高中数学函数的概念与图象教案

函数的概念与图象
1． 教学目标
（1）体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念；
（2）了解构 成函数的要素有定义域、值域、对应法则，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函
数的三种表示方法 （图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单
的分段函数，并能 简单地应用；
（3）理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判别或证明一些简单函数的单 调性；了解奇
偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；学会运用函数图象理解 和研究函数的
性质；
（4）了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射；
（5）通过本节的学习，使学生学会用运动、发展、变化的观点认识世界．
2．编写意图与教学建议
（1）函数的概念
教材首先引入三个问题，以生活中的现 象为背景，引出描述两个量之间依赖关系的必要性，上承
集合，下引函数．描述三个问题的方法各不相同 ，与函数的三种表示方法相对应。通过背景设计激发
学生在集合的基础上研究两个量之间关系的欲望和兴 趣。这三个问题既是函数知识的生长点，又突出
了函数概念的本质，比如某城市一天24 小时的气温变化图就将函数的概念函数的图象函数的 单调性
函数的零点有机地联系起来，是这一章的核心背景，后面将多次引用。教学建议如下：
①对三个问题情境要引导学生首先从函数传统定义— 变量之间的特殊的依赖关系上分析每个问
题中两个变量关系为函数关系；其次观察两个变量取值范围特征—非空数集，然后运用集合与对应的
观点 给出了函数的新的概念。
②在构建函数概念时，要重点突出一个变量对另一个变量的依赖关系。教学应 从学生已有的函数
知识入手，引导学生联系生活实际，尝试列举各种生活实例，在集合概念的基础上，构 建函数的一般
概念。
③在对函数定义进行教学时，要突出以下几点：
ⅰ）集合A与B都是非空数集；
ⅱ）对应法则的方向是从A到B；
ⅲ）强调“非空”“每一个”“唯一”这三个关键词。
④对于抽象的函数符号f（x）的理解 也是一个难点：可以理解f（x）为对应法则f对变量x的
作用，随x的变化而变化；要注意区分f（x ）与f（a）的关系。
⑤要强调“定义域、值域、对应法则”为函数的三要素，对应法则是核心；一般 地，如果函数的
对应法则与定义域都确定了，那么，函数的值域也确定了．
给定函数必须指明定义域——输入值的集合。（P
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例1以及y= f（x）（x∈A）与s=f（t）（t∈A）
为同一函数可以很好地帮助理解函数概念）
函数值域C={f（x）︱x∈A}

? B；
⑥在教学中，应强调对函数 概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现
过于繁琐的技巧训练，避免人为地编 制一些求定义域和值域的偏题。求简单函数的定义域和值域中的简单
函数，指下列函数：
y? ax?b,y?ax
2
?bx?c,y?
cx?d
,y?ax?b,y?a< br>x
,y?log
a
(mx?n),y?sinx,y?cosx
ax? b
。
简单（情境）的分段函数指：在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函数 的分段
函数，例如：出租车收费、邮资、个人所得税等

