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高中数学复习专题一___函数图象问题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:10
tags:高中数学函数

高中数学必修四第一章和第三章例题-有关高中数学所有的公式


专题一 函数图象
数形结合是中学数学的重要的数学思想方法,尤其是函数的图象 更是历年高考的热点.函数图
象是函数的一种表达形式,形象的显示了函数的性质,为研究数量关系提供 了“形”的直观性,它
是探求解题途径,获得问题的结果的重要工具.
一、知识方法
1.函数图象作图方法
(1)描点法:列表、描点(注意关键点:如图象与
x

y
轴的交点,端点,极值点等))、连线(注
意关键线:如;对称轴,渐近线等)
(2)利用基本函数图象变换。
2.图象变换(由一个图象得到另一个图象):平移变换、对称变换和伸缩变换等。
(1)平移变换
① 水平平移:函数
y?f(x?a)
的图象可以把函数< br>y?f(x)
的图象沿
x
轴方向向左
(a?0)
或< br>向右
(a?0)
平移
|a|
个单位即可得到;
② 竖直平移 :函数
y?f(x)?a
的图象可以把函数
y?f(x)
的图象沿y轴方向向 上
(a?0)
或向下
(a?0)
平移
|a|
个单位即可得到 .
(2)对称变换
① 函数
y?f(?x)
的图象可以将函数
y ?f(x)
的图象关于
y
轴对称即可得到;
② 函数
y??f(x )
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象关于
x
轴对称即可得到;
③ 函数
y??f(?x)
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象关 于原点对称即可得到;
(3)翻折变换
① 函数
y?|f(x)|
的图象 可以将函数
y?f(x)
的图象的
x
轴下方部分沿
x
轴翻折 到
x
轴上方,去掉

x
轴下方部分,并保留
y?f(x)< br>的
x
轴上方部分即可得到;
② 函数
y?f(|x|)
的图 象可以将函数
y?f(x)
的图象右边沿
y
轴翻折到
y
轴左 边替代原
y
轴左边
部分并保留
y?f(x)

y
轴 右边部分即可得到.
(4)伸缩变换
① 函数
y?af(x)(a?0)
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
(a?1)< br>或压缩(
0?a?1
)为原来的
a
倍得到;
② 函数
y?f(ax)(a?0)
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象中的每一点纵坐标 不变横坐标伸长
(
0?a?1
)或压缩
(a?1)
为原来的
1
倍得到.
a
3.函数图象的对称性:对于函数
y?f(x)
, 若对定义域内的任意
x
都有

f(a?x)?f(a?x)
(或
f(x)?f(2a?x))
,则
f(x)
的图象关于直线
x?a< br>对称;

f(a?x)?f(a?x)?2b
(或
f(x)?f(2 a?x)?2b)
,,则
f(x)
的图象关于点
P(a,b)
对称.
4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,幂函数,三
角函数)的图象
5、作函数图象的一般步骤:
(1)求出函数的定义域;(2)化简函数 式;(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调
性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线 、对称轴等);(4)利用基本函数的图像(5)利


用描点法或图象变换作图
6.判断函数图象的方法
判断函数图象是高考中经常出现的内容,大多属于简单题,值得重视。常用方法有:
(1)取点(描点)
(2)考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面
(3)利用平移
(4)利用基本形状
4.应用:利用函数图象解决有关问题,即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。
二、题型演练
题型一、作函数的图像
例1、作出下列函数的图象.?
( 1)y=
1
(lgx+|lgx|);?(2)y=
2x?1
;?(3)y=
(
1
)
|x|
.?
2
x?12
解 (1 )化简解析式得y=
?
(2)由y=
2x?1
,得y=
x?1
1
x?1
?
0(0?x?1).
利用对数函数的图像即得图(1)
lgx(x?1).
?
+2.?作出y=
1
的图象,将y=
1的图象向右平移一个单位,再向上平
xx
移2个单位得y=
1
+2
x?1
2
的图象如图(2).?
22
(3)作出y=(
1

x
的图象,保留y=(
1

x
图象中x≥0的部分,加 上y=(
1

x
的图象中x>0
的部分关于y轴的对称部分,即得y =(
1

|x|
?的图象.如图(3)?
2

(1) (2) (3)
例2、作出
y?|log
2
(x?1)|?2
的图象.
[分析]利用图象变换作图(如图)
解:第一步:作出
y?log
2
x
的图象(图①).第二步:将
y?log
2
x
的图象沿
x
轴向左平移1个单
位得
y?log
x
(x?1)
的图象( 图②).第三步:将
y?log
2
(x?1)
的图象在
x
轴 下方的图象,以
x
轴为对
称轴对称到
x
轴的上方得
y?|l og
2
(x?1)|
的图象)(图③).第四步:将
y?|log
2
(x?1)|
的图象沿
y
轴方
向向上平移2个单位,得到
y ?|log
2
(x?1)|?2
的图象(图④).


