函数是高中数学教学中最重要的内容

函数是高中数学教学中最重要的内容,是高中数学的一条主线,从高一的初等函
数学习到 高二的通过数列、不等式、解析几何的学习,理解数列是一种特殊的函
数,再到导数、积分等知识的运用 ,函数都贯穿在高中数学学习的始末,它的思维
几乎渗透了每一个数学分支,也延伸至大学的高等教育中 ；当今社会,电脑知识在
不断地普及,很多领域都会用到函数(如计算机编程C++函数)。函数作为高 等数
学的基础,所体现出来的变量思想对于数学的发展具有里程碑的意义,使人们进
入了数学发 展的新时代。所以学好函数对学生的学习、生活都有着举足轻重的作
用,而这部分知识又因为其抽象性、 综合性而成为不少学生在数学学习中望而却
步的“鬼门关”和频频出错的“重灾区”,学生在函数的学习 中有哪些易错点,
在教学中教师又应采取什么对策呢?笔者在长期的教学实践得到如下结论:
一、函数概念理解不全面
例1:下列四组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=x,y=
?
t
?
2
B.y=
x
,y=
t
2
, C.y=
x
,y=x+1 D.y=x,y=
x

x?1x
2
?1
2
错因分析:选A或C或D的学生只是错误的化 简后发现解析式相同,而根
本不考虑定义域的问题,而不选B的学生是认为自变量的字母不同。根本原因 是
①忽视函数的定义域；②不清楚函数概念的实质。③思考问题缺乏条理。
解题策略:准 确理解函数的概念,教学中应让学生明确:判断两个函数是否为
同一函数,必须“三相同”:定义域、值 域和对应法则相同,而在一般解题过程中
只需判断两个函数的定义域与对应法则是否完全相同即可。解这 类题一般按以下
条理推演:(1)判断解析式相同否?若同,则进一步判断定义域同否?(2)若解析式
不同,则在对解析式进行适当变形后再判断解析式同否?定义域同否。
教师在进行函数概 念教学时,一定要对函数的定义域、对应法则、值域的本
质讲解到位,课后的作业不能只按课本练习布置 ,教师可设置一些变式题暴露学
生学习中存在的问题。
二、对函数及定义域的概念内涵理解不清

例2:已知函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(x+2)及f(x2-3)的定义域。
错因分析:不少学生求得函数f(x+2)的定义域为(2,3),他们错误的把x+2中
的x的取值看 成是0＜x＜1,而把x+2的值看成了f(x+2)所求的定义域,而没有理
解它的自变量还是x,求 函数f(x+2)的定义域其实是求f(x+2)中的x的取值。错
误的真正原因是①对对应法则的符号 不理解；②不清楚定义域的含义。
解题策略:此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式,属 于抽象函数题型,
学生一般比较害怕。这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件
事情:①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已
知”和“求”当中是一 致的。那么由f(x)的定义域是(0,1)可知法则f制约的量
的取值范围是(0,1),而在函数f (x+2)中,受f直接制约的是x+2,而定义域是指x
的范围,因此通过解不等式0＜x+2＜1得 -2＜x＜-1,即f(x+2)的定义域是
(-2,-1)。同理可得f(x2-3)的定义域为(- 2,-3)∪(3,2)。
教师讲解函数的定义域时,一定要讲清楚自变量是谁,受f制约的量与 自变
量的联系,结合换元法设置一些练习,让学生真正掌握其本质。
三、对抽象函数的性质把握不到位
例3:设函数f(x)在R上有定义,f(x)的值不恒为零, 对于任意的x、y∈R,恒
有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,则函数f(x)的奇偶性为__ _______。
错因分析:此种题型是抽象函数题型,高一开始学时可能不会做。原因在于①< br>误读抽象函数的有关性质；②对“恒成立”的理解不清晰,不能将其转化为所需
求的结构。此种由 一般到特殊,或由特殊到一般的转变是学生思维的一个难点。
既然“恒成立”,那么令x或y取一些特殊 值当然也成立,由此可转化成判断奇偶
性需要的式子。
解题策略:怎样才能由给出的条件 得到f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)?关于对
抽象函数“f(x+y)=f(x)+f (y)”的使用一般有以下两个思路:令x,y为某些特殊
的值,如本题解法中,令x=y=0,得到了 f(0)=0。当然,如果问学生为什么不令
x=y=1得到f(2)=2f(1)等,效果会更好。

令x,y具有某种特殊的关系,如本题解法中,令y=x,得到f(2x)=2f( x),在某
些情况下也可令y=1
x,y=x,等等。
解:令x=y=0 ,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,再令y=-x,则
f(0)=f(x)=f( -x),所以f(-x)=-f(x),又f(x)的值不恒为零,故f(x)是奇函数而
非偶函数。
函数的奇偶性是函数的重要性质,是高考的常考点。教师讲解函数的奇偶性
时,要强调奇偶 性的判断方法只有图象法和定义法两种,要证明它的奇偶性只能
按定义法,看看能否得到f(-x)=f (x)或f(-x)=-f(-x)。教师可给出一些变式题,
让学生掌握本题所列举的两个思路。
四、对抽象函数的单调性无从下手
例4:已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数。
(1)比较f(a2+1)与f(2a-1 )的大小；(2)若f(a2)＞f(2a+3),求实数琢的取
值范围。
错因分析:此 种题型因为是抽象函数题,很多学生会感觉无从下手,单调增函
数所暗藏的条件学生不会用,究其原因是 ①对函数概念中的对应法则的理解不清
楚；②没有理解增函数概念的实质,不会将其应用于解决问题。
解题策略:回顾单调增函数的定义,在x1,x2为区间任意两个值的前提下,有
三个重要 的问题:△x=x2-x1的符号；△y=f(x2)-f(x1)的符号；函数y=f(x)在区
间上 是增还是减。
由定义可知:对于任取的x1,x2,若x2＞x1,且f(x2)＞f(x1), 则函数y=f(x)
在区间上是增函数；不仅如此,若x2＞x1,且函数y=f(x)在区间上是增函 数,则
f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1),且函数y=f(x)在区间上是增函数, 则x2＞x1；
于是,我们可以清晰地看到,函数的单调性与不等式有着自然的联系,抽象函数的

函数值的大小比较即可以转化成蕊制约的量的大小的比较,即只需比较a2+1与
2a -1的大小即可。
解:(1)因为a2+1-2a+1=(a-1)2+1＞0,所以a2+1＞ 2a-1,由已知,f(x)是单调
增函数,所以f(a2+1)＞f(2a-1)。
( 2)因为f(x)是单调增函数,且f(a2)＞f(2a+3),所以a2＞2a+3,解得a＞3
或 a＜-1。
函数的单调性是学生比较喜欢的一种题型,教师只要讲清单调性的本质,讲
清 抽象函数单调性的处理,学生一般还是能接受的。