高中数学选修2目录-高中数学老师资格证考试科目
高中数学:求函数值域的十三种方法
一、观察法(☆ )
二、配方法(☆)
三、分离常数法(☆)
四、反函数法(☆)
五、判别式法(☆)
六、换元法(☆☆☆)
七、函数有界性
八、函数单调性法(☆)
九、图像法(数型结合法)(☆)
十、基本不等式法
十一、利用向量不等式
十二、一一映射法
十三、 多种方法综合运用
一、观察法
:
从自变量
x
的范围出发,推出
y?f(x)
的
取值范围。
【例1】
求函数
y?x?1
的值域。
【解析】∵
x?0
,∴
x?1?1
,
∴函数
y?x?1
的值域为
[1,??)
。
y?
1
x
的值域。
【例2】求函数
1
?0
(??,0)?(0,??)
x?0
【解析】∵
∴
x
显然函数的值域
是:
【例3】已知函数
y?
?
x?1
?
?1
,x?
?
?1,0,1,2
?
,求函数的值域。
2
【解
析】因为
x?
?
?1,0,1,2
?
,而
f
??1
?
?f
?
3
?
?3
,
f
?
0
?
?f
?
2
?
?0
,
f?
1
?
??1
所以:
y?
?
?1,0,3?
注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为
x?R
,则函数的值域为
?
y|y??1
?
。
二. 配方法:配方法式
求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F(x)?af
2
(x)?bf(x)?c<
br>的函数的
值域问题,均可使用配方法。
【例1】
求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
【解析】将函数配方得:时,
【变式】已知
∵由二次函数的性质可知:当x=1
∈[-1,2]时,,当
2
故函数的值域是:[4,8]
,求函数的最值。
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【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的
二次函数。将二次函数配
方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐
标
不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。
图2
【例2】 若函数
f(x)?x
2
?2x?2,当x?[t,t?1]
时的最小值为
g(t)<
br>,(1)求函数
g(t)
(2)当
t?
[-3,-2]时,
求g(t)的最值。(说明:二次函数在闭区间上的值域二点二分法,三点三分法)
【解析】(1)函数,其对称轴方程为,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。
图2
图1
①如图1所示,若顶点横坐标在区间
。
②如图2所示,若顶点横坐标在区间
值。
右侧时,有,即。当
上时,有,即
左侧时,有,此时,当
图3
时,
函数取得最小值
。当时,函数取得最小
③如图3所示,若顶点横坐标在区间
时,函数取得最小值
综上讨论,g(t)=
f(x)
min
?
(t?
1)
2
?1,t?1
?
?
?
1,0?t?1
?
t
2
?1t?0
?
?
t
2
?1(t
?0)
?
2
(2)
g(t)?
?
1(0?t?1)
?
t?(??,0]
时,
g(t)?t?1
为减函数
?
t
2
?2t?2(t?1)
?
?
在
[?3,?2]
上,
g(t)?t?1
也为减函数
第 2 页
共 23 页
2
?
g(t)
min
?g(?2)?5
,
g(t)
max
?g(?3)?10
【例3】 已知
f
(x)?x
2
?2x?2
,当
x?[t,t?1](t?R)
时,求
f(x)
的最大值.
【解析】由已知可求对称轴为
x?1
. 2
?f(x)
min
?f
(
(t
1
)
)当
?t
t
?
?
2
1
t?3,f(x)?f(t?
1)?t?2
.
max
时,
(2)当
t≤1≤t?1
,即
0≤t≤1
时,.
根据对称性
,
若
t?t?11
?
即
22
0≤t≤
1
2
2
时,
f(x)<
br>max
?f(t)?t?2t?3
.
t?t?111
??t≤1
2
f(x)?f(t?1)?t?2
.
222
max
若即时,
2
f(x)?f(t)?t?2t?3
.
t?1?1t?0
max
(3)当即时,
综上,
f(x)max
1
?
2
t?2,t?
?
?
2
?
?
1
?
t
2
?2t?3,t?
?
2
?
观察前两题的解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢?
这些
问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或<
br>二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它的最小值在区
间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨论;而它的最大值
不可能
是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,
当然也就根
据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解,不难解释第二个例题为
什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
b1
?
f(m),??(m?n)(
如图1
)
?
?
2a2
?
?
f(x)
min
b1
?
f(n),??(m?n)(
如图2
)
?<
br>2a2
?
b
?
f(n),??n(
如图3
)
?
2a
?
bb
?
?
?
f(?),m???n(如图4
)
2a2a
?
b
?
f(m),??m
(
如图5
)
?
2a
?
