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高中数学完整讲义——函数及其表示1.函数的概念

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:13
tags:高中数学函数

深圳高中数学夏令营-普通高中数学教学论文













高中数学讲义

板块一.函数的概念
典例分析


题型一 函数的定义

【例1】判断以下是否是函数:

y?4x
2
?5
;⑵
y??x
;⑶
y?x?3 ?2?x
;⑷
x
2
?y
2
?9





【例2】函数
y?f(x)
的图象与直线
x?1
的公共点数目是( )
A.
1
B.
0
C.
0

1
D.
1

2



【例3】如图所示,能表示“
y

x
的函数”的是 .
y
y
y
y
O

x
O

x
O

x
O

x




【例4】如下图(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量
x,y
的对应关系,其中表示
y

x
的函
数关系的有 .
y
1
?1
y
1
1
x
y
y1
1
?1
1
x
?1
O
?1
1
x
O
?1
(1).
O
?1
O
?1
1
x

(2).
(3).
(4).



思维的发掘 能力的飞跃

1


高中数学讲义

【例5】
M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}
给出下列四个图形,其中 能表示从集合M到集合N的
函数关系的有( )
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y
2
1
O
1
2
x
2
1
O
1 2
x
y
3
2
1
O
1
2 x
y
2
1
O
1 2 x

y

【例 6】以下给出的对应是不是从集合
A
到集合
B
的映射?如果是映射,是不是一 一映射.
⑴ 集合
A?{P|P
是数轴上的点
}
,集合
B ?R
,对应关系
f
:数轴上的点与它所代表的实
数对应;
⑵ 集合
A?{P|P
是平面直角坐标系中的点
}
,集合
B?{(x,y)| x?R,y?R}
,对应关系
f

平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
⑶ 集合
A?{x|x
是三角形
}
,集合
B?{x|x是圆
}
,对应关系
f
:每一个三角形都对应它
的内切圆;
⑷ 集合
A?{x|x
是华星中学的班级
}
,集合
B?{x |x
是华星中学的学生
}
,对应关系
f

每一个班级都对应 班里的学生.





【例7】下列对应中有几个是映射?
a
1
b
1
a
1
b
1
a
1
b
1
a
1
b
1
a
2
b
2
b
3
a
2
b
2
b
3
a
2
b
2
b
3
a
2
b
2
a
3
a
3
a
3
a
3


【例8】已知
A?{a
1
,a2
}

B?{b
1
,b
2
}
,则从< br>A

B
的不同映射共有( )
A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【例9】设
f:A?B
是集合A到B的映射,下列说法正确的是( )
A、A中每一个元素在B中必有象 B、B中每一个元素在A中必有原象
C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的 D、B是A中所在元素的象的集合
【例10 】⑴若集合
A?{?1,0,1}

B?{?2,?1,0,1,2}
f
:A→B表示A到B的一个映射,且满足对任
2

思维的发掘 能力的飞跃



高中数学讲义

x?A
都有
x?f(x)
为偶数,则这样的映射有_______ 个.
⑵设
f:A?B
是从集合A到B的映射,
A?B?
?
(x,y)x?R,y?R
?

f:(x,y)?(kx,y?b)
,若B 中元素
(6,2)
在映射f下的原象是
(3,1)

则k,b的值分别为________.


【例11】已知集合
A?
?
x0?x?4
?
,下列从A到B的对应
f
不是映射的 是( )
B?
?
y0?y?2
?

1
1< br>A.
f:x?y?x
B.
f:x?y?x

2
3
21
C.
f:x?y?x
D.
f:x?y?x
2

38


【例12】集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是__________,从B到
A的映射个数是__________.


