高中数学-函数的基本性质小结

函数的基本性质
【教学目标】

教学目标要求
内容











函
数
及
其
基
本
性
质
函数
的有
关概
念
记忆性
水平

解释性理解水平 探究性理解水平
⑴理解函数是变量之间相掌握求函数定义域的基本方法。在简单
互依赖关系的一种反映。 情形下能通过观察和分析确定函数的
⑵加深理解函数的概念，值域
熟悉函数表达的解析法、< br>列表法和图像法。⑶懂得
函数的抽象记号以及函数
定义域和值域的集合表
示。
理解两个函数的和函数、
积函数的概念。
⑴通过解决具有实际背景
的简单问题。
⑵领会分析变量和建立函
数关系的思 考方法。⑶初
步会用函数观点观察和分
析一些自然现象和社会现
象。
⑴通过对函数零点的研
究。
⑵体会“二分法”和逼近
思想。
⑶熟悉计算器的应用。能
利用函数的奇偶性描绘函
数的图像。
函数
的运
算
函数
关系
的建
立

体验函数模型建立的一般过程，加深对
事物运动变化和相互联系的认识。
函数
的基
本性
质
⑴从直观到解析、从具体到抽象研究函
数的性质，并能从解析的角度理解有关
性质。
⑵在直观认识函数基本性质的基础上，
从具体函数到抽象性、单调性、零点、
最大表示的函数对 其奇偶值和最小值
等基本性质进行解析研究。
⑶掌握函数的基本性质以及反映这些
基本性质的图像特征。
⑷能根据不同问题灵活地 用掌握函数
的基本性质以及反映这些基本性质的
图像特征。能根据不同问题灵活地用解
析法、列表法和图像法来表示变量之间
的关系和研究函数的性质：会利用函数
的性质宋解决简单 的实际问题。领悟数
形结合的思想。
【教学重点】
1

函数的基本性质及应用
【教学难点】
函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。
【教学过程】：

一．知识整理
1．基本思想
（1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，
大多可用函数的观点来解决。
（2） 研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。
2.主要问题：
（1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩
（2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义
（3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元
f.数形结合
（4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域
3.函数的基本性质
函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y， 如果对于x在某个实数集合D内的每一个确
定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之 对应，那么y就是x函
数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数 的定义域，和x
的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的相等：定义域相同，对应法则相同
函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应 的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y
= f (x), x∈D}
a. 定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合
b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合
c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数
f(x)为偶函数；
如果对于函数f(x)的定义域 D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x)
为奇函数；
2

判断准则：1.定义域关于原点对称，2.
f(?x)? ?f(x);奇
f(?x)?f(x); 偶

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称
d.单调性：存在定义域的子集M， 对于M内的任意两个值
x
1
,x
2
,当x
1
?x< br>2
时，总有


f(x
1
)?f( x
2
（或)f(x
1
)?f(x
2
)）成立
，则称 函数f(x)在集合M上单调递增
（或递减）。
e.最值：定义域内的函数值的最大（小）值。亦即函数图象上最高（低）点的纵坐标。
f.周期性：对于函数y =f(x),若存在一个常数T
?
0，使得当x取定义域内 的每一个值时，
都有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，常数T叫做f(x)的周 期。
4.基本函数：常数函数；正比例函数；反比例函；数一次函数；二次函数；
y?ax?
5.函数构成
在基本函数的基础上：
(a) 运算：以和、差、商、积函数为代表，如：
y?ax?
(b) 复合：y = f(g(x))
b