当时
f(x)
max
第 3 页 共 23 页
当时
f(x)
max
b
?
f(n),??n(
如图6
)
?
b1
?
2a
f(m),??(m?n)(
如图9
)
?
?
?
2a2
bb
?
?
?<
br>f(?),m???n(
如图7
)
f(x)
min
?
?
2a2a
?
f(n),?
b
?
1
(m?n)(<
br>如图10
)
?
?
b
?
2a2
?
f(
m),??m(
如图8
)
?
2a
?
【例4】 (1)
求
f(x)?x
2
?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。
(2)
求函数
y??x(x?a)
在
x?[?1,1]
上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为
x??a
,
当
?a?
11
即
a??
时,
f(x)<
br>max
?f(2)?4a?5
;
22
11
即
a??
时,
f(x)
max
?f(?1)?2a?2
。
综上所述:
f(x)
max
22
当
?a?
1
?<
br>?2a?2,a??
?
?
2
?
?
。
1?
4a?5,a??
?
?2
aaaa
a
2
a<
br>2
a??2
(2)函数
y??(x?)?
图象的对称轴方程为
x?
,应分
?1??1
,
??1
,
?1
即
?2?a?2
,
2222
24
和
a?2
这三种情形讨论,下
列三图分别为
(1)
a??2
;由图可知
f(x)
max
?f(?1)
(2)
?2?a
?2
;由图可知
f(x)<
br>max
?f()
(3)
a?2
时;由图可知
f(x)
max
?f(1)
a
2
第 4 页 共 23 页
?
y<
br>最大
?
?(a?1),a??2
?
f(?1),a??2
?<
br>2
?
a
?
a
?
?
?
f(),?2?
a?2
;即
y
最大
?
?
,?2?a?2
?
4
?
2
?
?
?
f(1),a?2
?a?1,a?2
【例5】 已知二次函数
f(x)?ax
2
?(2a?1
)x?1
在区间
?
?
?
3
?
,2
?
上的最大值为3,求实数a的值。
?
2
?
【分析】这是一个逆向最值问题
,若从求最值入手,需分
a?0
与
a?0
两大类五种情形讨论,过程繁琐不堪
。若
注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真
假,过程
就简明多了。具体解法为:
(1)令
f(?
2a?11
)?3
,得
a??
<
br>2a2
1
?
3
?
,2
?
,故
?不合题意;
2
?
2
?
此时抛物线开口向下,对称轴方程为x??2
,且
?2?
?
?
(2)令
f(2)?3
,得
a?
1
2
此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴
较远,故
a?
(3)若
f(?
1
符合题意;
2
32
)?3
,得
a??
23
2
符合题意。
3
此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对
称轴较远,故
a??
综上,
a?
12
或
a??
<
br>23
解后反思:若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一
致,可采用先
斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之
为最值,验证参数的
资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解题过程简洁、明了。
【变式】 已知函数
f(x)?ax?2ax?1
在区间
[?3,2]
上的最大值为4,求实数a的值。
【解析】
f(x)?a(x?1)
2
?1?a,x?[?3,2]
(1)若
a?0,f(x)?1,
,不符合题意。
(2)若
a?0
,
则
f(x)
max
?f(2)?8a?1
2
3
8
(3)若
a?0
时,则
f(x)
max
?f(?1)?1?a
由
1?a?4
,得
a??3
3
综上知
a?
或
a??3
8
x
2
?x
在区间
[m,n]
上的最小值是3
m
最大值是3n
,求
m
,
n
的值。 【例6】
已知函数
f(x)??
2
m?n
,n
的位置关系。 【解法1】讨论
对称轴中1与
m,
2
由
8a?1?4
,得
a?
第
5 页 共 23 页
①若
解得
,则
?
?
f(x)
max
?f(n)?3n
f(x)?f(m)
?3m
?
min
?
f(x)
max
?f(1)?3n
m?n
?1?n
,则
?
②若,无解
f(x)?f(m)?3m<
br>2
?
min
?
f(x)
max
?f(1)?3nm?n
③若
m?1?
,则
?
,无解
f(x)?f(n
)?3m
2
?
min
④若,则
?
?
f(x)
max
?f(m)?3n
,无解
f(x)?f(n)?3m
?
m
in
综上,
m??4,n?0
1111
(x?1)
2?
,知
3n?,n?,
,则
[m,n]?(??,1]
, 2226
?
f(x)
max
?f(n)?3n
又∵在
[
m,n]
上当
x
增大时
f(x)
也增大所以
?
解得
m??4,n?0
f(x)?f(m)?3m
?
min
【解法2】由
f(x)??
