高中数学函数知识点总结与经典例题与解析

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函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴 叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴
或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公 共的原点）叫做直角坐标系的原
点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述 坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四
个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第 三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念 < br>点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”
分开，横、纵坐标 的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
a?b
时，
（a，b）和（b，a ）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征
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千里之行 始于足下

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1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第三象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第四象限
?x?0,y?0

2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
?y?0
，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
?x?0
，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上
?
x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上
?
x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上
?
x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称
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千里之行 始于足下

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的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称
?
横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称
?
纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称
?
横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
y

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
x

22
x?y
（3）点P(x,y)到原点的距离等于

知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做
常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y
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都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以 用一个含有这两个变量及数字运算符号的
等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种
表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
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（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起
来。

知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地 ，如果
y?kx?b
（k，b是常数，k
?
0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数
y?kx?b
中的b为0时，
y?kx
（k为常 数，k
?
0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数< br>y?kx?b
的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数
y?kx
的
图像是经过原点（0，0）的直线。
k的b的
符号 符号
函数图像 图像特征
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千里之行 始于足下

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y



图像经过一、二、三象限，
b>0 0 x
y随x的增大而增大。


k>0


y

图像经过一、三、四象限，
b<0


y随x的增大而增大。
0 x

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千里之行 始于足下

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y



图像经过一、二、四象限，
k<0 b>0
y随x的增大而减小
0 x



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千里之行 始于足下

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y


图像经过二、三、四象限，
k<0 b<0
y随x的增大而减小。
0 x



注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
y?kx
有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左
之右上升；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图像从左
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千里之行 始于足下

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之右下降。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数
y?kx?b
有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
（3）当b>0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上
（4）当b<0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
y?kx
（k
?
0）中的常
数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式
y?kx?b
（k?
0）中的常
数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
k
（k是常数，k
?
0）叫做反比例函数。反比例函数的解
x
一般地，函数
y?
析式也可以写成
y?kx
?1
或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x
?
0的一切实
数，函数的取值范围也是一切非零实数。
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2、反比例函数的图像
反比例 函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三
象限，或第二、四象限，它们关于原 点对称。由于反比例函数中自变量x
?
0，
函数y
?
0，所以，它的 图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限
接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、
比例函数的性质
反
反比
例函
数
y?
k
(k?0)

x
k的
符号
k>0 k<0

y
图像
y



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千里之行 始于足下

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O
x
O x







①x的取值范围是x
?
0， ①x的取值范围是x
?
0，
y的取值范围是y
?
0； y的取值范围是y
?
0；
②当k>0时，函数图像的两个分②当k<0时，函数图像的两个分支分别
性质 支分别
在第二、四象限。在每个象限内，y
在第一、三象限。在每个象限内，
y
随x 的增大而增大。
随x 的增大而减小。
4、反比例函数解析式的确定 k
中，只有一个
x
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数
y?
待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，
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从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k
y轴的垂 线PM，PN，
(k?0)
图像上任一点P作x轴、
x
若过反比例函数
y
?
则所得的矩形
?y?
PMON的面积S=PM
?
PN =
y?x?xy
。
k
,?xy?k,S?k
。
x
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如 果
y?ax
2
?bx?c
(
a
,
b
,c是常数，a?
0)
，特别注意a不为零，那
么y叫做x 的二次函数。
y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
二 次函数的图像是一条关于
x??
抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
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