x
b

x
3

二．例题精析
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，易，逻辑思维能力。
【题目】函数
f(x)?log
5
(2x?1)
的单调增区间是 。
【解答】答案为
?
?
1
?
1
?
,??
?
。由
2x?1?0
，得
x??
，所以函数的单调增区间是
2
?
2
?
?
1
?
?
?,???
。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例
?
2?
函数、指数函数、对数函数和幂函数。
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，中，分析问题与解决问题
能力。
?
2
x?2
?
,
【题目】已知函数
f(x)??
x
，若关于x的方程
f(x)?k
有两个不同的实根，
?(x?1)
3
,x?2
?
则实数k的取值范围是________. < br>【解答】
f(x)?
2
(x?2)
单调递减且值域为(0,1]，f(x)?(x?1)
3
(x?2)
单调递增且值域
x
为
(??,1)
，
f(x)?k
有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1） 。
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，分析问题与解决问题能
力。
【题目】设
a
为实数，函数
(1)若
(2)求
f(x)?2 x
2
?(x?a)|x?a|
.
f(0)?1
，求
a
的取值范围；
f(x)
的最小值；
f(x),x?(a,??)
，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
h(x)?1< br>的解集.
．．．．
?
a?0
?
a?1
2
( 3)设函数
h(x)?
【解答】
（1）若
f(0)?1
，则
?a|a|?1?
?
2
2
?a??1

2
?
f(a),a?0
?
2a,a?0
??
?
?
a
?
?
2a
2
f(),a?0
?
,a?0
?
?
3
?
3
（2）当
x?a时，
f(x)?3x?2ax?a,
f(x)
min

4

2
?
f(?a),a?0
?
?
?2a,a?0
< br>?
?
?
?
2
?
2a,a?0
?
f( a),a?0
?
当
x?a
时，
f(x)?x?2ax?a,f(x)
min
22
综上
f(x)
min
?
?2a
2
,a?0
?

?
?
2a
2,a?0
?
?
3
222
22
（3）
x?(a, ??)
时，
h(x)?1
得
3x?2ax?a?1?0
，
? ?4a?12(a?1)?12?8a

当
a??
66
或a?
时，
??0,x?(a,??)
；
22
?
a?3?2a
2
a?3?2a
2
66
(x?)(x?)?0

?a?当
?
时，△>0,得：
?
?
33
22
?
?
x?a
讨论得：当
a?(
26
,)
时，解集为
(a,??)
;
22
a?3?2a
2
a?3?2a
262
]?[,??)
;
,?)
时，解集为
(a,
当< br>a?(?
33
22
a?3?2a
2
22
,??).
,]
时，解集为
[
当
a?[?
3
22【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力 。
【题目】有时可用函数
a
?
0.1?15ln,(x?6)
?
?
a?x
f(x)?
?

x?4.4
?
,(x?6)
?
x?4
?
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表 示某学科知识的学习次数（
x?N
），
f(x)
表
示对该学科知识的 掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1） 证明：当
x?7
时，掌握程度的增加量
f(x?1)?f(x)
总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
*
(115,121]
,
(121,127]
,
(121,133]
。当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请
确定相应的学科。

5

【解答】（1）当
x?7时，f(x?1)?f(x)?
0.4

( x?3)(x?4)
而当
x?7时
，函数
y?(x?3)(x?4)
单调递增，且
(x?3)(x?4)
>0……..3分
故
f(x?1)?f(x)
单调递减
?
当
x?7时< br>，掌握程度的增长量
f(x?1)?f(x)
总是下降……………..6分
（2）由题意可知0.1+15ln
整理得
a
=0.85……………….9分
a?6
a
?e
0.05

a?6
e
0.0 5
?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]
…….13分 解得
a?
0.05
e?1
由此可知，该学科是乙学科……………..14 分
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，数学探究与创新能力。
【题 目】已知函数
y?f(x)
的反函数。定义：若对给定的实数
a(a?0)
， 函数
y?f(x?a)
与
y?f
?1
(x?a)
互为反函数 ，则称
y?f(x)
满足“
a
和性质”；若函数
y?f(ax)与
y?f
?1
(ax)
互为反函数，则称
y?f(x)
满足“
a
积性质”。
（1） 判断函数
g(x)?x?1(x?0)
是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数
y?f(x)(x? 0)
对任何
a?0
，满足“
a
积性质”。求
y?f(x)< br>的表达式。
?1
2
【解答】（1）函数
g(x)?x?1(x?0)
的反函数是
g(x)?
2
x?1(x?1)

?g
?1
(x?1)?x(x?0)

而
g(x?1)?(x?1)?1(x??1),
其反函数为
y?
故函数g(x)?x?1(x?0)
不满足“1和性质”
（2）设函数
f(x)?kx ?b(x?R)
满足“2和性质”，
k?0.