评注:解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩
小了
m
,
n
的取值范围,避开了繁难的分类
讨论,解题过程简洁、明
了。
【例7】 求函数
y?x?3?5?x
的值域.
【解法1】
y
2
?x?3?5?x?2(x?3)(5?x)?2?21?(x?4)
2
显然
y
2
?2?21?(x?4)
2
?[2,4]
故函数的值域是:
【解法2
y?[2,2]
】显然3≤x≤5,<
br>x?3?2sin
2
?
(
?
?[0,])?5?x?2cos
2
?
2
?
,
y?x?3?5?x?2(sin
?
?cos
?
)?2sin(
?
?)?[2,2]
4
三、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法(分母少,
分子多),通过
?
该方法可将原函数转化为为
y?k?f(x)
(
k
为
常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例1】
求函数
y?
x?2
的值域
x?1
1
,容易观察知x≠-1,y≠1,得函数的值域为
y
∈(-∞,1)∪(1, +
x?1
【解析】利用恒等变形,得到:
y?1?
∞)
。注意到分数的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数
值域。
x
2
?x
【例2】
求函数
y?
2
的值域。
x?x?1
第 6 页 共 23 页 <
/p>
【解析】观察分子、分母中均含有
x
2
?x
项,可利用
部分分式法;则有
x
2
?xx
2
?x?1?11
1
2
31
y?
2
??1?
f(x)?(x?)?,g(x)?(f(x
)?0)
从而不妨令:
2
13
x?x?1x?x?1
24f(x)<
br>(x?)
2
?
24
?
3
?
?
3?
1
f(x)?
?
,??
?
注意:在本题中应排除<
br>f(x)?0
,因为
f(x)
作为分母。所以
g(x)?
?<
br>0,
?
故
y?
?
?,1
?
?4
?
3
?
4
?
【变式】
求下列函数的值域:
(1)
y?
x?1
3x?2
x
2
?1
(2)
y?
2
.
x?1
1
答案:(1)值域
y?(??,
1
(2)值域
y ∈[-1,1]
3
)?(
3
,??)
<
br>四、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到
原函数的值域。
1?2
x
【例1】
求函数
y?
的值域。
1?2
x
1?y1?y
1?2
x
x
x
2?
?0
,
2?0
【解析】由
y?
解得, ∵,∴
1?y1
?y
1?2
x
1?2
x
∴
?1?y?1
∴函数
y?
的值域为
y?(?1,1)
。
1?2
x
【例2】求函数
y?
3x?4
值域。
5x?6
【解析】由原函数式可得:则其反函数为:,其定义域为:
故所求函数的值域为:
(??,)?(,?)
3
5
3
5
e
x
?1
【例3】
求函数
y?
x
的值域。
e?1
e
x
?1
解答:先证明
y?
x
有反函数,为此,设
x
1
?x
2
且
x
1
,x
2
?R
,
e?1
第 7 页 共 23 页
e
x
1
?1e
x
2
?1e
x
1
?e
x
2
y
1
?y
2
?
x
1
??2
x
1<
br>?0
。
e?1e
x
2
?1(e?1)(e
x
2
?1)
?x
所以
y
为减函数,存在反函数。可以求得其反函数为
:
y
?1
?ln
1
。此函数的定义域为
x?(?1,1)<
br>,故原函数的
1?x
值域为
y?(?1,1)
。
【例4】
求函数
y?
a?bx
(a?0,b?0,a?b,x?[?1,1])
的值域。
a?bx
2a2a2a
??
a?ba?bxa?b
【解法1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b
2a2a2a
a?ba?b
?1?y??1???1?
?y?
,a?ba?bxa?b
a?ba?b
【解法2】(反函数法):
x?
a?
ba?b
a2aa2a
?y?
???1
,,由-1≤x≤1得:
?1
?x?
a?ba?b
bb(y?1)bb(y?1)
五、
判别式法
:把函数转化成关于
x
的二次方程
F(x,y)?0
;通过方程有实数根,判
别式
??0
,从
a
1
x
2
?b
1
x?c
1
而求得原函数的值域,形如
y?
(
a
1
、
a
2
不同时为零)的函数的值域,常用此方法求
2
a
2x?b
2
x?c
2
解。
(解析式中含有分式和根式。)
1?x?x
2
【例1】求函数
y?
