高一数学函数的奇偶性教案

一、教学内容：
函数的奇偶性

二、学习目标
1、通过 具体实例理解函数的奇偶性概念及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数
的性质，学会运用定义 判断函数的奇偶性。
2、通过设置问题情景培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推 理能力、
化归转化能力；
3、通过学习，进一步体会数形结合的思想，感受从特殊到一般的思 维过程；通过函数图象
的描绘及奇偶性的揭示，体会数学的对称美，和谐美。

三、知识要点
1、奇偶函数定义：
（1）偶函数
一般地，对于函数f（ x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就
叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（ x），那么f（x）
就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。
③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个必要条件是，对于定义域内的任意一
个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原 点对称）．
④奇函数若在
x?0
时有定义，则
f(0)?0

2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函
数。
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个 函数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于
y
轴对称，反过 来，如果一个函数的图象关于
y
轴
对称，那么这个函数是偶函数。
4、判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f（－x）与f（x）的关系；
作出相应结论：
若f（－x） = f（x） 或 f（－x）－f（x） = 0，则f（x）是偶函数；

若f（－x） =－f（x） 或 f（－x）＋f（x） = 0，则f（x）是奇函数．
5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质
在公共定义域内，
（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数．
（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数．
（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
1
（4） 函数f （x）与
f
?
x
?
同奇或同偶．

【典型例题】
一、判断函数的奇偶性
例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误
（1）因忽视定义域的特征致错
x
?
x?1
?
x?1
；②f （x）=x
2
+（x+1）
0
1、①
x
?
x?1
?
f
?
x
?
??x
x?1
错解：①，∴ f （x）是奇函数
f
?
x
?
?
②∵ f （－x）=（ －x）
2
+（－x+1）
0
=x
2
+（x+1）
0
=f （x）
∴ f （x）是偶函数．
分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．
正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x）是非奇非偶函数．
②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴ f （x）为非奇非偶函数．
（2）因缺乏变形意识或方法致错．
2、判断
错解：∵ 5
x
－1≠0，∴ x≠0．
f （x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
f
?
x
?
?
11
?
5
x
?1
2
的奇偶性．
115
x
1
f
?
?x
?
?
x
? ??
5?1
2
1?5
x
2
， ∵
∴ f （－x）≠f （x），f （－x）≠－f （x），
∴ f （x）是非奇非偶函数．
分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．
115
x
? 1
f
?
x
?
?
x
??
5?1
2< br>25
x
?1
，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．正解： < br>5
?x
?11?5
x
5
x
?1
f
?
x
?
??????f
?
x
?
25
?x?121?5
x
25
x
?1

??
??????

∴ f （x）是奇函数．
（3） 因忽视f （x）=0致错．
22
??
fx?x?4?4?x
3、判断函数的奇偶性．
2
?
?
x?4?0
?
2
?
4?x?0
得x=±2，
?
错解：由
∴ f （x）的定义域为{－2，2}，关于原点对称．
f< br>?
?x
?
?
?
?x
?
2
?4?4?
?
?x
?
?x
2
?4?4?x
2
?f?
x
?
，
2
∴ f （x）为偶函数
正解：f （x）的定义域为{－2，2}，此时，f （x）=0，∴ f （x）既是奇函数又是偶函
数．
点评：函数f （x）=0 （x≠0）是f （x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何
一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x）=0 （x≠0）函数的定义域．
（4）因分段函数意义不清致错
2
??
x?x?1
?
x?0
?
f
?
x
?< br>?
?
2
?
?
?x?x?1
?
x?0
?
的奇偶性． 4、判断函数
错解一：∵ f （x）=x
2
+x－1非奇非偶，f （x）=－x
2
+x+1也非奇非偶，
2
?
?
x?x?1
?
x?0
?
f
?
x
?
?
?
2
?
?
?x?x?1
?
x?0
?
非奇非偶． ∴
错解二：x>0时，f （x）=－x
2
+x+1；
x<0时，f （x）=x
2
+x－1
即f （－x）=x
2
+x－1，
∴ f （－x）≠f （x），f （－x）≠－f （x），
∴ f （x）为非奇非偶函数．
分析：错解一中把f（x）看成了几个函数；错解二中把x<0误认为－x的情形．
正解：函数f （x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
f （－x）=－（－x）
2
+（－x）+1=－ x
2
－x+1=－（x
2
+x－1）=－f （x）；
当x>0时，－x<0．
f （－x）=（－x）
2
+（－x）－1=x< br>2
－x－1=－（－x
2
+x+1）=－f （x）．
∴ x∈（－∞，0）∪（0，+∞）时，f （－x）=－f （x），
∴ f （x）是奇函数．
点评：分段函数奇偶性的判定应注意两点：
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；
（2）确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论．
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是， 定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性