2
2
x?1?1(x?1)

?f
?1
(x )?
x?bx?2?b
(x?R),?f
?1
(x?2)?
…….6 分
kk
x?b?2k
而
f(x?2)?k(x?2)?b(x?R),得反函数
y?
………….8分
k

6

由“2和性质”定义可知
x?2?bx?b?2k
=对
x?R
恒成立
kk
?k??1,b?R,
即所求一次函数为
f(x)??x?b(b?R)
………..10分
（3）设
a?0
，
x
0
? 0
，且点
(x
0
,y
0
)
在
y?f(ax )
图像上，则
(y
0
,x
0
)
在函数
y? f
图象上，
故
?1
(ax)
f(ax
0
)?y< br>0
，可得
ay
0
?f(x
0
)?af(ax
0
)
， ．．．．．．12分
f
?1
(ay
0
)?x
0
，
令
ax
0
?x
，则
a?
综上所述，
1?b
1
q
而
f
?1
xf(x
0
)
xx
f(x)
，即
f(x)?
0
。
?
f(x
0
)?
。 ．．．．．．14分
x
0
x
0
x
?b
n
f(x)?
n?1
kkk
，其反函数就是
y ?
，
(k?0)
，此时
f(ax)?
xaxax
(ax) ?
k
?1
，故
y?f(ax)
与
y?f(ax)
互 为反函数 。 ．．．．．．16分
ax
三．课堂反馈
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，易，分析
问题与 解决问题能力。

e
x
?e
?x
【题目】
函数< br>y?
x?x
的图像大致为( ).

e?e
y
1
O
1

x
1
O
1
x
y
y
y
1
O

1
x
D
A

【解答】:函数有意义,需使
e?e
x?x
1
O
1
x
B
C
?0
,其定义域为
?
x|x?0
?
,排除C,D,又因为
e
x< br>?e
?x
e
2x
?12
y?
x?x
?
2x
?1?
2x
,所以当
x?0
时函数为减函数,故选A. e?ee?1e?1
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性， 选择题，中，分析
问题与解决问题能力。

7

?
log(1?x),x?0
【题目】
.定义在R上的函数f(x)满足f( x)=
?
2
，则f（2009）的
?
f(x?1)?f(x?2) ,x?0
值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解答】:由已知得
f(?1)?log
22?1
,
f(0)?0
,
f(1)?f(0)?f(?1)??1
,
f(2)?f(1)?f(0)??1
,
f(3)?f(2)?f(1)??1 ?(?1)?0
,
f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1
,
f (5)?f(4)?f(3)?1
,
f(6)?f(5)?f(4)?0
,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. < br>【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析
问题能力。

x?0
?
log(4?x),
【题目】
定义 在R上的函数f(x)满足f(x)=
?
2
，则f（3）的值
f(x?1) ?f(x?2),x?0
?
为( )

A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【答案】:由已知得
f( ?1)?log
2
5
,
f(0)?log
2
4?2
,
f(1)?f(0)?f(?1)?2?log
2
5
,
f(2) ?f(1)?f(0)??log
2
5
,
f(3)?f(2)?f(1)?? log
2
5?(2?log
2
5)??2
,故选B.
【解答】:B.
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性 ，填空题，中，分析
问题与解决问题能力。