的值域。
2
1?x
【解析】原函数化为关于x的一元二次方程,由于x取一切实数,故有
(1)当时, 解得:
(2)当y=1时,,而
故函数的值域为
【例2】求函数
y?x?x(2?x)
的值域。
【解析】两边平方整理得:
∵ ∴ 解得:
(1)
第
8 页 共 23 页
但此时的函数的定义域由,得
在实数集R有实根,而
不能确保其实根在区间[0,2]
求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为
由,仅保证关于x的方程:
上,即不能确保方程(1)有实根,由
。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程(1) 解得:
即当时, 原函数的值域为:
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不
是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔
除。
解法二:
y?x?x(2
?x)?x?1?(x?1)
2
,令
x?1?sin
??
?[???
,]
22
y?1?sin
?
?cos
?
?1?2sin(
?
?
?
4
)
?
?
4
?
?
?
?
4
?
3
?
4
?
2
?
?sin(
?
?)?1
24
原函数的值域为:
2x
2
?ax?b
【例3】
已知函数
f(x)?
的值域为[1,3],求
a,b
的值。
x2
?1
2x
2
?ax?b
【解析】
y?
?(y
?2)x
2
?ax?y?b?0???a
2
?4(y?2)(y?b)?0<
br>
2
x?1
4y
2
?4(2?b)y?8b?a
2<
br>?0
。
2x
2
?ax?b
由于
f(x)?
的值域为[1,3],故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}
2
x?1
第 9
页 共 23 页
?
y
1
?y
2
?2?b
?1?3
?
a??2
?
2
?
?
?
?
8b?a
b?2
?3
?
?
y
1
y2
?
?4
【例4】求函数
y?
x?1
x
2?2x?2
的值域。
【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得:
yx
2
?(2y?1)x?2y?1?0
,(1)
这是一个关于
x
的一
元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式
1
??(2y?1)<
br>2
?4y(2y?1)?0
,解得:
?
1
2
?y?<
br>2
。
1
故原函数的值域为:
y?[?
1
2
,
2
]
。
【解法2】当x≠-1时
y?
x?1x?2x?2
2
?
1
1
(x?1)?
x?1
由于 当x+1< 0时,
(x?1)?
1
??2
,即
y?[?
1
2
,0)
x?1
当x+1> 0
时,
(x?1)?
1
?2
,即
y?(0,
1
2]
x?1
1
考虑到x=-1时y=0
故原函数的值域为:
y?[?
1
2
,
2
]
【例5】已知函数
y?
mx?n
的最大值为4,最小值为 —1
,则
m
= ,
n
=
x2
?1
【解析】
y?
mx?n
?y?x
2
?m
x?n?y?0???m
2
?4y(y?n)?0
2
x?1
1。
4y
2
?4ny?m
2
?
0
??????
○
2x
2
?ax?b
由于
f(x)
?
的值域为[-1,4],故不等式
○
1的解集为{y|-1≤y≤4}
2
x?1
?
y
1
?y
2
?n?3
?
m??4
?
2
?
?
?
?
?m
m
?3
??4
?
?
y
1
y
2
?
?4
m??4
n?3
【例6】求函数
y?
2
x?2
的值域。
x
2?2x?3
【解析】
y?x?(y?1)x?3y?2?0
第 10
页 共 23 页
○
1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点;
○
2
y?0???(y?1)
2
?4y(3y?2)?0
16y
2
?4y?1)?0
?
?
1
○
2得
函数的值域为R.
?
?y?R
, 由
○
?
y
??
48?0
?
?
六、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,
从而求得原函数的值域,
形如
y?ax?b?cx?d
(
a
、
b
、
c
、
d
均为常数,且
a?0
)的函数常用此
法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数
转化为简单的
熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。
【例1】求函数
y?2x?1?2x
的值域。
1?t
2
【
解析】令
t?1?2x
(
t?0
),则
x?
,
2
15135
∴
y??t
2
?t?1??(t?)
2
?
∵当
t?
,即
x?
时,
y
max
?,无最小值。
24284
5
∴函数
y?2x?1?2x
的值域
为
(??,]
。
4
【例2】
求函数
y?2
x?5
?log
3
x?1(2?x?10)
的值域。
,y
2
?log
3
x?1
则
y
1
,y
2
在[2,10]上都是增函数
【解
析】
令
y
1
?2
x?5
所以
y?y
1?y
2
在[2,10]上是增函数
当x=2时,
y
min?2
?3
?log
3
2?1?
1
8
5
当x=10时,
y
max
?2?log
3
9?33
?
1
?
?
8
,33
?
?
故
所求函数的值域为:
?
【例3】
求函数
y?x?1?x?1
的值域。
y?
2
x?1?x?1
【解析】
原函数可化为:
令
y
1
?x?1,y
2
?x?1
,显然
y
1
,y
2
在
[1,??]
上为无上界的增函数
所以
y?y
1
,
y
2
在
[1,??]