应首先判断函数的定义域是否关于原点对称 ，若不是，即可断定函数是非奇非偶函数．

?
x
2
?1
?
(x?0)
g(x)?
?
1
2
?
?x?1
(x?0)
?2
例2、判断函数的奇偶性
解法一：当
x?0
时，则
?x?0

111
g(? x)??(?x)
2
?1??x
2
?1??(x
2
?1)? ?g(x)
222
；
当x＜0时，－x＞0，
111
(?x)< br>2
?1?x
2
?1??(?x
2
?1)??g(x)
222
于是
?
综上可知，在
R
上，
g(x)
是奇函数．
g( ?x)?
1
2
x?1
y?g(x)
2
解法二：画出函数的图 象。当
x?0
时，的图象是抛物线
11
y?x
2
?1y?? x
2
?1
22
的右半支；当
x?0
时，
g(x)< br>的图象是抛物线的左半支。显然，
?
这两条曲线（如图所示）关于原点对称，因此函数< br>g(x)
在
R
上是奇函数．
y?

规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

二、函数的奇偶性与单调性的关系
例3、已知：函数
y?f(x)
在
R
上是奇函数，而且在
( 0,??)
上是增函数，
证明：
y?f(x)
在
(??,0)
上也是增函数。
证明 ：设
x
1
?x
2
?0
，则
?x
1
??x
2
?0
∵
f(x)
在
(0,??)
上是增函 数。
∴
f(?x
1
)?f(?x
2
)
，又
f(x)
在
R
上是奇函数。

∴
?f(x
1
)??f(x
2
)
，即
f(x
1
)?f(x2
)

所以，
y?f(x)
在
(??,0)
上也是增函数。
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

2
f(x)??2x?3x?1
，当x<0时，求
f(x)

f(x)
x?0
R
例4、为上的奇函数，当时，
解：设
x?0，由于
f(x)
是奇函数，故
f(x)??f(?x)
，
22
f(?x)??2(?x)?3(?x)?1??2x?3x?1

?x?0
又，由已知有
从而解析式为

?
?2x
2
?3x?1x?0
?
f(x)?
?
0x?0
?
2x
2
?3x?1x?0
?

1
2f(x)?f()?x
x
例5、（1）已知
f(x)
的定义域为
{x|x?0}
，且，试 判断
f(x)
的奇偶性。
（2）函数
f(x)
的定义域为
R
，且对于一切实数
x,y
都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，试判
断
f(x)
的奇偶性。
1
2f(x)?f()?x
x
解：（1）∵
f(x)
的定义域为
{x|x?0}
，且 ①
111
2f()?f(x)?
xx
② 令①式中x
为
x
得：
2x
2
?1
f(x)?
3 x
， 解①②得
∵定义域为
{x|x?0}
关于原点对称
2(?x )
2
?12x
2
?1
f(?x)???
3(?x)3x??f(x)
又∵
2x
2
?1
f(x)?
3x
是奇函数。 ∴
（2）∵定义域关于原点对称，
又∵令
x?y?0
得
f(0)? f(0)?f(0)
则
f(0)?0
，
再令
y??x
得
f(0)?f(x)?f(?x)
，
∴
f(?x)??f(x)

所以，原函数为奇函数。

本讲涉及的主要数学思想方法：
1、通过函数奇偶性概念的形成过 程，增强观察、归纳、抽象的能力；增强从特殊到一般的
概括能力；渗透数形结合的数学思想方法． < br>2、理解奇偶函数的概念，培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能
力、化 归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普
遍联系的辩证观点 。
3、通过对问题的探究，进一步体会“形象思维与抽象思维相结合”的思想方法．

