高一数学函数的综合应用训练(含答案)

第七节 函数的综合应用


【回顾与思考】

函数应用


【例题经典】


一次函数与反比例函数的综合应用

例1 （2006年南充市）已知点A（0，-6 ），B（-3，0），C（m，2）三点在同
一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式 并画出
其图象．（要求标出必要的点，?可不写画法）．


【点评 】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，
题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好 地考查学生的基本功．


一次函数与二次函数的综合应用

例2 （2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每
人每年用于购买饮料的平均支 出是a元．经测算和市场调查，?若该
班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成， 一
部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净
水的销售价（元桶）与 年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为12 0时，请你根据提供的信
息分析一下：?该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种
花 钱更少？

（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？
从计算 结果看，?你有何感想（不超过30字）？

【点评】这是 一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，
一次函数图象经过点（4，400）、（5，320 ）可确定y与x关系式，同时这也
是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与
改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．


二次函数与图象信息类有关的实际应用问题

例3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜 ，根据今年的市场行情，预计从5
月1?日起的50天内，它的市场售价y
1
与上市时 间x的关系可用图（a）
的一条线段表示；?它的种植成本y
2
与上市时间x的关系可 用图（b）
中的抛物线的一部分来表示．

（1）求出图（a）中表示的市场售价y
1
与上市时间x的函数关系式．

（2）求出图（b）中表示的种植成本y
2
与上市时间x的函数关系式．

（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色
蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：元千克，时间单位：天）


【点评 】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、
读图．从题目已知和图象中获取有价值的信 息，是问题求解的关键．


【考点精练】

基础训练
< br>1．在函数y=，y=x+5，y=x
2
的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点< br>的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（ ）

A．y=2x B．y=-2x+5 C．y=- D．y=-x
2
-2x-1

3．函数y=ax
2
-a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）


4．函数y=kx-2与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）


5．如图是二次函数y
1
=ax
2
+bx+ c和一次函数y
2
=mx+n的图象，观察图象写出
y
2
≥y
1
时，x的取值范围__________．


(第5题) (第6题)

观察图象写出y< br>1
>y
2
时，x的取值范围是_________．

6．（2006年旅顺口）如图是一次函数y
1
=kx+b和反比例函数y
2=的图象，?
7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k，y=（k> 0）?
的图像大致是（ ）



8．（2005年太原 市）在反比例函数y=中，当x>0时，y随x的增大而增大，
则二次函数y=kx
2
+2kx的图像大致是（ ）

能力提升
< br>9．如图，已知反比例函数y
1
=（m≠0）的图象经过点A（-2，1），一次
函数y
2
=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数
的图象相交于另一点B．

（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标．



10．如图，一次函数y=ax+b的 图象与反比例函数y=的图象交于A、B两
点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=
的坐标为（，-4）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

，tan∠AOC=，点B

11．（ 2005年扬州市）近几年，扬州市先后获得“中国优秀旅游城市”和
“全国生态建设示范城市”等十多 个殊荣．到扬州观光旅游的客人
越来越多，某景点每天都吸引大量游客前来观光．事实表明，如果
游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会

效益和经济效益，该 景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人
数．已知每张门票原价40元，现设浮动票价为x元，且4 0≤x≤70，经
市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函
数关系．

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）设该景点一天的门票收入为w元

①试用x的代数式表示w；

②试问：当票价定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最
高门票收入是多少？







12．（2006年荆门市）某环保 器材公司销售一种市场需求较大的新型产
品．已知每件产品的进价为40元．经销过程中测出销售量y（ 万件）
与销售单价x（元）?存在如图所示的一次函数关系．每年销售该种产
品的总开支z（万 元）（不含进价）与年销售量y（万件）存在函数关
系z=10y+42.5．

（1）求y关于x的函数关系．

（2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元） 关于销售单价（元）z
?的函数关系式（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价- 年总开
支金额）当销售单价为x为何值，年获利最大？最大值是多少？

（3）若公司 希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利
用（2）?小题中的函数图象帮助该公司确定 这种产品的销售单价的范
围．?在此条件下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？

应用与探究

13．（2006年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后
的停止距离（开始刹车到 车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度
（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车 在平坦
道路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：

行驶速度（千米时） 40 60 80 …
停止距离（米） 16 30 48 …
（1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米
时）的函数．? 给出以下三个函数①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax
2
+bx，
请选择 恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米
时）的关系，说明选择理由,并求出符合要 求的函数的解析式；

（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，
求汽车行驶速度．










答案:

例题经典

例1：解：设直线AB的解析式为y=k
1
x+b，则 解得k
1
=-2，b=-6．?

