节 中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想
将贯穿于整个高中数学教学.
【自学指导】通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【问题情境】
2.1.1节开头的第3个问题中的气温变化图，气温
?
是关于时间t的函数，记着< br>?
?f(t)
．












?

o
C

?
?f(t),t?
?
0,24
?

th

问题：说出气温在哪些时段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升
高”这 一特征．
【课本寻宝】
阅读课本（P34——P35），对疑惑之处，做个记号。
单调增函数的定义：
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
A
，区间
I?A
．
如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就
说
y?f(x)
在区 间
I
上是单调增函数，
I
称为
y?f(x)
的单调增区间．
1

y

y?f(x)

y

y?f(x)

f(x
1
)

f(x
2
)

O

f(x
1
)

f(x
2
)

O

x
1

x
2

x

x
1

x
2

x

(1)

(2)


注：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
② 必须是对于区间D内的任意 两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时 ，总有f(x
1
)2
) ．
③几何特征：在自变量取值区 间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为
减函数.
问题：如何定义单调减函数呢？（结合图（2），仿照增函数定义叙述）．
说明：如果函数y=f(x)在某个区间 I上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一
区间I具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间：
y?
对例1．思考： 函数
1
x
在其定义域
(??,0)?(0,??)
上是减函数吗？
说明：1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定
义域；
2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如
果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。
评注：基本函数的单调性：
①一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时，f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；当k<0时， f(x)在
(-∞,+∞)上为减函数。
y?
②反比例函数
1
x
(k≠0), 当k>0时，f(x)在(- ∞,0)和(0,+∞)上为减函数；当k<0时，f(x)
在(-∞,0)和（0，+∞)上为增函数 。
bb
?
2
③二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0),当a>0时 ,f(x)在(-∞，
2a
]上为减函数,在[
2a
,+∞) 上
?
为增函数;当a<0时,同理.
对例2．归纳 ：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤：
① 任取x
1
，x
2
∈I，且x
1
2
；
② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性）．
2

说明：判断函数的单调性，可以用图象或单调性的定义；而证明函数的单调性，只能用单
调性的定义．
f(x
2
)?f(x
1
)
?0
x?x
x? x
x,x?(a,b)
21
2
有思考：除了用定义外，如果证得对任意的12
，且
1
，
能断定函数
f(x)
在区间
(a ,b)
上是增函数吗?



1. 指出函数y＝－x
2
+2|x|+3的单调区间.



f(x)?
2.


2x
x?1
的单调增区间是________________.
f(x)?
变式：已知函数


ax
x?1
在区间（－1，＋∞）上是增函数，则a的取值范围______。 2
f(x)?x?2ax?2
在
(??,4]
上是减函数，则实数a的取 值范围是________. 3. 若函数




y＝x＋
4．证明函数
1
x
在（1，＋∞）上为增函数．


【我还有什么问题没弄明白？】
在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向同伴、组长、老师提出.
【总结提升】 本节课主要学习了函数单调性的概念，判断和证明函数单调性的的方法。
3

求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论．

你完成本节导学案的情况为 （ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【当堂检测】时间：5分钟，满分10分,每小题2分。 计分：________
2
f(x)?2x?mx?3
，当
x?[2,??)
时是增函数，当
x?(??,2]
时是减函数，则1. 函数
f(1)?
_____________.
2. 画出下列函数的图像，并写出其单调增区间。
?
x
2
?1, x?0
3x?1
f(x)?
?
f(x)?
1?x
.
?
?2x?2, x?0
(2) y=|x+2|－2|x－1| （3）（1）





3.证明函数
f(x)?




【巩固一下】（每题均需写出过程）
x
在
[0,??)
上是增函数．
1
１．函数y＝
x＋1
的单调区间为___________．
2．函数y=3x
2
+6x－12在区间______上为增函数，在区间______上为 减函数.?
3．函数y=－|x|在［a,+∞)上是减函数，则a的取值范围是______.?
2
f(x)?kx?k
4. 若函数为R上的增函数，则实数的k取值范围为__________.
f(x)?x
2
?
5. 判断函数



1
x
在区间
(0,??)
上的单调性，并用定义证明你的结论。
4

6. 已知f(x)=x
3
+x( x∈R)，?(1)判断f(x)在(－∞,+∞)上的单调性，并证明；?
(2)求证：满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.?








7.已知f(x)是定义在[－1， 1]的增函数，且f(x－1)

5