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、选择题
1、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=－f（x），则，f（6）的值为 （
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2、若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在[－7，－3]上是（
A. 增函数且最小值为－5 B. 增函数且最大值为－5
C. 减函数且最小值为－5 D. 减函数且最大值为－5
3、y=f（x）是定义在R上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f（x）的图象上的是（
A. （a，－f（a）） B. （－a，f（a））
C. （－a，－f（－a）） D. （－a，－f（a））
4、已知y＝f（x）是奇函数，当x＞0 时，f（x）＝x（1＋x），当x＜0时，f（x）等于
[ ]
A. －x（1－x） B. x（1－x） C. －x（1＋x） D. x（1＋x）
*5、函数y=f（x）与y=g （x）的图象如图所示，则函数y=f（x）·g（x）的图象可能为（


**6、设
f(x)
是
R
上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A、
f(x)f(?x)
是奇函数； B、
f(x)f(?x)
是奇函数；
C、
f(x)?f(?x)
是偶函数； D、
f(x)?f(?x)
是偶函数




）
）
）

）

二、填空题
x
7、设函数为奇函数，则实数
a?
。
**8、已知函数y=f （x）满足f （x+y）+f （x－y）=2f （x） f （y） （x∈R，y∈R），且
f （0）≠0，那么f （x）是__________函数（填奇、偶）．
53
f(x)?x?ax?bx?8
，若
f(?2)?10
，则f(2)
的值为 。 *9、已知函数
f
?
x
?
?
?
x?1
??
x?a
?

三、解答题
10、已知：函数
y?f(x)
在
R
上是奇函 数，而且在
(0,??)
上是增函数，
证明：
y?f(x)
在
(??,0)
上也是增函数。
*1 1、
f(x)
为
R
上的奇函数，当
x?0
时，
f( x)??2x?3x?1
，求
f(x)
的解析式。
**12、已知函数2
f
?
x
?
?x
2
?
a
(x ?0,a?R)
x
；
（1）判断函数
f
?
x
?
的奇偶性；
（2）若< br>f
?
x
?
在区间
?
2,??
?
上是 增函数，求实数
a
的取值范围。

试题答案

一、选择题：
1、B
解：根据题目所给的条件：f（x+2）=－f（x）；
f（6）=－f（4）=f（2）=－f（0）
又f（x）是奇函数，因此f（0）=－f（0），f（0）=0
因此f（6）=－f（0）=0
2、B
3、B
解：当x=－a时，f（ －a）=f（a）（∵y=f（x）为偶函数），∴点（－a，f（a））在y=f（x）
的图象上．∴ 选（B）．
4、B
解：当x＜0时，f（x）=－f（－x）=－（－x）（1－x）=x（1－x）．∴选（B）．
5、A
6、C
解：A中：
F(x)?f(x)f(?x)
则
F(?x)?f(?x)f(x)?F(x)
，即函数
F(x)?f(x)f(?x)
为偶函数；B中：
F(x)?f(x)f(?x)
，
F(?x)?f(?x) f(x)
，此时
F(x)
与
F(?x)
的关系不能确定，即函数F(x)?f(x)f(?x)
的奇偶性不确定；D中：
F(x)?f(x)?f(?x)
，
F(?x)?f(?x)?f(x)??F(x)
，即函数
F(x)?f( x)?f(?x)
为
奇函数；C中
F(x)?f(x)?f(?x)
，
F(?x)?f(?x)?f(x)?F(x)
，即函数
F(x)?f(x)?f(?x)< br>为偶函数，
故选择答案C

二、填空题
7、－1
8、偶
9、－26
53
g(x)?x?ax?bx
一定是奇函数
g(x)?f(x)?8解：构造函数，则
又∵
f(?2)?10
，∴
g(?2)?18

因此
g(2)??18
所以
f(2)?8??18
，
即
f(2)??26
．

三、解答题
10、证明：设
x
1
?x
2
?0，则
?x
1
??x
2
?0
∵
f(x)
在
(0,??)
上是增函数。
∴
f(?x
1
)?f(?x
2
)
，又
f(x)
在
R
上是奇函数。