苏教版高一数学函数的概念和图象

苏教版高一数学函数的概念和图象

第二章 函数概念与基本初等函数
第1课时 函数的概念和图象
教学目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数 的三个要素，学会求
某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；使
学生理解静与动 的辩证关系.
教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法.
教学难点：
函数概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆
一下，它是怎样表述的？
（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表
述或者启示学生将表述补充完整再条理表述） .
设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每
一个值，y都有惟一的值与它对 应，那么就说y是x的函数，
x叫做自变量.
［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了 正比例函数，

反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个
问题：
问题一：y＝1（x∈R）是函数吗？
问题二：y＝x与y＝是同一个函数吗？
（学生思考，很难回答）
［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，
需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对
应关系的例子.
在（1 ）中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数
n，集合B中都有一个数2n和它对应.
在（2）中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个
数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应 .
在（3）中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个
数x，集合B中都有一个数 和它对应.
请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？
［生］一对一、二对一、一对一.
［师］这3个对应的共同特点是什么呢？
[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集
合B中都有惟一的数和它对应.
［师］生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，

还特别强调了对应关 系，事实上，一个集合中的数与另一集
合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的.
实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一
种对应关系.
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定 的对应关系f，使
对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的
数f(x)和它对 应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一
个函数.
记作：y＝f(x)，x∈A 其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x
的值相对应的y（或f(x)）值叫做函 数值，函数值的集合{y|y
＝f(x)，x∈A}叫函数的值域.
一次函数f(x)＝ax ＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对
于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)＝a x＋
b(a≠0)和它对应.
反比例函数f(x)＝ (k≠0)的定义域是A＝{x|x≠ 0}，值域
是B＝{f(x)|f(x)≠0}，对于A中的任意一个实数x，在B中
都有一个 实数f(x)＝ (k≠0)和它对应.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域 是R，值域是
当a＞0时B＝{f(x)|f(x)≥}；当a＜0时，B＝
{f(x)|f( x)≤}，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)

＝ax2＋bx＋c(a≠0 )对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前
面所提出的两个问题.
y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，
按照对应关系函数值是1，在 R中y都有惟一确定的值1
与它对应，所以说y是x的函数.
Y＝x与y＝不是同一个函数， 因为尽管它们的对应关系一样，
但y＝x的定义域是R，而y＝的定义域是{x|x≠0}. 所以y
＝x与y＝不是同一个函数.
［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一
起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号A到B的一个函数，它有三个要素；定
义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
［师］在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用
g(x) 、F（x)、G（x)等符号来表示
Ⅲ.例题分析
［例1］求下列函数的定义域.

(1)f(x)＝(2)f(x)＝(3)f(x)＝＋
分析：函数的定义域 通常由问题的实际背景确定.如果只给
出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义
域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.
解：(1)x－2≠0，即x≠2时，有意义
∴这个函数的定义域是{x｜x≠2}
(2)3x＋2≥0，即x≥－时有意义
∴函数y＝的定义域是[－，＋∞）
(3)
∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，
2）∪（2，＋∞）.
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区
间.
从上例可以看出，当确定用解析式y＝f（x）表示的函数的
定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零
的实数的集合；
(3)如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内
的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数
的定义域是使各部分式子都有意 义的实数的集合(即使每个

部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使
解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y＝2x2，
此函数定义域为x＞0而不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问
题的实际意义决定.
［师 ］自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的
函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x )＝x2＋3x＋1，
当x＝2时的函数值是f(2)＝22＋3?2＋1＝11
注意：f(a)是常量，f(x)是变量 ，f(a)是函数f(x)中当自
变量x＝a时的函数值.
下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢？
[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中 自变量x为某
一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函
数式中的x换为相应确 定的数（或字母，或式子）进行计算
即可.
［师］回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万
万不可粗心大意噢!
[生 乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是
否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同； 不完全一致
时，这两个函数就不同.

［师］生乙的回答完整吗？
［生］完整!（课本上就是如生乙所述那样写的）.
［师］大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么？
［生］函数的定义.
［师］ 函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，
我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定 义域和
对应关系，而不看值域呢？
（学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗？
怎不看值域呢？）
（无人回答）
［师］同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问
题都要多 问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就
是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的 定义
域与对应关系，三者就全看了!
（生恍然大悟，我们怎么就没想到呢？）
[例2]求下列函数的值域
(1)y＝1－2x （x∈R） (2)y＝｜x｜－1
x∈{－2，－1，0，1，2}
(3)y＝x2＋4x＋3 （－3≤x≤1）
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具
体形式及运算确定其值域.
对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到

(1)(2)的值域.
对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即
图象法
解：(1)y∈R
(2)y∈{1，0，－1}
(3)画出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的图象，如图所示，
当x∈[－3，1]时，得y∈[－1，8]
Ⅳ.课堂练习
课本P24练习1-7.
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、
区间的概 念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的
问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结 的内容
可由学生自己来归纳）
Ⅵ.课后作业
课本P28，习题1、2.