高中数学函数综合题难题讲解

高中数学综合题（难题）
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)的定义 域为R，对任意实数x、y都有
f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3 )=－4.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.
●案例探究
［例1］设f(x )是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对
称，对任意x
1
、x
2< br>∈［0,
1
］,都有f(x
1
+x
2
)=f(x1
)·f(x
2
),且f(1)=a>0.
2
(1)求f(
1
)、f(
1
);
24
(2)证明f(x)是周期函数；
(3)记a
n
=f(n+< br>1
),求
lim
(lna
n
).

2n
n??

[分析]技巧与方法：由f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)·f(x
2
)变形为
xxxxx
f(x)?f(?)?f()?f()?f()
是解决问题的关键.
22222
(1) 解：因为对x
1
,x
2
∈［0,
1
］,都有f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)·f (x
2
),所以
2
xxx
f(?)?f()
≥0,
222
f(x)=
x∈［0,1］
又因为f(1)=f(
1
+
1
)=f(
1
)·f(
1
)=［f(
1
)］
2

222
f(
1
)=f(
1
+< br>1
)=f(
1
)·f(
1
)=［f（
1
）］
2

244444
22
又f(1)=a>0
1
11
2
∴f()=a,f()=a
4

24
1
1 4

(2)证明：依题意设y=f (x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),
即f(x)=f(2－x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R
∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)， 这表明f(x)是R上的周期函
数，且2是它的一个
周期.
(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］
∵f(
1
)=f(n·
1
)=f(
1
+(n－1)
1
)=f(
1
)·f((n－1)·
1
)
2
2n2n2n2n2n
=……
=f(
1
)·f(
1
)·……·f(
1
)
2n2n2n
=［f(
1
)］
n
=a
2

2n
∴f(
1
)=a
2n
.
2n
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+
1
)=f(
1
),因此
2n2n
n??n??
1
1
a
n=a
1
2n
∴
lim
(lna
n
)?
lim
(
1
lna)?0.

2n
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=x+a与y=log
a
x的图象可能是( )
2 4

2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+ ∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函
数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设 a>b>0,给出下列
不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)其中成立的是( )
A.①与④
D.②与④
二、填空题
3.(★★★★)若关于x的方程2
2x
+2
x
a+a+1=0有实根，则实数a的
取值范围是_________.
三、解答题
4.(★★★★)设a为实数，函数f(x)=x
2
+|x－a|+1,x∈R.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值.
5.(★★★★★)设f(x)=
1
?lg
1?x
.
x?11?x
B.②与③ C.①与③
(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性；
(2)证明：方程f
-1
(x)=0有惟一解；
(3)解不等式f［x(x－
1
)］<
1
.
22
3 4

6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数f(x)满足① 对任意x、y∈
(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(
求证：
f(
x ?y
1?xy
);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.
1111
)?f()???f(
2
)?f()
.
5112
n?3n?1
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为
2 00平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16
米，如果池外周壁建造单价为每米 400元，中间两条隔墙建造单价为
每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计 ，且
池无盖).




(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出
其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最
低？并求最低总造价. 8.(★★★★★)已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在
(0,+∞) 上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin
2
θ－mcosθ－2m,θ∈［0,
?
］,
2
设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0} ,求M∩N.

4 4