用图象表示的函数的定 义域为图象上所有点的横坐标的集合，而值域为图象上所有点的纵坐标的
集合。渗透数形结合思想。
⑦求定义域不要过早涉及到解一元二次不等式，但可借助二次函数图像运用数形结合的方法解决。 求值域的问题中首先考虑定义域，要掌握简单的及通过变形后可化为上述类型（一次、二次、正、
反 比例、分段函数）的函数的值域及基本求法（配方法、换元法、分离常数法、数形结合法等，单调
性及导 数法须在今后的学习中逐步渗透）
⑵函数的表示：
教材仍以第2.1.2节仍然以第2.1 .1节开头的三个问题为背景，引入函数的表示方法，列表法、解析
法和图象法这三种常用的函数表示方 法．体现了知识情境呈现的一致性．在实际情境中，会根据不同的要
求选择恰当的方法表示函数，理解同 一个函数可以用不同的方法表示（例1）。例2，例3则分别给出了分
段函数的概念及作函数图象（分段 函数）的方法。教材在习题部分也设置了许多相关的应用实例来加深对
函数概念，及从实际问题中抽象建 立数学模型的例子。函数的表示法中教材重点关注的是图象法和解析法。
列表法简洁明了，函数的“输入值”与“输出值”一目了然。
① 图象：ⅰ）图象法的优点是能直观地反映函数值变化随自变量变化趋势。
ⅱ）图象可以是一些散点、直线（段）、曲线（段）组合而成的。
ⅲ）作函数的图象首先要考虑定义域，找寻特殊点及关注变化趋势。
ⅳ）注意联系初中所学的一次二次函数及正反比例函数图像。
ⅴ）函数的图象可以直观地反映 函数的性质——定义域值域解方程或不等式等。体现数
形结合思想。P
26
例6，P< br>27
思考为以后学习函数单调性、奇偶性作准备。体现函数的
认识的螺旋性。
ⅵ）函数的图象变换要求了解基本的左右或上下平移变换即可（教材安排在P
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例3指数函数部分，教师可灵活把握）
② 解析式：ⅰ）中学阶段研究的主要是用解析式表示的函数，教学时要注意
回顾初中所学的一次、二次函数，反比例函数。
ⅱ）掌握分段函数的特点及应用。分段函数是 指函数的表达式是分段表示的，它是一个
函数。分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对 应法则不一样。教
学时可收集一些实例：如邮资，出租车费等资料。
ⅲ求解析式方法，主要掌 握：代入法、换元法、配凑法、待定系数法、构造方程组法及
根据图象求解析式。求函数解析式可以深化 对函数概念本质的理解。
（3）函数的简单性质
教材依然以本节开头问题中的气温曲线引出 函数的单调性．通过生活实例感受函数单调性与函数奇偶
性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换 的能力．
函数的简单性质包括函数的单调性与函数奇偶性。（函数的周期性放到必修—4三角函数中）
① 函数的单调性：
部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在定义域上也单调。可 结合二次函
数及反比例函数的图象帮助理解。
ⅱ）对单调性定义的理解，要强调“任意”这个 关键词；证明常用的方法作差法，基本步
揍是“作差—变形——判号” 。为了说明函数
f(
x
)在某个区间上不是单调增（减）
函数，只需在该区间上，找到两个值
x
1
、
x
2
，当
x
1
＜
x2
时，有
f
(
x
1
)≥
f
(
x
2
)(或
f
(
x
1
)
≤
f(
x
2
) )成立。
ⅲ）要引导学生利用函数单调性研究最值，解不等 式，比较大小等（P
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4）通过已学过的
函数特别是二次函数，进一步理解函数的单 调性、最大（小）值及其几何意义。
ⅳ）对单调性的教学，要求理解其图形直观，理解单调性的定义。 通过大量的具体函数，
ⅰ）是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局

理解单调性在研究函数中的作用。在教学中，对具体函数单调性的讨论要把握“度”，< br>基本上限于简单的幂函数。掌握常见的基本初等函数的单调性规律，了解y=x+1x的
单调性（ P
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7）。指数、对数函数单调性的证明不作要求，因为，严格证明还是有难度
的。 此外，对复合函数单调性的讨论也不作要求。
②函数的奇偶性：
ⅰ）教 材由生活中的对称现象，由实例，通过观察图象，抽象出函数奇偶性的定义。在教学中
要注意展现出探索 过程，引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性的关系。
ⅱ）引导定义时，首 先把图象的对称归结为图象上点的对称，如对偶函数：点A（t，f﹙t）)
点B(－t, f﹙t)) 关于y轴对称且都为函数y=f(x)图象上的点,则f(－t)=f(t),从而过渡到
偶函数概念则 易于理解.
ⅲ)判断一个函数的奇偶性,首先应考虑定义域是否关于数0对称, 这是函数具有奇偶性的前提.
然后再考虑f(－x)与f(x)的关系.而要否定函数的奇偶性,只须举 出反例即可:只要函数的定
义域内有一个
x
值不满足
f
(-
x
)=-
f
(
x
)（或
f
(-
x
)=
f
(
x
)），这个函数就不是奇（偶）函数；
或只要函数图象上 有一个点不满足“关于原点（或
y
轴）的对称点都在函数的图象上，”这
个函数就不是 奇（偶）函数。
ⅳ)函数的奇偶性与图象的对称性紧密结合,体现数形结合思想 与方法,比如利用奇偶性可求解
析式,可作图象,进而还可解决与单调性结合的问题,但要控制难度.
（4）映射概念
①现有教材先讲函数后讲映射;在这里是把映射作为函数概念的推广,
而把函数作为 一类特殊的映射．函数中的集合A和B必须为非空数集,对于映射
f
：
A
?< br>B
而
言，集合
A
、
B
可以是数集，也可以是点集或其 他集合。
②关于映射中象与原象的概念，以及映射的分类，一般不要涉及。
函数是两个非空数集之间的映射。