上也为无上界的
增函数
第 11 页 共 23 页
2
所以当x=1时,
y?y
1
?y
2
有最小值
2
,原函数有最大值
2<
br>显然
y?0
,故原函数的值域为
(0,2]
2
【例4】
求函数
y?x?2?1?(x?1)
的值域。
?2
2
2
【解析】
因
1?(x?1)?0
即
(x?1)?1
故可令
x?1?cos?,??[0,?]
2
y?cos??1?1?cos??sin??cos??1
∴
?
?2sin(??)?1
4
∵
0????,0???
?5
??
44
2??sin(??)?1
24
?
?0?2sin(??)?1?1?2
4<
br>
??
故所求函数的值域为
[0,1?2]
x
3<
br>?x
y?
4
x?2x
2
?1
的值域。
【例
5】
求函数
12x1?x
2
y???
2
2
1?x1
?x
2
【解析】
原函数可变形为:
2x1?x
2
2
?sin2?,?cos?
22
x?tg?
1?x
可令,则有1?x
11
?y??sin2??cos2???sin4?
24
当
??
k??
1
?y
max
?
4
28
时,
k??1
?y
min
??
28
时
,
4
当
??
而此时
tan?
有意义。
?
11
?
?
?
4
,
4
?
?
故所求函数的值域为
?
第 12 页 共 23 页
?
??
?
x?
?
?,
?
?
122
?
的值
域。
【例6】
求函数
y?(sinx?1)(cosx?1)
,
【
解析】
y?(sinx?1)(cosx?1)
?sinxcosx?sinx?cosx?1
1
sinxcosx?(t
2
?1)
2
令
sinx?cosx?t
,则
11
y?(t
2
?1)?t?1?(t?1)
2
22
?
??
?
2
x?
?
?,
?
?t?2
t?sinx?cosx?2sin(x??4)
122
??
2
由
且
可得:
∴当
t?2
时,
y
max
?
232
3
t?y??
?2
2
时,
42
2
,当
?
3
?
23
?
,?2
??
422
??
?
。
故所求函数的值域为
?
2
【例7】
求函数
y?x?4?5?x
的值域。
2
【解析】
由
5?x?0
,可得
|x|?5
故可令
x?5cos?,??[0,?]
?
y?5cos??4?5sin??10sin(??)?4
4
??5?
?????
44
∵
0????
4
当
???4
时,
y
max
?4?10
当
???
时,
y
min
?4?5
故所求函数的值域为:
[4?5,4?10]
【例8】
求函数y?(x
2
?5x?12)(x
2
?5x?4)?21
的值域。
9
5
?
9
?
【解析】
令
t?x
2
?5x?4?
?
x?
?
?
,则
t??
。
4
2
?
4
?
2
y?t
?
t?8<
br>?
?21?t
2
?8t?21?
?
t?4
?
?5
,
2
第 13 页 共 23 页
9
1?
1
?
?
9
?
当
t??
时,
y
min
?
?
??4
?
?5?8
,值域为
?
y|y?8
?
4
16
?
16
?
?
4
?
2
【例9】
求函数
y?x?21?x
的值
域。
2
【解析】
令
t?1?x
,则
x?1?t
2
,
t?0
,
y?1?t
2
?2t??
?
t
?1
?
?2
当
t?0
时,
t
max?1?0
2
?2?0?1
所以值域为
(??,1]
。
【例10】
.求函数
y?x?10x?x
2
?23
的值域。
【解析】
由
y?x?10x?x
2
?23
=
x?2
?
?
x?5
?
,
2
令
x?5?2cos
?
,
2
因为
2
?
?
x?5
?
?0?2?2cos
2
?
?0??1
?cos
?
?1
,
?
?[0,
?
]
, <
br>则
2?
?
x?5
?
=
2sin
?
,
2
于是:
y?
??
5
?
?
??
2
sin
?
?2cos
?
?5?2sin
?
?
??
?5
,
?
??[,]
,
444
4
??
?
2
?
??
?sin
?
?
?
?
?1
,所以:
5?2?y?7
。
24
??
七、
函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客
为主来确定函数的值域。
x
2
?1
【例1】
求函数
y?
2
的值域。
x?1
【解析】由函数的解析式可
以知道,函数的定义域为
R
,对函数进行变形可得
(y?1)x
2
??(y?1)
, ∵
y?1
,∴
x
2
??
y?1
(
x?R
,
y?1
),
y?1
y?1
x
2
?1
?0
,∴
?1?y
?1
,
∴函数
y?
2
∴
?