【题目】
若曲线
y< br>2
?|x|?1
与直线
y?kx?b
没有公共点，则
k、b< br>分别应满足的条件是

.
【解答】
k?0,?1?b?1


四．课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）.
函数是用以描述客观世界中量的 依存关系的数学概念，函数思想的实质就是用联系、变
化的观点提出数学对象，建立函数关系，求得问题 解决.近几年高考中，考查函数的思想方
法已更加突出，特别是应用题的考查，考查力度逐年加大，都需 用到函数的知识与方法才能
解决，从如何建立函数关系式入手，考查函数的基本性质，以及数形结合、分 类讨论、最优

8

化等数学思想，重视对实践能力的考查 是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意识的
训练，才能适应高考新的变化.

五．课后作业
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的概念，选择题，易，分析 问题与解决问题能
力。
?
?x,x?0,
【题目】
设函数
f(x)?
?
2
若f(
?
)?4
,则实数
?
=

?
x,x
f
0.
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【解答】 当
?
? 0
时，
f(
?
)??2?4,
?
??4
；
当
?
?0
，
f(
?
)?2?4,?
?4
. 选B
2
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数 的奇偶性单调性，选择题，易，逻辑思维能力。

【题目】
下列函数中，既是偶函数 ，又是在区间
(0,??)
上单调递减的函数为（ ）

A．
y?ln
1

|x|
B．
y?x

3
C．
y?2

|x|
D．
y?cosx

【解答】对A，显然是偶函数，当
x
＞0时，函数为
y?ln
11
，内函数
u?
在（0，+
?
）
xx
上是减函数且值域为（0，+
?
），外函数
y?lnu
在（0，+
?
）是增函数，根据复合函数的
单调性知，原函数< br>y?ln
1
在（0，+
?
）是减函数，故选A.
|x|
对B，是奇函数，不符合条件；
对C，是偶函数，当
x
＞0时，
y?2
是增函数，不符合条件；
对D，是偶函数，在（0，+
?
）上有增有减，不符合条件.
x
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的图像，选择题，中，数学探究与创新能力。
?< br>a,a?b?1,
【题目】
．对实数
a
与
b
，定义新 运算“
?
”：
a?b?
?


b,a?b?1.< br>?
设函数
f(x)?x?2
?
2
??
x?x
?
,x?R.
若函数
y?f(x)?c
的图像与
x
轴恰有两 个公共点，
2
则实数
c
的取值范围是

9

A．
?
??,?2
?
?
?
?1,
?
?
3
?
3
??
??,?2??1,?< br> B．
?
?
???

2
?
4
??
C．
?
??,
?
?
?
?
?
1
?
4
?
3
??
1
?
1
???
,??
?
D．
?
?1,?
?
?
?
,??
?

4
??
4
?
4
???
222
?
?
x?2,x?2?x?x?1
【解答】B
f(x)?
?

222< br>?
?
x?x,x?2?x?x?1
?
?
?
?
y
3
?
2
x?2,?1?x?
?
?
2

?
?

3
?
x?x
2
,x??1,或x?
?
2
?
则
f
?
x
?
的图象如图
∵
y?f(x)?c
的图象与
x
轴恰有两个公共点，
o
-1
-2
x
∴
y?f(x)
与
y?c
的图象恰有两个公共点，由图象知
c??2
，或
?1?c??

3
.
4
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的奇偶性，填空 题，中，分析问题与解决问题
能力。

【题目】
若函数
f(x)? x
2
?x?a
为偶函数，则实数
a?
。

【解答】0 ，∵
f(x)
为偶函数，∴
f(?x)?f(x)
，
即
x?|x?a|?(?x)?|?x?a|?x?a?x?a,
∴
a?0< br>.
22
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，解答题，中，分 析问题与解决问题
能力。