[评注]运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把点取在关
键处,要 把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概
的研究.而这个 研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法
作函数图象要确定以哪 一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点.
题型二、已知两个函数解析式 ,指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换,求另一个解
析式。
例3.说明由函数
y?2
x
的图像经过怎样的图像变换得到函数
y?2
?x?3
?1
的图像.
解:方法一:
(1)将函数
y?2
x
的图像向 右平移3个单位,得到函数
y?2
x?3
的图像;
(2)作出函数
y?2
x?3
的图像关于
y
轴对称的图像,得到函数
y?2
?x?3
的图像;
(3)把函数
y?2
?x?3
的图像向上平移1 个单位,得到函数
y?2
?x?3
?1
的图像.
方法二:
(1)作出函数
y?2
x
的图像关于
y
轴的对称图像,得到
y?2
?x
的图像;
(2)把函数
y?2
?x
的图像向 左平移3个单位,得到
y?2
?x?3
的图像;
(3)把函数
y? 2
?x?3
的图像向上平移1个单位,得到函数
y?2
?x?3
?1
的图像.
例4、已知函数f(x)=log
2
(x+1),将函数y=f( x)的图象向左平移一个单位,再将图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象.求函数y=g(x)的解析式.
解:由已知,将函数f(x)=log
2
(x+1)的图象向左平移一个单位,得到y=log
2
(x+1+1)的图象,< br>再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)=2log
2
(x+2)的图
象.
故g(x)=2log
2
(x+2).

题型三、选择正确的函数图象
例5.如图所示,
f
1
( x),f
2
(x),f
3
(x),f
4
(x)
是定 义在
[0,1]
上的四个函数,其中满足性质:“对
[0,1]

任 意的
x
1

x
2

f(
x
1?x
2
1
)?[f(x
1
)?f(x
2
)]< br>恒成立”的只有( )
22

解:
f(
x
1?x
2
x?x
2

)
的自变量为
x
1
,x
2
的中点,
f(
1
)
对应的函数值即“中点的 纵坐标”
22


1
即“纵坐标的中点”。再结合
f(x)

[f(x
1
)?f(x
2
)]
为自变量
x1
,x
2
对应的函数值所对应的点的中点,
2
数图象的凹凸性, 可得到答案A,这是函数凹凸性的基本应用。故选A。
例6、已知
a?0
,且
a?
1,函数
y?a
x

y?log
a
(?x)
的图象只能是图中的( )

[分析]可以从图象所在的位置及单调性来判别,也 可利用函数的性质识别图象,特别注意底

a
对图象的影响。
解:解法一: 首先,曲线
y?a
x
只可能在上半平面,
y?log
a
(? x)
只可能在左半平面上,从而排
除A、C。
其次,从单调性着眼,
y?a
x

y?log
a
(?x)
的增减性正好相反,又可排除D 。
解法二:若
0?a?1
,则曲线
y?a
x
下降且过点( 0,1),而曲线
y?log
a
(?x)
上升且过
(?1,0),以上
图象均不符合这些条件. 若
a?1
时,则曲线
y?a
x
上升且过(0,1),而曲线
y?log
a
(?x)
下降且过
(?1,0)
,只有B满足条件。
lg
解法三:如果注意到
y?log< br>a
(?x)
的图象关于
y
轴的对称图象为
y?log
a
x
,又
y?o
a
x

y?a
x
互为反函数(图象关于直线
y?x
对称),则可直接选定B。
[答案]B
例7函数
y?f(x)
与函数
y?g(x)
的图象如
则函数
y?f(x)
·
g(x)
的图象是( )

右,

解:由图象可知,
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数,且
f(x)

g(x)
的公共定义域为
x?0
,排除
C、D 。令
F(x)?f(x)
·
g(x)
,则
F(?x)?f(?x)? g(?x)??f(x)
·
g(x)
,所以
F(x)?f(x)?g(x)< br>为奇函
数,其图象关于原点对称,排除B。故选A。
题型四、函数图象的应用
例8、若直线y=2a与函数y=|a
x
-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,求 a的取值范围.
解:(1)当0<a<1时,y=|a
x
-1|的图象如图(1)所示,