【例13】已知集合
A?< br>?
1,2,3,k
?
,B?
?
4,7,a
4
,a
2
?3a
?
,且
a?N
*
,x?A,y?B< br>使
B
中元素
y?3x?1

A
中的元素
x< br>对应,则
a,k
的值分别为( )
A.
2,3
B.
3,4
C.
3,5
D.
2,5



【例14】(09年山东梁山)设f、g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下 ):映射f
的对应法则是表1
原象

1
3
2
4
3
2
4
1
映射g的对应法则是表2

1
原象

4


2
3
3
1
4
2
则与
f[g(1)]
相同的是( )
A.
g[f(1)]< br>;B.
g[f(2)]
;C.
g[f(3)]
;D.
g[f( 4)]



【例15】(07年北京)已知函数
f(x)

g(x)
分别由下表给出


思维的发掘 能力的飞跃

3


高中数学讲义

x

f(x)

1
1
2
3
3
1

x

g(x)

1
3
2
2
3
1

f[g(1)]
的值为 ;满足
f[g(x)]?g[f(x)]

x
的值是


【例16】(06陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文
?
密文(加密),接收方
由密文
?
明文(解密),已知加密规则为:明文
a, b,c,d
对应密文
a?2b,2b?c,2c?3d,4d.
例如,明文
1 ,2,3,4
对应密文
5,7,18,16.
当接收方收到密文
14,9,2 3,28
时,则解密得到的
明文为( )
A.
7,6,1,4
;B.
4,6,1,7
;C.
6,4,1,7
;D.
1,6,4,7



【例17】已知
M?N?{5,6,7,8,9}
, 规定
M

N
的一个映射为
f(x)
=
?
⑴ 如果
f[f(a)]?6
,求
a

⑵如果
f{f[f(b)]}?6
,求
b

⑶如果
f{f...f(c)}?6
,求
c

10次
?
x?1
x?9

5
x?9
?


题型二 函数的定义域

【例18】求下列函数的定义域
(1)
f(x)?



【例19】求下列函数的定义域: (1)
y?



【例 20】函数
y?
1
x?1
11
;(2)
f(x)?3x?2
;(3)
f(x)?x?1?
.
x?22?x
1
;(2)
y?
x?2?1
x?3
3
x?1?2
.
的自变量
x
的取值范围是( )
A.
x?0
B.
x?1
C.
x?0
D.
x≥0

x?1


4

思维的发掘 能力的飞跃



高中数学讲义
x?2
的定义域 .
x
2
?4
(x?1)
0
x?x
【例21】函数
y?

【例22】函数
y?

的定义域是___________.
3
【例23】求函数
f(x)?



x?1
的定义域.
x?1
【例24】(2008年全国I卷文理)函数y?x(x?1)?x
的定义域是( )
A.
{x|x?0}
B.
{x|x?1}
C.
{x|x?1}{0}
D.
{x|0?x?1}


【例25】求下列函数的定义域⑴
y? x?8?3?x
;⑵
y?
x
2
?1?1?x
2
;⑶
y?
x?1
1
1?
1?
1
1
x?x







【例26】若
y?f (x?2)
的定义域是
(1,3]
,求
y?f(x)
的定义域.





【例27】已知函数
y?f(x?1)
定义域是
[?2,3]
,则
y?f(2x?1)
的定义域是( )
5
4]
C.
[?5,5]
D.
[?3,7]
A.
[0,]
B.
[?1,
2

【例28】(1)已知已知函数f(x)=
1
A.a>
3

3x?1
的定义域是R,则实数a的取值范围是( )
ax
2
?ax?3
3
B.-12<a≤0 C.-12<a<0
1
D.a≤
3

【例29】(1)求下列函数的定义域:
f(x)?x?5x?6?
2
(x?1)
0
x?x
的定义域.

思维的发掘 能力的飞跃

5


高中数学讲义


2
)已知函数
f(x)
的定义域是
(a,b)
,求函数
F(x)?f(3x?1)?f(3x?1)
的定义域.






【例30】(1)函数
f(x)
的定义域 为
(0,1)
,求函数
f(x
2
)
的定义域;
( 2)已知函数
f(2x?1)
的定义域为
(0,1)
,求
f(x)< br>的定义域;
(3)已知函数
f(x?1)
的定义域为
[?2,3]< br>,求
f(2x
2
?2)
的定义域.