【题目】
已知函数
f(x)?a?2< br>x
?b?3
x
，其中常数
a,b
满足
ab?0
。

（Ⅰ）若
ab?0
，判断函数
f(x)
的单调性；
（Ⅱ）若
ab?0
，求
f(x?1)?f(x)
时
x
的取值范围。
【解答】(Ⅰ) 当
a?0,b?0
时，任意
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2
，则
f(x1
)?f(x
2
)
=
a(2
x
1
? 2
x
2
)?b(3
x
1
?3
x
2
)


10

∵
2
1
?2
2
,a?0?a(2
1
?2
2
)?0
，
3
1
?3
2
,b?0?b(3
1
?3
2
)?0
，
∴
f(x
1
)?f(x
2
)?0，函数
f(x)
在
R
上是增函数。
当
a?0,b?0
时，同理，函数
f(x)
在
R
上是减函数。
(Ⅱ)
f(x?1)?f(x)?a?2?2b?3?0

xx
xxxxxxxx< br>aa
，则
x?log
1.5
(?)
；
2b2b3
x
aa
当
a?0,b?0
时，
()??
，则
x?log
1.5
(?)
。
22b2b
当
a?0 ,b?0
时，
()??
x
3
2
【属性】
高三复习， 函数的基本性质，函数的基本性质，解答题，中，分析问题与解决问
题能力。

1< br>【题目】
已知
f(x)??x
2
?x
，是否存在实数
m?n?0
，使定义域
D?[m,n]
时，
2
f(x)?[2m,2 n]
，请你构造一个偶函数
f(x)
，使定义域
[?1,1]
，值域 为
[?2,3]
．

【解答】（1）
f(x)??
111< br>?f(x)
是增函数，
(x?1)
2
?
，
?2m?? m
2
?m

?m?n?0
，
222
1
2< br>得
m?0或m??2
，同理，
?2n??n?n
，得
n?0或n??2
，
2
m?n?0
，所以
m??2,n?0
．
（2）可由图象特征得
f(x)?5|x|?2,f(x)??5x?3
等，
2【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的概念，辨析题，中，分析问题与解决问题能
力 。

【题目】
已知两个函数
f(x),g(x)
的定义域均为x?[a,b]
．若对于任意
x?[a,b]
，总有
|
f(x) ?g(x)1
|?
，我们称
f(x)
可被
g(x)
“替代” ．试判断
f(x)?x,x?[4,16]
是否
f(x)10
可被
g (x)?
1
(x?6)
，
x?[4,16]
替代？
5
分析 这是一个涉及函数知识的创新问题，理解“替代”是关键，为此，我们只要在[4，1 6]
上确定
|
1
x?(x?6)
x?61
1
5|?
是否恒成立．为此，我们设
|?
是否恒成立．即
|1?
1 0
5x
10
x

11

?
(x)?
x?6
5x
，确定其在[4,16]上的单调性和值域，便可判断
|1?
x?6
5x
|?
1
是否恒成立．
10
解 设
?
(x)?
x?6
5x
，任意取
4?x
1
?x
2
?16
，
?
(x
1
)?
?(x
2
)?
x
1
?6
5x
1
?
x
2
?6
5x
2
?
x
1
x
2< br>?6x
2
?x
2
x
1
?6x
1
5x
1
x
2
，
，

?< br>(x
1
?x
2
)(x
1
x
2
?6)
5x
1
x
2
当
x
1
,x
2
?[4,6]
时，
?
(x
1
)?
?
(x
2
)
，这时
?
(x)
为减函数；
当
x
1
,x
2
?[6,16]
时，
?
(x
1
)?
?
(x
2
)
，这时
?
(x)
为增函数；
?x?6
时，
?
min
(x)?
?
(6)?
又
?
(16)?
由
|1?
26
；
x?4
时，
?
(4)?1
，
5
1111
，故
?
max
(x)?
．
1 010
261111
x?61
|?及|1?|?
，知
|1?|?在
x?[4,16]
时恒成立，
5101010
5x
10因此，
f(x)
可被
g(x)
“替代”．
【属性】
高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，解答题，难，逻辑思维能力。