1
由已知得0<2a<1,∴0<a<.
2
(2)当a>1时,y=|a
x
-1|的图象如图(2)所示,
1
由已知可得0<2a<1,∴0<a<,但a>1,故a∈
?
.
2
1
综上可知,0<a<.
2
例9、已知函数f(x)=ax3
+bx
2
+cx+d的图象如图,求b的范围。
解:解法一:观察f(x)的图象,可知函数f(x)的图象过原点,
即f(0)=0,得d=0,
又f(x)的图象过(1,0),
y
∴f(1)=a+b+c=0


又有f(-1)<0,即-a+b-c<0 ②
o
①+②得b<0,故b的范围是(-∞,0)
解法二:如图f(x)=0有三根0,1,2,
∴f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax
3
-3ax
2+2ax,
∴b=-3a,
∵当x>2时,f(x)>0,从而有a>0,
∴b<0。
[评注]通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。
1
例10(1)试作出函数
y?x?
的图像;
x
1
2
x
(2)对每一个实数
x
,三个数
?x,x,1?x
2
中最大者记为
y
,试判断
y
是否是
x
的函数?若是 ,作出
其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值);若不是,说明为什么?
1 1
解:(1)令
f(x)?x?
,∵
f(?x)??(x?)??f(x)< br>∴
f(x)
为奇函数,从而可以先作出
x?0

f(x)xx
的图像,再利用
f(x)
的图像关于原点对称可得
x?0

f(x)
的图像。又∵
x?0
时,
f(x)?x?
11?2x??2

xx

x?1
时,
f(x)
的 最小值为2,图像最低点为
(1,2)

又∵
f(x)

(0,1)
上为减函数,在
(1,??)
上是增函数,
同时
f(x )?x?
1
?x(x?0)
即以
y?x
为渐近线,
x于是
x?0
时,函数的图像应为下图①,
f(x)
图象为图②








y

y

O


y

O


x

O


x

x

(2)
y

x
的函数,作出
g
1
(x)?x,g
2
(x)??x,g
3
(x)?1?x
2
的图像可知,
f(x)
的图像是图③中实线
部分.定义域为
R;值域为
[1,??)
;单调增区间为
[?1,0),[1,??)
;单 调减区间为
(??,?1),[0,1)
;当
x??1
时,函数有最小值1; 函数无最大值.
【评注】解决图像的应用问题,准确地做出图像是问题的关键。
小结:函数 图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、
值域、单调性、奇偶 性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、
定性、定理、定位各方面精 确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称
变换等。注意:平移、伸缩变换的 先后次序对变换的影响,?可结合具体问题阐述如何进行平移、
伸缩变换。
习题一
b
1.在下列图象中,二次函数y=ax
2
+bx与指数函数y=
()
x
的图象只可能是
a
y
1
-1
y
1
y
1
y
1
1
o
1
A
x
-1
o
1
B
x
-1
o
C
x
-1
o1
D
x

3x?1
的图象 ( )
x?2
A.关于点(?2,3)对称 B.关于点(2,?3)对称
C.关于直线x= ?2对称 D.关于直线y= ?3对称。
?
x
2
?bx?c,x?0,
3、设函数
f(x)?
?

f(? 4)?f(0),f(?2)??2
则关于x的方程
f(x)?x
的解的个数
2,x?0.
?
2.函数y=
为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4、方程
2
x
?x
2
的实根的个数为( )A:0 B:1 C:2 D:3
1
1
5.为了得到函数
y?3?()
x
的图象,可以把函数
y?()
x
的图象( )
3
3
A.向左平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度
6定义运算
a?b?
?




?a
?
b
(a?b)
,
则函数
(a?b)




B.向右平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度
f(x)=
1?2
x
的图象是 < /p>


7。要得到
y?lg(3?x)
的图像,只需作
y?lgx关于_____轴对称的图像,再向____平移3个单
位而得到。

____ ______对称;已知
f(x?2)
是偶函数,则8。已知
f(x)
是偶函 数,则
f(x?2)
的图像关于
函数
f(x)
的图像关于_____ _______对称.
9、写出函数
y?log
4
(1?2x?x
2
)
的图像经过怎样的变换可得到函数
y?log
2
x
的图 像。
x
10、 若
0?a?1
,则方程
a?log
a
x
有几个实根
11、设曲线C的方程是
y?x
3
?x
,将C沿x轴,y轴正方向分别平行 移动t,s单位长度后得曲线
C
1

?
ts
?
( 1)写出曲线
C
1
的方程;(2)证明曲线C与
C
1
关于点
A
?
,
?
对称。
?
22
?
12、试讨论方程
1?x?kx
的实数根的个数。

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