的值域为
{y|?1?y?1}
x?1
y?1
e
x
?1
y?
x
e?1的值域。 【例2】求函数
第 14 页 共 23 页
【解析】
由原函数式可得:
e
x
?
y?1
y?1
y?1
?0
x
y?1
?1?y?1
故所求函数的值域为
(?1,1)
∵
e?0
∴
解得:
【例3】求函数
y?
cosx
sinx?3
的值域。
2
y?1sinx(x??)?3y
ysinx?cosx?3y
【解析】
由原函数式可得:,可化为:
sinx(x??)?
即
3y
y
2
?1
?1?
3y
y?1
2
?1
解得:∵
x?R
∴
sinx(x??)?[?1,1]
即
?
22
?y?
44
?
22
?
?,
??
44
??
?
故函数的值域为
?
【例4】
y?
3?sinx
<
br>4?2cosx
【解法1】
sin(x?
?
)?
3?4y1?4y
2
,
sin(x?
?
)?
3?4y
1
?4y
2
?1
,
解得
1?
3333
即函数值域为:
y?[1??y?1?,1?]
3333
【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率.即
过点(4,3)且与椭圆有交点的直线,其斜率取值
3?sinx
x
2
y?<
br>?y
2
?1
4?2cosx
聚会取值范围.设y=k(x-4)+3
代入椭圆方程
4
范围就是
222
(4k?1)x?8(3?4k)kx?4
(16k?24k?8)?0
,由Δ=0得答案. 得
【例5】 已知a>0,x
1<
br>,x
2
是方程ax+bx-a=0的二个实根,并且|x
1
|+|x<
br>2
|=2,求 a的取值范围以及b的最大值 。
22
【解析】由韦达定理知:
xx=
-a<0,故两根必一正一负,
|
x
|
+
|
x
|
=2
12
12
从而
|x
1
-x
2
|=2
由韦达定理知:4=|x
1
-x
2
|
2
=(b2
+4a
3
)a
2
第 15 页 共 23 页
从而4a
2
-4a
3
=b
2
≥0
即4a
2
(1-a) ≥ 0
即a≤1,注意到a>0,从而a的取值范围是0< a≤1
从而
b<
br>2
?4a
2
(1?a)?2?a?a?(2?2a)?2?(
即b的最
大值为
a?a?2?2a
3
16
)?
327
43
,当且仅当a=23时“=”成立。
9
八、函
数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。
【例1】求函数
y?x?1?2x
的值域。
【解析】∵当
x
增大时,
1?2x
随
x
的增大而减少,
?1?2x
随x
的增大而增大,
1
∴函数
y?x?1?2x
在定义域
(??,]
上是增函数。
2
∴
y?
1
111
?1?2??
,∴函数
y?x?1?2x
的值域为
(??,]
。
2
222
1
在区间
x?
?
0,??
?
上的值域。
x
【例2】
求函数
y?x?
【解析】任取<
br>x
1
,x
2
?
?
0,??
?
,且<
br>x
1
?x
2
,则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
x
1?x
2
??
x
1
x
2
?1
?
,因为
0?x
x
1
x
2
1
?x
2
,所以:
x
1
?x
2
?0,x
1
x
2?0
,
当
1?x
1
?x
2
时,
x<
br>1
x
2
?1?0
,则
f
?
x
1?
?f
?
x
2
?
;
当
0?x
1
?x
2
?1
时,
x
1
x
2
?
1?0
,则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
;而当
x?1
时,
y
min
?2
于是:函数
y?x?
1
在区间
x?
?
0,?
?
?
上的值域为
[2,??)
。
x
构造相关函数,利用函数的单调性求值域。
【例4】
求函数
f<
br>?
x
?
?1?x?1?x
的值域。
【解析】因为
?
?
1?x?0
??1?x?1
,而
1?x
与
1?x
在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数
?
1?x?0
g
?x
?
?1?x?1?x
,易知
g(x)
在定义域内单调增。g
max
?g
?
1
?
?2
,
g
min
?g
?
?1
?
??2
,
?g
?<
br>x
?
?2
,
0?g
2
?
x
?
?2
,
又
f
2
?
x
?
?g
2
?
x
?
?4
,所以:
2?f
2
?
x
?
?4
,
2?f
?
x
?
?2
。
第 16 页 共 23 页
【例5】
求函数
y?3x?6?8?x
的值域。
【
解析】此题可以看作
y?u?v
和
u?3x?6
,
v??8?x的复合函数,显然函数
u?3x?6
为单调递增
函数,易验证
v??8?
x
亦是单调递增函数,故函数
y?3x?6?8?x
也是单调递增函数。而此函数的定
义域为
[?2,8]
。
当
x??2
时,
y
取得最小值
?10
。当
x?8
时,
y
取得最大值
30
。
故而原函数的值域为
[?10,30]
。
九.