【题目】
若
f(x)
为奇函数，对任意实数a和b，都有
f(a? b)?f(a)?f(b)
，

且当
x?0
时，
f(x)?0
，
f(1)??2

（1） 证明：
f(x)
在
(??,??)
上是减函数；
（2） 求
f(x)
在
[?2,2]
上的最大值和最小值．
?f(?x)??f(x)
，【解答】（1）由
f(x)
是奇函数，设
?? ?x
1
?x
2
???
，则
x
2
?x
1
?0


?f(x
2
?x
1
)?0
，又
f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?f(?x
1
)?f(x
2
?x
1
)?0


?f(x
2
)?f(x
1
)
，
?f(x)在(??,??)
为减函数．
（2）由
f(x)
为减函数，

12

?f(x)
min
?f(2)?f(1?1)?f(1)?f(1)??4
，

?f(x)
max
?f(?2)??f(2)?4
．
点拨 善于灵活应用单调性求最值，可谓是好的方法．
【属性】
高三复习，函数的基 本性质，函数的概念，解答题，难，分析问题与逻辑思维能
力。

【题目】
函数
f(x)
的定义域为D，若存在
x
0
?D
，使
f(x
0
)?x
0
成立，则称以
(x
0
,x
0
)
为坐标的点是函数
f(x)
的图象上的不动点．

（1）若函数
f(x)?
范围。
（2）已知定义在R上的奇函数
f(x)
存在有限个“不动点”，
证明：函数
f(x)
必定有奇数个“不动点”．
3x?1
的图象上 有且仅有两个相异的“不动点”，试求实数a的取值
x?a
3x?a
有两个关于原点对 称的不动点，求实数a,b应满足的条件．
x?b
3x?1
【解答】（1）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
(x
1
?x
2
)
是函数
f(x)?的图象上的两个“不
x?a
（3）若函数
f(x)?
动点”，则有
x
1
?y
1
,x
2
?y
2
，且< br>这相当于
x
1
,x
2
是方程
3x
1
?13x?1
?x
1
，
2
?x
2
，
x< br>1
?ax
2
?a
3x?1
?x
的两个根．
x?a
2
因为
x
1
??a
，
x
2
??a
，可整理得方程
x?(a?3)x?1?0
有两个相异实根 ，且均
不等于
?a
．

???(a?3)?4?1?0,及(?a)?(a?3)?(?a)?1?0
．
解得a的取值范围为
(??,?)?(?,1)?(5,??)
．
（2）由
f(x)
是R上的奇函数，有
f(0)?0
，（可由
f(?0)?? f(0)
获得），知点
(0,0)
是函数
f(x)
的一个不动点．
若函数
f(x)
还有“不动点”
(x
0
,x0
)
，则由
f(x)
是奇函数，有
f(?x
0
)??f(x
0
)
，
22
1
3
1
3

13

f(x
0
)?x
0
， 即可知
f(?x
0
)??x
0
，点
(?x
0
,?x
0
)
也是
f(x)
的一个“不动点”．
因此，
f(x)
的图象上的“不动点”除原点外有限组成对地出现的，再加上原点这
一 个“不动点”，故其个数是奇数．
（3） 设点
(x
0
,x
0)
为
f(x)?
3x?a
的一个“不动点”，则有
x?b
f(x
0
)?
3x
0
?a
2
?x
0，整理得
x
0
?(b?3)x
0
?a?0,(x
0< br>??b)
（1）
x
0
?b
据题意该方程有两个不相等的实根，且两根的绝对值相等，符号相反。
?
b?3?0，

?
?
?
?a?0，
，可先得
b?3,a?0
，
?
?
(b?3)
2
?4(?a)?0．
而当
x
0
??b
时，由方程（1）可得
a?3b
，

?x
0
??b
对应
a?3b
，即
a?9
，
综上，
a,b
应满足
b?3,a?0且a?9
．

14