【例31】求下述函数的定义域:
2x?x
2
?(3?2x)
0
; (1)
f(x)?
lg(2x?1)
(2)
f(x)?lg(x?ka)?lg(x
2
?a< br>2
).







【 例32】已知函数
f
?
x
?
定义域为(0,2),求下列函数的定义 域:
(1)
f(x)?23
;(2)
y?



2
f(x
2
)?1
log
1
(2?x)
2

题型三 函数的值域
一、用非负数的性质
【例33】求下列函数的值 域:(1)y=-3x
2
+2;(2)y=5+2
x?1
(x≥-1).





6

思维的发掘 能力的飞跃



高中数学讲义
【例34】函数
f( x)?x
2
?x?1
的最小值是_________________.

【例35】求函数
y?x
2
?x?1
的值域.





二、分离常数法
对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域.
x?2
x
2
?1
【例36】求下列函数的值域:(1)y=(2)y=
2
.
x?1
x?1





三、利用函数单调性
已知函数在某区间上具有单调性,那么利用单调性求值域是一种简单的方法.
【例37】求函数y=3x-
1?2x
的值域.






四、利用判别式
特殊地,对于可以化为关于x的二次方程a (y)x
2
+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x),可利用
??0且a(y )?0,求出y的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的x值

【例38】求函数y =





3x
的最值.
2
x?4
2x
2
?2x?3
【例39】利用判别式方法求函数
y?
2
的值域.
x?x?1



思维的发掘 能力的飞跃

7


高中数学讲义




五、利用数形结合
数形结合是解数学问题的重要思想方法之一,求函数值域时其运用也不例外.
【例40 】若(x+
1?y
2
)(y-
1?x
2
)=0,求x- y的最大、最小值.






六、利用换元法求值域
有时直接求函数值域有困难,我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑.
【例41】求函数y=2x-5+
15?4x
的值域.





七、利用反解函数求值域
因函数y=f(x)的值域就 是反函数y=f
-1
(x)的定义域,故某些时候可用此法求反函数的值域.
e
x
?e
?x
【例42】求函数y=(x>0)的值域.
2






八、利用已知函数的有界性.
5
【例43】求函数y=
2
的值域.
2x?4x?3





九、求值域综合性题目.
【例44】求下列函数的值域:
8

思维的发掘 能力的飞跃




y?
高中数学讲义
3?x
5

y?
2

y?1?2x?x

2x?4x?3
4?x






【例45】求下列函数的值域:
2?sinx
x
2
?4x ?3

1

y??x?4x?2(1?x?4)
;(
2
y?
;(
3

y?
2


2?sinx
x?x?6




2

【例46】求下列函数的值域⑴
y?x?






【例47】求下列函数的值域:

1

y?4?3?2x?x
2



2

y?x?1?2x


1
;⑵
y?x?x?3

x
x
2
?x? 1

3

y?
2



4

y?x?3?5?x


2x?2x?3







【例48】
求下列函数的定义域与值域:(1)
y?





3x?2
; (2)
y??x
2
?x?2
.
5?4x

【例49】求下列函数的值域
2x?3

y?
;⑵
y??2x?1

x?[?1,3]

x?1

y??2x
2
?3x?4
;⑷
y?5?3?2x?x
2


思维的发掘 能力的飞跃

9


高中数学讲义








【例50】求下列函数的值域:
(1)
y?3x< br>2
?x?2
;(2)
y??x
2
?6x?5
;(3)
y?
3x?1

x?2
(4)
y?x?41?x
;(5)
y?x?1?x
2
;(6)
y?|x?1|?|x?4|

1?sinx
2x
2
?x?22x
2
?x?11
( 7)
y?
2
;(8)
y?
(9)
y?

(x?)