图像法(数型结合法):函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图
像求得函数
值域,是一种求值域的重要方法。
当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直
线
的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几
求出其值域。
y
何图形的
直观性可
【例1】求函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域。
?
?2x?2
(x??3)
?
【解析】∵
y?|x?3|?|x?5|?
?
8
(?3?x?5)
,
?
2x?2
(x?
5)
?
8
o
-35
x
∴
y?|x?3|?|x?5
|
的图像如图所示,
由图像知:函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域为
[8,??)
22
【例2】
求函数
y?(x?2)?(x?8)
的值域。
【解析】原函数可化简得:
y?|x?2|?|x?8|
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),
B(?8)
间的距离之和。
由上图可知,当点P在线段AB上时,
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10
故所求函数的值域为:
[10,??]
22
【例3】
求函数
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。
【解析】原函数可变形为:
第 17 页 共 23 页
y?(x
?3)
2
?(0?2)
2
?(x?2)
2
?(0?1)2
上式可看成x轴上的点
P(x,0)
到两定点
A(3,2)
,B(?2,?1)
的距离之和,
22
y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43
,
min
由图
可知当点P为线段与x轴的交点时,
故所求函数的值域为
[43,??]
十、 基本不等式法:利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征<
br>解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技
巧。
k
x
2
?2
【例1】求下列函数的值域:(1)
y?x??3
(k>0);(2)
y?
。
2
x
x?1
【解析】(1)若x>0时,则
y?x?
k
k
?3
?
2x??3?3?2k
,等号仅当x=kx,即
x?k
时成立;
x
x
若x<0时,则
y?x?
k
k
?3
??2?x?(?)?
3?3?2k
,等号仅当-x=-kx,即
x??k
时成立;
x
x
故,
y?(??,3?2k]?[3?2k,??)
解法一:
y?
(2)
x
2
?2
x?1<
br>2
=
?x
2
?1?
1
x?1
2
?2
,故
y?[2,??)
解法二:令
t?x
2
?1
,则
y?t?
1
(t?1)
.即方程
f(t)?t
2
?ty?1?0
在[1,+∞)上有解.
t
所以
t
1
t
2
?1
.从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根,另
一根在(0,1)内,从而f(1)≤0,即y≥2.
x
2
?2x?2
【例2
】
若
?4?x?1
,求的最小值
2x?2
x
2
?
2x?21(x?1)
2
?11111
【解析】
???[(x?1)?]??
[?(x?1)?]
2x?22x?12x?12?(x?1)
第 18 页 共
23 页
∵
?4?x?1
∴
0??(x?1)?3
???
11
?
?(x?1)3
从而
[?(x?1)?
111
]?2
?[?(x?1)?]??1
,
?(x?1)2?(x?1)
1
,即x=-2时”=”成立
?(x?1)<
br>当且仅当
?(x?1)?
x
2
?2x?2
)
min<
br>??1
即
(
2x?2
【例3】
求函数
y?2x?<
br>2
3
,(x?0)
的最小值
x
【解析】
y?2x<
br>2
?
3333393
?2x
2
???3
3
2
x
2
???3
3
?
3
36
x2x2x2
x2x22
3
33
6
当且仅当
2x?
即
x?
时
y
min
?
3
36
2x2
2
2
【例4】
求y=
14
?
?
(x?
(0,))的最小值。
cosxsinx
2
【解析】y>0,y
2
=(sec
x+4csc x)
2
= sec
2
x+16csc
2
x+ 8sec xcsc x
?
cos
2
x?sin
2
=(tanx+1)+16(cotx+1)+8
?
?
cosxsinx
?<
br>22
x
?
?
?
?
=17+(tan
2
x+4cot x+4cot x)+
(16cot
2
x+ 4tan x+4tan x)
?1?(
3
16)
3
?3
3
tan
2
x?4cotx?4cotx?
3
3
16cot
2
x?4tanx?4tanx
=
1?
3
16
??
3
?
tan
2
x?4cotx?4cotx
?
tan
3
x?4
当且仅当
?
即
?
(这是两个相同的方程),
2
3
?
16cotx?4tanx?4tanx
?
4cotx?1
即当x=arc
tan
3
4
?
(0,
?
2
)
时,“=”成
立(达到最小值)。
【例5】若函数y=f(X)的值域为
[,3]
,则函
数
F(x)?f(x)?