所以直线AB的解析式为y=-2x-6．

∵点C（m，2）在直线y=-2x-6上，∴-2m-6=2，

∴m=-4，即点C的坐标为C（-4，2），

由于A（0，6），B（-3，0） 都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经
过点C（-4，2），设经过点C的反比例函数的解析式为y=
∴k
2
=-8．即经过点C?的反比例函数的解析式为y=-．

．则2=，

例2：（1）设y=kx+b，∵x=4时，y=400；x=5时，y=320，

∴

∴y与x的函数关系式为y=-80x+720．

（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），

当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25．

该班学生集体饮用 桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395
（元），

显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，

则W=xy=x（-80x+720）=-80（x-）
2
+?1620．

∴当x=时，W
最大值
=1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，

则50a≥W
最大值
+780，?即50a?≥1620+780．解之得，a≥48 ．

所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，

由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约
的好习惯．

例 3：（1）设y
1
=mx+n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），

∴
∴y
1
=-
解得：m=-
x+5.1（0≤x≤50）．

，

（x-25）
2
+2）（0≤x≤50）

（x
2
-44x+315（0
，n=5.1，

（2）又由 题目已知条件可设y
2
=a（x-25）
2
+2．因其图象过点（15，3） ，

∴3=a（15-25）
2
+2，∴a=
∴y
2
=x
2
-x+（或y=
（3）第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y
1
-y
2
=
≤x≤55）．

依题意：y
1
-y
2
=0，即x
2
-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0 ，解得：x
1
=9，x
2
=25．

所以从 5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既
不赔本也不赚钱．


考点精练

1．B 2．B 3．A 4．B 5．-2≤x≤1 6．x>3或-2
9．（1）反比例函数解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+3．

（2）点B的坐标为B（-1，2）

10．（1）反比例函数解析式为y=-，一次函数为y=-2x-3．

（2）S
△
AOB
=个平方单位．

11．（1）设函数解 析式为y=kx+b，由图象知：直线经过（50，3500），（60，3000）
两点．

则，

∴函数解析式为y=6000-50x．

（2）①w=x y=x（6000-50x），即w=-50x
2
+6000x．?

②w= -50x
2
+6000x=-50（x
2
-120x）=-50（x-60）
2
+180000，

∴当票价定为60元时，?该景点门票收入最高，此时门票收入为
180000元．

12．（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），

∴ ∴y=-x+12．


（2）由题意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）

=（-+12）（x-40）-10×（-x+12）-42.5

=-0.1x2
+17x-642.5=-（x-85）
2
+80．

当x=85时，年获利的最大值为80万元．

（3）令w=57.5，得-0.1x
2
+17x-642.5=57.5，

整理，得x
2
-170x+7000=0．解得x
1
=70，x2
=100．

由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销 售单价为70元到
100元之间．

又因为销售单位越低，销售量越大，

所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价
应定为70元．

13．解：（1）若选择y=ax+b，

把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得，

而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以选择y=ax+b不恰当；
< br>若选择y=（k≠0），由x，y对应值表看出y随x的增大而增大．
而y=（k≠0）在第一象 限y随x的增大而减小，

所以不恰当；?若选择y=ax
2
+bx，

把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得 ，而
把x=80代入y=0.005x
2
+0.2x?得y=48成立．
< br>所以选择y=ax
2
+bx恰当，解析式为y=0.005x
2
+0. 2．

（2）把y=70代入y=0.005x
2
+0.2x得70=0.0 05x
2
+0.2x，

即x
2
+40x-14000=0 ，解得x=100或x=-140（舍去），

所以，?当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米时．