2?cosx
x?x?12x?12













十、应用值域去未知系数取值范围.
?
1
x?1(x?0),< br>?
?
2
【例51】设函数
f(x)?
?
,若
f(a)?a
,则实数
a
的取值范围是 .
1
?
(x?0).
?
?
x


2
?
?
2x?x(0?x?3)
【例52】函数
f(x)?
?
2
的值域是( )
?
?
x?6x(?2?x?0)
A.
R
B.
?
?9,??
?
C.
?
?8,1
?
D.
?
?9,1
?


【例53】已知函数
y?f (x)?x
2
?ax?3
在区间[
?
1,1]上的最小值为
?
3,求实数
a
的值.









【例54】已知函数f(x)=x
2
+mx – 4 在区间〔2,4〕上的两个端点取得最大的最小值。

10
思维的发掘 能力的飞跃



高中数学讲义
(1)求m的取值范围;
(2)试写出最大值Y为m的函数关糸式;
(3)最大值Y是否存在最小值?若有,请求出来;若无,请说明理由。







【例55】若一系列函数的解析式相同、值域相 同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,
那么函数解析式为
y?x
2、值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.


【例56】已知函数
f(x)?x?5?
⑴求函数的定义域;
1

x?7
⑵求
f(11)

f
??
的值;
?
4
?
⑶ 当
a?0
时,求
f(a)

f(a?1)
的值.









?
5
?
【例57】已知函数
f(x)?ax
2
?bx?c
,若< br>f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1
,试求函数
f(x)
的值域.








【例58】已 知xy<0,并且4x
2
-9y
2
=36.由此能否确定一个函数关系y=f (x)?如果能,求出其解析
式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.








思维的发掘 能力的飞跃

11


高中数学讲义


【例59】函数
f(x)?(a?2)x
2
?2(a?2)x?4
的定义域为
R
,值 域为
?
??,0
?

则满足条件的实数
a
组成的集合是 .

【例60】若函数
y?x
2
?3x?4
的定义域为
[0,m]
,值域为
[?
25
,?4]
,则
m
的取值范围是( )
4
3
3
3
A.
?
0,4
?
B.
[,4]
C.
[,

3]
D.
[,??)
22
2

【例61】当
x?_______
时,函数
f(x)?(x?a
1
)
2
?(x?a
2
)
2
?...?(x?a
n
)
2
取得最小值.

【例62】设函数
y?ax?2a?1
,当
?1?x?1
时,
y
的值有正有负,则实数
a
的范围 .

【例63】对于任意实数
x
,函数
f(x)?(5?a)x
2
?6x?a?5
恒为正值,求
a
的取值范围.







【例64】记二次函数
f(x)??x
2
?4mx?1

[?1,3]
的最大值为
g(m)
,写出< br>g(m)
的函数表达式,并求

g(m)
的最小值.







题型三 相等函数

【例65】试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=
x
2
,g(x)=
3
x
3

(2)f(x)=
x?0 ,
?
1
|x|
,g(x)=
?

?1x?0;x
?
(3)f(x)=
2n?1
x
2n?1
,g(x) =(
2n?1
x

2n

1
(n∈N
*< br>);
(4)f(x)=
x

12
x?1
,g(x)=
x
2
?x

思维的发掘 能力的飞跃



高中数学讲义
(5)f(x)=x
2
-2x-1,g(t)=t
2
-2t-1





【例66】下列各组函数中,
f(x)

g(x)
表示同一函数的一组是( )
x
2
A.
f(x)?x,g(x)?

x


B.
f(x)?x

g(x)?|x|

D.< br>f(x)?|x|,
g(x)?
?
?
x(x?0)

?x(x?0)
?
C.
f(x)?|x|

g(x)?x
2


【例67】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
( x?3)(x?5)

y
1
?

y
2
?x ?5

x?3

y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)


f(x)?x

g(x)?x
2


f(x)?
3
x
4
?x
3

F(x)?x
3
x?1


f
1
(x)?(2x?5)
2
f
2
(x)?2x?5

A.⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸




.
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思维的发掘 能力的飞跃

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