1
2
10
1
的值域是
[2,]
。
3
f(x)
第 19 页 共
23 页
解析:f(x)>0,
F(x)?f(x)?
1
1
1
1
而
g(t)?t?
在t?
[,1]
时单调递
减,
g(t)?t?
在
?2
,并且当f(x)=1时等号成立。
t
t
2
f(x)
1151
1
在区间
[,1]
上的值域
为
[g(1),g()]?[2,]
;
g(t)?t?
在区间[1,3]上的
值域为
t22t
2
10
]
[g(1),g(3)]=[2
,103].综合知F(x)的值域为
[2,
3
t?[1,3]时单调递增。从而g(t)?t?
【例6】求函数
y?
x?2
的值域。
x?3
,则 【解析】令
(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
注:先换元,后用不等式法
十一、利用向量不等式
性质1 若,则
当且仅当
性质2
性质3
类型(1)型(
时等式成立
,当且仅当a,同向平行时右边等式成立,a,
,当且仅当
同号)
反向平行时左边等式成立。
方向相同且两两平行时等式成立。
【例1】
求函数
y?5x?1?10?x
的最大值。
【解析】构造向量
由性质1,得
当且仅当
解2:显然1≤x≤10,
,即时,
x?1
?9sin
2
?
?3sin
?
(
?
?[0,])?
10?x?9(1?sin
2
?
)?3cos
?
4
1
y?15sin
?
?3cos
?
?326sin(
?<
br>?
?
)
(其中
?
?arctan
)
5??
151
?
?
?
?
?
??
?
?(sin(
?
?
?
))
min
?min{sin
?
,sin(?
?
)}?{,}?
22
262626
第 20 页 共 23 页
?
?1
2
所以3≤
y?15sin
?
?3cos
?
?326sin(
?
?
?
)?3
26
即
类型(2)型
的最大值。
(sin(
?
?
?
))
max
?sin
?
【例2】
求函数
y?x?3?10?9x
2
【解析】原函数可变为
取
构造向量
由性质1,得
且
从而
当且仅当
类型(3)
,即时,
型(
) <
br>【例3】
求函数
y?x
2
?4?(3?x)
2
?9<
br>的最小值。
【解析】构造向量
由性质2,得
当且仅当a与b同向平行时等式成立
所以(此时
类型(4)其它类型
)
【例4】
设x<
br>1
(i=1,2,??,2003)为正实数,且
x
1
?x
1
???x
2015
?2015
,试求
y?x
1
?
x
2
?x
2
?x
3
???x
2014
?x
2015
?x
2015
?x
1
【解析】构造向量
的最小值。
由性质3,得
即
第 21 页 共 23 页
【例5】
已知
【解析】构造向量
,求的最小值。
从而
由性质3,得
当且仅当a=b=c=12时“=”成立。
所以
十二、一一映射法
原理:因为
y?
a
x?b
(c?0)
cx?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一
个变量范围,就可
以求另一个变量范围。
【例1】求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
11
??
?
x|x??或x??
?
22
?
【解析】∵定义域为
?
1?3x
x?
1?y
y?
2y?3<
br>
2x?1
得由
x?
故
1?y1?y
11
?
?x???
2y?32
或
2y?32
33
y??或y??
22
解得
3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2??
2
?
故函数的值域为
?
十三、多种方法综合运用
【例1】求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
【解析】令
t?x?2(t?0)
,则
x?3?t?1
第 22 页 共 23 页
y?
(1)当
t?0
时,
t11
??
1
t
2
?1
t?
1
2
0?y?
t
2
,当且仅当t=1,即
x??1
时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
?
1
?
?
0,
2
?
?
综上所述,函数的值域为:
?
注:先换元,后用不等式法
1?x?2x
2<
br>?x
3
?x
4
y?
1?2x
2
?x
4
【例2】 求函数的值域。
y?
1?2x?xx?x
?
1?2
x
2
?x
4
1?2x
2
?x
4
2
243
【解析】
?
1?x
2
?
?
?<
br>1?x
2
?
?
x
?
?
?
1?x2
?
2
?
1?x
2
?
2
?
??
?cos?
x?tan
?
1?x
2
?
?
2
,则
?
令
x1
?sin?
1?x
2
2
1
?
17
?
11
22
??sin???
??
?y?cos??
sin???sin??sin??1
4
?
16
?
22
2
∴当
sin??
17
1
y
max
?
16
4
时,
当
sin??
?1
时,
y
min
??2
17
??
?<
br>?2,
tan
?
16
?
?
2
都存
在,故函数的值域为
?
此时
注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用
s
in?
的有界性。
第 23 页 共 23 页
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